2016届苏州市高三数学过关题8-解析几何.doc

2016届苏州市高三数学过关题 解析几何（教师版）
一．填空题
【考点一】：直线方程及直线与直线的位置关系
例1．设,则“”是“直线与直线平行”的 条件．
【答案】充分不必要条件．
例2．已知直线过点 ，且与以 和 为端点的线段相交，
那么直线的斜率的取值范围是_________.
【答案】．
例3．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 .
【答案】．
[解析]由定点，且知可得出的取值范围．
例4．曲线与直线有两个交点，则的取值范围是 .
【答案】,或.
[解析]曲线的图象如图所示．与直线y＝2x＋m有两个交点．则或.
【考点二】： 圆方程及直线与圆的位置关系
例5．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为 .
【答案】 .
[解析]本题考查了直线与圆的位置关系和求解圆的方程问题．
因为两条直线x－y＝0与x－y－4＝0平行，
故它们之间的距离为圆的直径，即2r＝，所以r＝.
设圆心坐标为，则满足点到两条切线的距离都等于半径.
所以，解得.
故圆心为(1，－1).
所以圆的标准方程为.
例6．设,,若直线与圆相切,则的取范围是 .
【答案】.
[解析]∵直线与圆相切,
∴圆心到直线的距离为.
所以≤.
设, 则≥,解得.
例7．已知圆： ，直线: ,为直线上一点,
若圆上存在点,使得，则点的横坐标的范围是 .
【答案】≤≤5.
[解析]因为点在圆外，设分别是与圆相切于点.
则≥，
从而≥.
因为，
所以≤.
设,
则解得≤,得≤≤5.
例8．已知圆: ,为圆与负半轴的交点，过点作圆的弦，记线段的中点为.若，则直线的斜率 .
【答案】.
[解析]设直线: .
因为,直线: .
将它与直线AB的方程联立得.
因为, ,.
当,不合，故．
例9．已知直线与圆相交于两点，点在直线上，且,则的取值范围为 .
【答案】.
[解析]先从第一个条件出发，确定参数的取值范围.
因为在线段的中垂线上，
从而用的代数式表示直线PC的斜率后得到, .
解得：的取值范围为.
例10．在平面直角坐标系中，圆：分别交轴正半轴及轴负半轴于，两点，点为圆上任意一点，则的最大值为 ．
【答案】.
[解析]设，=.
例11．设圆，直线，点，使得圆上存在点，且 (O为坐标原点)，则点A的横坐标的取值范围是_______.
【答案】.
[解析]如图所示，
在△ABO中，由正弦定理，
所以 ∈(0,].
设点A(x，y)，则x＋3y－8＝0且.
消去,解得.
例12．已知圆的方程为，直线与圆交于两点，为弦上一动点，以为圆心，2为半径的圆与圆总有公共点，则实数的范围________．
【答案】≥.
[解析]因为,只要≥对于任意的点恒成立，
只需点位于的中点时存在公共点即可.
点（1，1）到直线的距离≥，解得：≥．
【考点三】： 圆锥曲线方程与性质
例13．若椭圆的离心率，则的值是________．
【答案】3或.
[解析]当焦点在x轴上时，解得；
当焦点在y轴上时，.解得.
例14．设是椭圆的左、右焦点,为直线上的一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为________．
【答案】.
[解析]是底角为的等腰三角形
．
例15．已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的一点，直线、斜倾角分别为、，则= ．
【答案】.
[解析]，.
又因为，
= ，
．
例16．已知分别是椭圆的左、右焦点, 点P是椭圆上的任意一点, 则
的取值范围是 ．
【答案】.
[解析]利用椭圆定义==，
因为且函数在上单调递增，
所以.
故．
例17． 椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是____________.
【答案】.
[解析]由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，
即点到点与点的距离相等 .

