4‐SCHGDD的存在条件及组合构造.pdf

第 52 卷 第 5 期2023 年 9 月内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）Journal of Inner Mongolia Normal University（Natural Science Edition）Vol.52 No.5Sept.20234SCHGDD 的存在条件及组合构造李晓博1，温建福1，黄月梅1，2（1.内蒙古师范大学 数学科学学院，内蒙古 呼和浩特 010022；2.内蒙古自治区应用数学中心，内蒙古 呼和浩特 010022）摘要：利用 CHDM 与 SCHGDD 等价，研究型为(n，mt)的 4SCHGDD 的存在条件及应用。研究得到n=4时，型为(4，mt)的 4SCHGDD 的存在条件；利用递归构造结合 4SCGDD 的存在条件得出n 4时，型为(n，mt)的 4SCHGDD 的存在条件；最后应用结果得出 AMOPPSP/WP 3D(u v w，4，1)OOC 存在的充分条件。关键词：半循环带洞可分组设计；半循环可分组设计；带洞可分组设计；递归构造；三维光正交码中图分类号：O 157 文献标志码：A 文章编号：1001-8735（2023）05-0536-08 DOI：10.3969/j.issn.1001-8735.2023.05.014王健敏等1首次提出汉明重为k的半循环带洞可分组设计（简记为kSCHGDD）并用来构造最优 2D（n m，3，1）OOCs。冯弢等24利用型为（k，mt）的kSCHGDD 与(k，mt；m）CHDM 等价确定了型为(3，mt)的 3SCHGDD 的存在条件，给出kSCHGDD 的构造方法，并确定了当t 1(mod 2)且t 3时，型为（n，mt）的 3SCHGDD 的存在条件；王立冬等4利用半循环不完全带洞可分组设计的递归结构完全解决了型为（n，mt）的 3SCHGDD 存在的充要条件。本文利用型为（4，mt）的 4SCHGDD 与（4，mt；m）CHDM 等价得出当k=4时部分参数下的 4SCHGDD存在性；利用递归构造得出若干 4SCHGDD 存在的充分条件；利用此结果，得到完美的 AMOPPSP/WP 3D(u v w，4，1)OOC 存在的充分条件。带洞可分组设计（HGDD）是一种重要的组合结构，在组合设计构造中有着广泛的应用。设n、m、t为 正整数，In=0，1，.，n-1，Zn表示模n的剩余类加群，K是一个正整数集，一个型为（n，mt）的带洞可分组设计（KHGDD）是一个四元组（X，G，H，B）且满足以下条件：（1）X是一个有限集合，包含nmt个元素，元素称为点；（2）G是X的一个划分，将其划分为n个大小为mt集合，称为组；（3）H也是X的一个划分，将其划分为t个大小为mn的集合，称为洞，且对G G，H H，均有|H G|=m成立；（4）B是X的k元子集族，每个k元子集称为区组，k K，每个区组至多包含给定组或洞的一个点，任取X的来自不同组不同洞的两个点恰好出现在一个区组中。此设计记作型为(n，mt)的KHGDD。当m=1时，(n，1t)的KHGDD 通常被称为改进的可分组设计，表示成型为tn的 MGDD；当K=k 时，分别简记为kHGDD 和kMGDD。卫瑞中5首次提出 HGDD 的概念并且完全解决了 3HGDD 存在的充要条件。曹海涛、葛根年等67 完全解决了 4HGDD 存在的条件。引理 167型为(n，mt)的(4，)HGDD 存在当且仅当t，n 4，(t-1)(n-1)m 0(mod 3)，除了(m，n，t，)=(1，4，6，1)。收稿日期：20230321基金项目：内蒙古自治区高等学校科学研究资助项目（NJZY22599，NJZY22600）；内蒙古师范大学研究生科研创新基金资助项目（CXJJS21122）。作者简介：李晓博（1997-），女，山西大同人，在读硕士研究生。通讯作者：黄月梅（1981-），女，内蒙古通辽人，副教授，主要从事组合设计与编码理论研究，Email：。李晓博 等：4-SCHGDD 的存在条件及组合构造第 5 期利用纯差和混差的方法定义型为(n，mt)的kHGDD 如下。设S=0，t，.，(m-1)t 是Zmt的m阶子群，Sl=S+l，0 l t-1是在Zmt中S的陪集。设X=In Zmt，G=i Zmt|iIn，H=In Sl|0 l t-1。B*是X的k元子集（基区组）的集合族。对于任意的i，j In，B B*，定义多重集：ij(B)=x-y(mod mt)|(i，x)，(j，y)B，(i，x)(j，y)；由此得ij(B*)=B B*ij(B)。如果：ij(B*)=ZmtS(i，j)In In，i j，其他，则B点集为X，组集为G，洞集为H的型为(n，mt)的kHGDD 可以由B*得到。所有区组可由基区组的第二分量加 1 模mt所得到的kHGDD 称半循环kHGDD，记作kSCHGDD。SCHGDD 与循环带洞差 矩阵（CHDM）密切相关。一个(k，wt；w)CHDM 是一个大小为k w(t-1)的矩阵，D=(dij)，dij Zwt，对于任意不同的两行x、y，在差分表Lxy=dxj-dyj|jIw(t-1)中ZwtS的每个整数恰好出现一次，而S=0，t，(w-1)t 是Zwt阶为w的子集，S中的点不出现在Lxy中。在文献 8 中，(k，wt；w)CHDM 也称为w-正则的不完全差矩阵，记为w-正则 ICDM。Wang 等9给出 SCHGDD 与 CHDM 的关系。引理 29型为(k，wt)的kSCHGDD 与(k，wt；w)CHDM 等价。通过计算得到型为(n，mt)的 4SCHGDD 的基区组的个数为n(n-1)(t-1)m/12，结合引理 1 可得 4SCHGDD 存在的必要条件。定理 1如果型为(n，mt)的 4SCHGDD 存在，则(t-1)(n-1)m 0(mod 3)，n(n-1)(t-1)m 0(mod 12)成立。1n=4时 4SCHGDD 存在的条件常彦勋等10给出了部分w-正则的(4；wt)ICDM 的存在条件。引理 310当(h，m)(2，8)，(2，12)，(2，16)，(2，18)，(2，24)，(2，32)，(2，54)，(2，64)时，h-正则的(4；m)ICDM 存在。由引理 3 结合 ICDM 与 SCHGDD 的等价关系，得到如下定理。定理 2当(n，mt)(4，24)，(4，26)，(4，28)，(4，29)，(4，212)，(4，216)，(4，227)，(4，88)时，型为(n，mt)的 4SCHGDD 存在。证明根据引理 2 可得，型为(4，mt)的 4SCHGDD 与m-正则(4；mt)-ICDM 等价，结合引理 3 可证定理成立。以下为各参数下的基区组。型为(4，24)的 4SCHGDD：(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)(0，0)，(1，2)，(2，1)，(3，7)(0，0)，(1，3)，(2，6)，(3，1)(0，0)，(1，5)，(2，7)，(3，6)(0，0)，(1，6)，(2，3)，(3，5)(0，0)，(1，7)，(2，5)，(3，2)型为(4，26)的 4SCHGDD：(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)(0，0)，(1，2)，(2，1)，(3，5)(0，0)，(1，3)，(2，7)，(3，10)(0，0)，(1，4)，(2，11)，(3，1)(0，0)，(1，5)，(2，8)，(3，4)(0，0)，(1，7)，(2，4)，(3，11)(0，0)，(1，8)，(2，10)，(3，9)(0，0)，(1，9)，(2，5)，(3，2)(0，0)，(1，10)，(2，3)，(3，8)(0，0)，(1，11)，(2，9)，(3，7)型为(4，28)的 4SCHGDD：(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)(0，0)，(1，2)，(2，4)，(3，1)(0，0)，(1，3)，(2，6)，(3，10)(0，0)，(1，4)，(2，9)，(3，14)(0，0)，(1，5)，(2，15)，(3，9)(0，0)，(1，6)，(2，13)，(3，11)(0，0)，(1，7)，(2，11)，(3，4)(0，0)，(1，15)，(2，14)，(3，13)(0，0)，(1，14)，(2，12)，(3，15)(0，0)，(1，13)，(2，10)，(3，6)(0，0)，(1，12)，(2，7)，(3，2)(0，0)，(1，11)，(2，1)，(3，7)(0，0)，(1，10)，(2，3)，(3，5)(0，0)，(1，9)，(2，5)，(3，12)537内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）第 52 卷 型为(4，29)的 