而FA =, ，
于是≤=≤，
左边不等式恒成立，
解右边不等式可得≤.
例18．已知直线上存在点满足与两点，连线的斜率，则实数的值是___________．
【答案】．
[解析]点M的轨迹为.
把直线代入椭圆方程得，．
根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m≤4．
例19．已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为 .
【答案】.
[解析]因为椭圆的离心率为,
所以,,,
所以,即.
双曲线的渐近线为,代入椭圆得,即.
所以,,,
则第一象限的交点坐标为.
所以四边形的面积为.
所以.
所以椭圆方程为.
例20．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为．若，则该双曲线的离心率为 .
【答案】.
[解析]由双曲线定义易得，，.
例21．已知圆（0＜a≤4）的圆心为C，直线l：y = x + m．
（1）若m = 4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
（2）若直线l是圆C的切线，且直线l在圆心C的下方，当a在（0，4] 变化时，求m的取值范围．
[解析]（1）∵，
∴．

∴圆心为C（- a，a），半径为．
设直线l被圆C所截得弦长为2t，圆心C到直线l的距离为d．
m = 4时，直线l：x - y + 4 = 0．
圆心C到直线l的距离d＝．
．
∴当a = 3时，直线l被圆C所截得弦长的最大值为．
（2）圆心C到直线l的距离d = ．
∵直线l是圆C的切线，
∴d = r，即．
∴．
∵直线l在圆心C的下方，
∴．
　∵，
∴．
例22．在平面直角坐标系中，已知圆:，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点，线段的中点为.
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值。
（1）方法一：圆的方程可化为.
直线可设为，即.
圆心到直线的距离为.
依题意，即，
解之得：；
（2）方法一：因为，且斜率为，
故直线：.
由可得.
又是中点，
所以，即.
解之得：．
方法二：设，，则.
由
可得：.
所以，
又，且斜率为，
所以，即，
也就是，
所以.
解之得：．
方法三：点的坐标同时满足，
解此方程组，消去可得．
例23．已知椭圆C：，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为 ．
（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．
[解析]（1）设直线.
将代入得，
故.
于是直线的斜率，即．
所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
（2）四边形能为平行四边形.
因为直线过点，
所以不过原点且与有两个交点的充要条件是.
由（Ⅰ）得的方程为，
设点的横坐标为.
由得，即.
将点的坐标代入的方程得，
因此.
四变现为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即.
于是，解得.
因为，
所以当的斜率为,或时，四边形为平行四边形．

例24．如图，已知椭圆，点是其下顶点，过点的直线交椭圆于另一点（点在轴下方），且线段AB的中点E在直线上.
（1）求直线的方程；
P
N
M
B
O
A
x
y
E
（2）若点为椭圆上异于的动点，且直线分别交直线于点,证明：为定值.
[解析]（1）设点E（m，m），由B（0，－2）得A（2m，2m+2）．
代入椭圆方程得，即，
解得或（舍）．
所以A（，）.
故直线AB的方程为．
（2）设，则，即．
设,由三点共线，
∴.
又点M在直线上，
解得点的横坐标.
设，由三点共线，
∴.
点N在直线上，解得点的横坐标．
所以==＝2
====．
例25．已知椭圆E：的左、右顶点分别为A、B，圆x2＋y2=4上有一动点P，P在x轴上方，C(1，0)，直线PA交椭圆E于点D，连结DC、PB.
（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S；
（2）设直线PB、DC的斜率存在且分别为k1、k2，若k1=λk2，求λ的取值范围．
[解析]（1） 设D(x，y).
∵ ∠ADC=90°，
∴,即x2＋y2＋x－2=0.①
∵ 点D在椭圆E上，
∴.②
联立①②，消去y，得3x2＋4x－4=0.
∵ －2<x<2，
∴ x=.
代入椭圆方程，得y=.
∴ △ADC的面积S=×3×=.
（2）设D(x0，y0)，则，.
∴
.
,且,
∴λ的取值范围为(－∞，0)∪(0，3)．
法二：设直线PA方程为，与椭圆联立方程组
，得.

.
.
所以λ的取值范围为(－∞，0)∪(0，3)．
例26．在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，是线段上的动点，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于两点．
（1）若，求直线的方程；
（2）若是使≤恒成立的最小正整数，求三角形的面积的最小值．
[解析]（1）由题意可知，圆C的直径为.
所以，圆C方程为：．
设方程为：，则.
解得 ，.
当时，直线与y轴无交点，不合，舍去．
所以，此时直线的方程为．
（2）设，由点M在线段AD上，得，即．
由AM≤2BM，得．
依题意知，线段AD与圆至多有一个公共点，
故，
解得,或．
因为t是使≤恒成立的最小正整数.
所以，t=4．
所以，圆C方程为： ．
（1）当直线：时，直线的方程为，此时，；
（2）当直线的斜率存在时，设的方程为：（），
则的方程为：，点．
所以，．
圆心C到的距离为.
所以，．
故．
因为,
所以．

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