4SCHGDD：(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)(0，0)，(1，2)，(2，4)，(3，1)(0，0)，(1，3)，(2，7)，(3，11)(0，0)，(1，4)，(2，12)，(3，10)(0，0)，(1，5)，(2，17)，(3，12)(0，0)，(1，6)，(2，13)，(3，2)(0，0)，(1，7)，(2，10)，(3，4)(0，0)，(1，8)，(2，3)，(3，13)(0，0)，(1，17)，(2，16)，(3，15)(0，0)，(1，16)，(2，14)，(3，17)(0，0)，(1，15)，(2，11)，(3，7)(0，0)，(1，14)，(2，6)，(3，8)(0，0)，(1，13)，(2，1)，(3，6)(0，0)，(1，12)，(2，5)，(3，16)(0，0)，(1，11)，(2，8)，(3，14)(0，0)，(1，10)，(2，15)，(3，5)型为(4，212)的 4SCHGDD：(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)(0，0)，(1，2)，(2，4)，(3，1)(0，0)，(1，3)，(2，6)，(3，8)(0，0)，(1，4)，(2，8)，(3，13)(0，0)，(1，5)，(2，15)，(3，2)(0，0)，(1，6)，(2，17)，(3，10)(0，0)，(1，7)，(2，13)，(3，17)(0，0)，(1，8)，(2，23)，(3，15)(0，0)，(1，9)，(2，14)，(3，20)(0，0)，(1，10)，(2，3)，(3，18)(0，0)，(1，11)，(2，19)，(3，5)(0，0)，(1，23)，(2，22)，(3，21)(0，0)，(1，22)，(2，20)，(3，23)(0，0)，(1，21)，(2，18)，(3，16)(0，0)，(1，20)，(2，16)，(3，11)(0，0)，(1，19)，(2，9)，(3，22)(0，0)，(1，18)，(2，7)，(3，14)(0，0)，(1，17)，(2，11)，(3，7)(0，0)，(1，16)，(2，1)，(3，9)(0，0)，(1，15)，(2，10)，(3，4)(0，0)，(1，14)，(2，21)，(3，6)(0，0)，(1，13)，(2，5)，(3，19)型为(4，216)的 4SCHGDD：(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)(0，0)，(1，2)，(2，4)，(3，1)(0，0)，(1，3)，(2，6)，(3，8)(0，0)，(1，4)，(2，8)，(3，12)(0，0)，(1，5)，(2，10)，(3，15)(0，0)，(1，6)，(2，12)，(3，21)(0，0)，(1，7)，(2，18)，(3，10)(0，0)，(1，8)，(2，17)，(3，27)(0，0)，(1，9)，(2，19)，(3，30)(0，0)，(1，10)，(2，27)，(3，14)(0，0)，(1，11)，(2，29)，(3，23)(0，0)，(1，12)，(2，31)，(3，19)(0，0)，(1，13)，(2，25)，(3，7)(0，0)，(1，14)，(2，21)，(3，28)(0，0)，(1，15)，(2，23)，(3，6)将以上 15 个基区组的第二分量替换成原来的相反数，并通过模 32 运算得到另外 15 个基区组。如：(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)(0，0)，(1，-1)，(2，-2)，(3，-3)(0，0)，(1，31)，(2，30)，(3，29)。型为(4，227)的 4SCHGDD：(0，0)，(1，1)，(2，10)，(3，2)(0，0)，(1，2)，(2，12)，(3，5)(0，0)，(1，3)，(2，11)，(3，1)(0，0)，(1，4)，(2，26)，(3，9)(0，0)，(1，5)，(2，31)，(3，11)(0，0)，(1，6)，(2，34)，(3，13)(0，0)，(1，7)，(2，24)，(3，36)(0，0)，(1，11)，(2，40)，(3，24)(0，0)，(1，13)，(2，9)，(3，29)(0，0)，(1，14)，(2，46)，(3，31)(0，0)，(1，15)，(2，36)，(3，30)(0，0)，(1，16)，(2，4)，(3，35)(0，0)，(1，35)，(2，21)，(3，3)以 上 13 个 基 区 组 的 形 式 为(0，0)，(1，di1)，(2，di2)，(3，di3)，i=1，2，13，将 其 形 式 改 写 为(0，di3)，(1，0)，(2，di1)，(3，di2)，(0，di2)，(1，di3)，(2，0)，(3，di1)，(0，di1)，(1，di2)，(2，di3)，(3，0)，将 以 上区组的第二分量加上合适的数使得第一分量为 0 的数对的第二分量通过模 54 运算后为 0，其他分量的加法均在模 54 运算下进行。通过计算得到剩余 39 个基区组。型为(4，88)的 4SCHGDD：(0，0)，(1，1)，(2，10)，(3，3)(0，0)，(1，2)，(2，12)，(3，1)(0，0)，(1，3)，(2，14)，(3，9)(0，0)，(1，4)，(2，33)，(3，13)(0，0)，(1，5)，(2，36)，(3，2)(0，0)，(1，6)，(2，41)，(3，10)(0，0)，(1，7)，(2，45)，(3，18)(0，0)，(1，12)，(2，39)，(3，17)(0，0)，(1，13)，(2，30)，(3，50)(0，0)，(1，15)，(2，49)，(3，28)(0，0)，(1，18)，(2，44)，(3，25)(0，0)，(1，19)，(2，42)，(3，36)(0，0)，(1，21)，(2，43)，(3，39)(0，0)，(1，41)，(2，26)，(3，12)以 上 14 个 基 区 的 组 形 式 为(0，0)，(1，di1)，(2，di2)，(3，di3)，i=1，2，14，将 其 形 式 改 写 为(0，di3)，0)，(2，di1)，(3，di2)，(0，di2)，(1，di3)，(2，0)，(3，di1)，(0，di1)，(1，di2)，(2，di3)，(3，0)，将以上区组 538李晓博 等：4-SCHGDD 的存在条件及组合构造第 5 期的第二分量加上合适的数使得第一分量为 0 的数对的第二分量通过模 64 运算后为 0，其他分量的加法均在模 64 运算下进行。通过计算得到剩余 42 个基区组。殷剑兴等11证明了部分参数下的(4，wt；w)CHDM 存在。引理 411当(wt；t)(20；2)，(28；2)，(20；4)；(28；4)时，(4，wt；t)CHDM 存在。由引理 4 结合 CHDM 与 SCHGDD 等价得到如下定理。定理 3当t 10，14 时，型为(4，2t)的 4SCHGDD 存在；当t 5，7 时，型为(4，4t)的 4SCHGDD存在。证明由引理 4 和引理 2 可证定理成立，以下为各参数下的基区组。型为(4，210)的 4SCHGDD 的基区组：(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)(0，0)，(1，2)，(2，1)，(3，5)(0，0)，(1，3)，(2，5)，(3，7)(0，0)，(1，4)，(2，7)，(3，12)(0，0)，(1，5)，(2，3)，(3，17)(0，0)，(1，6)，(2，11)，(3，4)(0，0)，(1，7)，(2，13)，(3，16)(0，0)，(1，8)，(2，15)，(3，2)(0，0)，(1，9)，(2，18)，(3，6)(0，0)，(1，11)，(2，19)，(3，18)(0，0)，(1，12)，(2，4)，(3，13)(0，0)，(1，13)，(2，17)，(3，9)(0，0)，(1，14)，(2，8)，(3，19)(0，0)，(1，15)，(2，6)，(3，1)(0，0)，(1，16)，(2，9)，(3，15)(0，0)，(1，17)，(2，12)，(3，8)(0，0)，(1，18)，(2，14)，(3，11)(0，0)，(1，19)，(2，16)，(3，14)型为(4，214)的 4SCHGDD 的基区组：(0，0)，(1，7)，(2，27)，(3，1)(0，0)，(1，18)，(2，2)，(3，3)(0，0)，(1，15)，(2，24)，(3，2)(0，0)，(1，10)，(2，20)，(3，5)(0，0)，(1，16)，(2，22)，(3，4)(0，0)，(1，13)，(2，7)，(3，15)(0，0)，(1，21)，(2，11)，(3，18)(0，0)，(1，27)，(2，10)，(3，7)(0，0)，(1，25)，(2，4)，(3，24)(0，0)，(1，19)，(2，6)，(3，11)(0，0)，(1，8)，(2，3)，(3，12)(0，0)，(1，23)，(2，21)，(3，16)(0，0)，(1，24)，(2，12)，(3，27)(0，0)，(1，4)，(2，23)，(3，13)(0，0)，(1，2)，(2，5)，(3，21)(0，0)，(1，12)，(2，16)，(3，19)(0，0)，(1，6)，(2，19)，(3，17)(0，0)，(1，20)，(2，9)，(3，26)(0，0)，(1，17)，(2，18)，(3，22)(0，0)，(1，3)，(2，8)，(3，20)(0，0)，(1，1)，(2，26)，(3，25)(0，0)，(1，11)，(2，13)，(3，9)(0，0)，(1，9)，(2，17)，(3，10)(0，0)，(1，26)，(2，25)，(3，8)(0，0)，(1，22)，(2，15)，(3，6)(0，0)，(1，5)，(2，1)，(3，23)型为(4，45)的 4SCHGDD 的基区组：(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)(0，0)，(1，2)，(2，1)，(3，13)(0，0)，(1，3)，(2，6)，(3，9)(0，0)，(1，4)，(2，8)，(3，16)(0，0)，(1，6)，(2，3)，(3，19)(0，0)，(1，7)，(2，9)，(3，8)(0，0)，(1，8)，(2，16)，(3，2)(0，0)，(1，9)，(2，18)，(3，7)(0，0)，(1，11)，(2，17)，(3，14)(0，0)，(1，12)，(2，19)，(3，1)(0，0)，(1，13)，(2，4)，(3，17)(0，0)，(1，14)，(2，7)，(3，11)(0，0)，(1，16)，(2，14)，(3，12)(0，0)，(1，17)，(2，13)，(3，4)(0，0)，(1，18)，(2，12)，(3，6)(0，0)，(1，19)，(2，11)，(3，18)型为(4，47)的 4SCHGDD 的基区组：(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)(0，0)，(1，2)，(2，1)，(3，5)(0，0)，(1，3)，(2，5)，(3，1)(0，0)，(1，4)，(2，8)，(3，20)(0，0)，(1，5)，(2，3)，(3，2)(0，0)，(1，6)，(2，9)，(3，17)(0，0)，(1，8)，(2，4)，(3，13)(0，0)，(1，9)，(2，6)，(3，22)(0，0)，(1，10)，(2，19)，(3，6)(0，0)，(1，11)，(2，23)，(3，26)(0，0)，(1，12)，(2，20)，(3，18)(0，0)，(1，13)，(2，26)，(3，23)(0，0)，(1，15)，(2，25)，(3，19)(0，0)，(1，16)，(2，27)，(3，10)(0，0)，(1，17)，(2，22)，(3，12)(0，0)，(1，18)，(2，24)，(3，9)(0，0)，(1，19)，(2，10)，(3，27)(0，0)，(1，20)，(2，12)，(3，4)(0，0)，(1，22)，(2，16)，(3，11)(0，0)，(1，23)，(2，18)，(3，24)(0，0)，(1，24)，(2，11)，(3，16)(0，0)，(1，25)，(2，13)，(3，15)(0，0)，(1，26)，(2，15)，(3，25)(0，0)，(1，27)，(2，17)，(3，8)539内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）第 52 卷常彦勋、殷剑兴等1013给出有关 ICDM 和 CHDM 的如下存在条件。引理 510当m=72，162，216，2n，n 3时，2-正则的 ICDM(4；m)存在。引理 613对于任给的素数p且p 5，(4，2p；2)CHDM 存在。引理 712n 2且n为整数，(4，3 2n；2)CHDM 存在。引理 811n 2且n为整数，(4，2 3n；2)CHDM 存在。引理 911对于任给的正奇数q，满足(q，9)3，(4，2q；2)CHDM 存在。引理 1011设q是素数幂的乘积pj11pj22pjtt，且pj 5，j=1，2，t，则(4，6q；6)CHDM 存在。引理 1111m 36，108，144，288 时，(4，m；2)CHDM 成立。引理 1211设n为正整数，则(4，9 2n；2)CHDM 存在。引理 1311设qN，q 4且q 0(mod 2)，q为素数幂的乘积23p11ptt，(，)(1，0)，则(4，2q；2)CHDM 存在。引理 1411q是素数幂的乘积pj11pj22pjtt，且pj 5，j=1，2，t，则(4，4q；4)CHDM 存在。由引理 2 和引理 5-14，得到如下 4SCHGDD 的存在条件。推论 1当t 36，81，108，2n，n 2时，存在型为(4，2t)的 4SCHGDD。推论 2当t为素数且t 5时，型为(4，2t)的 4SCHGDD 存在。推论 3当t 1且t N时，型为(4，23 2t)的 4SCHGDD 存在。推论 4当t 2且t N时，型为(4，23t)的 4SCHGDD 存在。推论 5当t 1(mod 2)，且(t，9)3时，型为(4，2t)的 4SCHGDD 存在。推论 6设q=pj11pj22pjtt，其中pj 5，j=1，2，t是素数，则存在型为(4，6q)的 4-SCHGDD。推论 7当t 18，54，72，144 时，型为(4，2t)的 4SCHGDD 存在。推论 8当n N*时，型为(4，29 2n)的 4SCHGDD 存在。推论 9设q 0(mod 2)，q 4，且q=23p11ptt，其中pj，j=1，2，t是素数，(，)(1，0)，则型为(4，2q)的 4SCHGDD 存在。推论 10q为素数幂乘积pj11pj22pjtt，pj 5，j=1，2，t，型为(4，4q)的 4SCHGDD 存在。24SCHGDD 的存在条件设K是正整数集合，可分组设计KGDD 是一个三元组(X，G，B)，满足以下条件：（1）X是一个包含有限个元素的集合，元素称为点；（2）G是X的一个划分，将X划分为若干个子集，这样的子集称为组；（3）B是X的子集（区组）族，子集的大小来自K，满足来自不同组的两个点恰好出现在一个区组中。当K=k 时，表示为kGDD，当G包含ui个大小为wi（1 i r）的组，称为wu11wu22wurr型的 GDD，型为1v的KGDD称为成对平衡设计，记作 PBD(v，K)。令In=0，1，n-1，X=In Iv Zm，G=i Iv Zm|i In，B*是X的一些大小为k的子集（基区组）的集合。对a=(i1，j1)，b=(i2，j2)In Iv，B B*，定义一个多重集：abB=x-y|(a，x)，(b，y)B，(a，x)(b，y)。定义另一个多重集abB*=B B*abB。如果任给的a=(i1，j1)，b=(i2，j2)In Iv有abB*=Zm，如果i1 i2，其他。则B*作成型为(vm)n的kGDD。GDD 符合条件的所有区组可以通过B*中所有基区组在第三分量加 1 模m得到。此法得到的型为(vm)n的kGDD 称为m-循环的k-GDD。一个型为mn的m-循环的kGDD 称作半循环kGDD，表示为kSCGDD。Gallant 等14给出型为mn的 3SCGDD 存在的充要条件。王健敏等9，15得出型为mn的 4SCGDD 的存 540李晓博 等：4-SCHGDD 的存在条件及组合构造第 5 期在充要条件。冯弢等2利用 SCGDD 得到 SCHGDD 的递归构造。引理 159，15 型为mn的 4SCGDD 存在当且仅当n 4，m(n-1)0(mod 3)，mn(n-1)0(mod 12)，除n=4或(m，n)(2，10)，(4，7)，(6，5)，以下可能成立：（1）n=5，m 6(mod 36)，m 30，（2）n=7，m 4(mod 24)，m 20，（3）n=10，m 2(mod 12)，m 10。引理 162假设型为gn的KSCGDD 存在，型为(k，wt)的lSCHGDD 存在，且k取遍K，则型为(n，(gw)t)的lSCHGDD 也存在。引理 179设g为奇数且g 3，9 9p|p为不小于37的素数，型为g4的 4SCGDD 存在。定理 4存在型为(4，1t)的 4SCHGDD，t 5且t为素数。证明当t 5且t为素数时，型为(4，1t)的 4SCHGDD 可以由以下t-1个四元组所构成的基区组得到：(0，0)，(1，i)，(2，2i)，(3，3i)，i=1，2，t-1。引理 16 的构造结合定理 4，得到如下两个结论。定理 5设n 4，t 5，t为素数，当m(n-1)0(mod 3)，mn(n-1)0(mod 12)时，型为(n，mt)的4 SCHGDD 存 在。除(n，m)(10，2)，(7，4)，(5，6)外，4 SCHGDD 可 能 存 在 的 情 况 有：（1）n=5，m 6，30(mod 36)，m 30；（2）n=7，m 4，20(mod 24)，m 20；（3）n=10，m 2，10(mod 12)，m 10。证明根据定理 4 和引理 15，应用引理 16 的构造，结论得证。定理 6设m为 奇 数 且m 3，9 9p|p为不小于37的素数，t 5，t为 素 数，则 型 为(4，mt)的 4SCHGDD 存在。证明根据定理 4 和引理 17，应用引理 16 的构造，结论得证。3AMOPPSP/WP 3D(u v w，4，1)OOC 的存在性下文u，v，w，k和均表示正整数。参数为(u v w，k，a，c)的三维光正交码（3-D(u vw，k，a，c)OOC）C，是一族汉明重量为k的u v w的(0，1)阵列（称为码字），并满足如下性质：（1）自相关性：对任意A=a(i，j，l)C，正整数 0(mod w)，有i=0u-1j=0v-1l=0w-1a(i，j，l)a(i，j，l+)a；（2）互相关性：对C中两个不同的阵列A=a(i，j，l)，B=b(i，j，l)及正整数，有i=0u-1j=0v-1l=0w-1a(i，j，l)b(i，j，l+)c。当a=c=时，简记为 3D(u v w，k，)OOC。由波长和时间确定的平面为空间平面，由空间信道和时隙确定的平面为波长平面。为了系统实现便捷，在三维光正交码的研究中，常对每个码字光脉冲的 摆放位置附加以下特殊要求：（1）每个空间平面至多一个脉冲（AMOPPSP）限制：对C中每个码字，在v/w平面元素 1 至多出现一次。（2）每个波长平面至多一个脉冲（AMOPPWP）限制：对C中每个码字，在u/w平面元素 1 至多出现一次。光正交码所含的码字个数称为容量，含有最大容量的光正交码为最优。带有以上限制的最优三维光 正交码简记为最优的 AMOPPSP/WP 3D(u v w，k，)OOC。令(u v w，k，)为一个 AMOPPSP/WP 3D(u v w，k，)OOC 码字的最大容量。代素慧16证明了(u v w，k，)J(u v w，k，)，其中J(u v w，k，)=uvk(u-1)(v-1)wk-1 (u-)(v-)wk-。541内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）第 52 卷如果(u v w，k，)=wuv(u-1)(v-1)(u-)(v-)k(k-1)(k-)，那么最优的 AMOPPSP/WP 3D(u v w，k，)OOC 是最优的。代素慧16 给出完美的 AMOPPSP/WP 3D(u v w，k，)OOC 与w-循环HGDD 的关系。引理 1816完 美 的 AMOPPSP/WP 3D(u v w，k，)OOC 等 价 于 型 为(u，wv)的w-循 环 的HGDD(+1，k，uvw)。想要构造出完美的 AMOPPSP/WP 3D(u v w，k，)OOC，只需要构造出型为(u，wv)的w-循环的HGDD(+1，k，uvw)所有基区组。王立冬等8给出w-循环的 HGDD 与SCHGDD 的关系。引理 198若存在型为(u，wv)的kSCHGDD，则型为(u，wv)的w-循环的kHGDD 也存在。将定理 5 的结果结合引理 19 中 SCHGDD、HGDD 及 AMOPPSP/WP 的等价关系得到如下定理。定理 7设u 4，v 5且v为素数，当w(u-1)0(mod 3)，u(u-1)w 0(mod 12)成立时，型为(u，wv)的w-循 环 的 4HGDD 存 在。除(u，w)(10，2)，(7，4)，(5，6)外，以 下 参 数 的w-循 环 的 4HGDD 可 能 存 在：（1）u=5，w 6(mod 36)，w 30；（2）u=7，w 4(mod 24)，w 20；（3）u=10，w 2(mod 12)，w 10。证明根据定理 5 和引理 19，结论得证。定理 8设u 4，v 5且v为素数。当w(u-1)0(mod 3)，u(u-1)w 0(mod 12)时，完美的AMOPPSP/WP 3D(u v w，4，1)OOC 存在。除(u，w)(10，2)，(7，4)，(5，6)外，以下参数完美的AM OPPSP/WP 3 D(u v w，4，1)OOC 可 能 存 在：（1）u=5，w 6(mod 36)；（2）u=7，w=4(mod 24)，w 20；（3）u=10，w 2(mod 12)，w 10。证明根据引理 18 和定理 7，结论得证。4总结本文主要研究型为(n，mt)的 4SCHGDD 的存在条件及应用。利用 CHDM 与 SCHGDD 等价得到若干 参 数 下 型 为(4，mt)的 4SCHGDD 的 存 在 条 件；利 用 递 归 构 造 得 到 当n 4时，型 为(n，mt)的 4SCHGDD 的存在条件；最后应用结果得到完美的 AMOPPSP/WP 3D(u v w，4，1)OOC 存在的充分条件。参考文献：1 WZANG 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