2016解析几何习题.doc

conic section3
一．解答题（共4小题）
1．（2014•浙江模拟）已知椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求|OP|的取值范围．
2．（2014•陕西）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程．

3．（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
4．（2011•北京）已知椭圆．过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线I交椭圆G于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
conic section4
一．解答题（共4小题）
1．（2015•陕西）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．

2．（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
3．（2014•新课标I）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
4．（2014•内江四模）已知直线l与直线x+y=1=0垂直，其纵截距b=﹣，椭圆C的两个焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），且与直线l相切．
（1）求直线l，椭圆C的方程；
（2）过F1作两条互相垂直的直线l1、l2，与椭圆分别交于P、Q及M、N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．
conic section5
一．解答题（共4小题）
1．（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．

2．（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

3．（2011•湖南）如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．
（i）证明：MD⊥ME；
（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．

4．（2010•北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
conic section6
一．解答题（共4小题）
1．（2015•新课标II）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
2．（2013•新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
3．（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

4．（2015•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为
（Ⅰ）求E的离心率e；
（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．
conic section7
一．解答题（共3小题）
1．（2015•新课标II）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
2．（2015•安徽）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．
（1）求E的离心率e；
（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．
3．（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

【数列、不等式常用放缩】

法１　裂项放缩

　　除了一般的裂项法，有一些裂项需要很强的眼力才能观察出来，比如下题。大家可以做的就是多积累此类可裂项的式子，在类似的式子变形的时候也能一眼看穿。

给出最后一条的证明
纠正：合比性质应改为等比性质
法2单调放缩

　　观察式子是否具有单调性，可直接放缩为首项

　法2补充例题，解法基本一样

补充：a1=1

法3放缩为等比数列
一般通项特点是分子为常数，分母为指数项和一次项的和或差，此时常常将分母放缩为仅有一个指数项，有时需要改变幂，有时需要配凑一个系数，这些都需要你的数学功底。

法4.分式放缩
这是一道非常经典的放缩题，高考不会出原题，但其中的思想十分值得借鉴。比如解答中使用的分式不等式，以及先平方再放缩一部分，保留一部分的解法。变式题有时可以出现三次方的处理。

法5用基本不等式放缩
这里的基本不等式，并不指放缩为常数，而是放缩为一个代数式。往往用于处理带根号的式子，通过放缩可达到去根号的效果，大大简化运算。不仅用于一般的放缩证明，也在大题中发挥着作用，是一种非常好的解题技巧。
纠正：解答第一行应该为根号下n(n+1)

法6作差(作商)裂项
这是一个非常强大的方法，当放缩的目标式是含n的代数式而不是常数时，都可考虑这个方法。
若视目标式为数列的和，通过目标式相邻项作差，可得到该数列的通项公式，实际上就将目标式裂项成了多个通项的和，此时，就只需要证明原式通项与目标式通项的大小，将题目简化。
由于数学教辅都被我扔了或送了，我找了很久例题没有满意的，就稍稍引用了一下高一期末题和一道周练题来解释。

法7连续放缩法

名字是乱起的。这是一个非常奇妙的解法，连续放缩直到首项，得到一个不含通项的式子。常常与抽象数列(已知递推式但难以求解的数列)结合考察，如下题。
我记得我还做过一个通项an出现在分母，分子为1的连续放缩题，可惜未能找出。

纠正：结果应为2的n次方
法8配对放缩
这次找了一个难度比较大的例题，拐的弯太多，大家可以看看我的分析。
　　 配对通常将第一项和最后一项、第二项和倒数第二项...依此类推，合并在一起来进行处理，有时会用到基本不等式。
　　先看这道例题，左边是加法，右边是乘积，用配对如何放缩呢？
　　一个想法是，各两项放缩成一堆数的加法，然后这些数可以前后抵消！
右边的式子，非常明显，分子就是通项为ｆ（ｎ）－ｆ（ｎ+1）的和，那么，我们就要考虑放缩为这个形式了。
　　当我们把对应两项配对后，尝试着统一一下格式，也就是将两式通分。稍微观察一下就会发现分母各不相同，这样肯定是没法加起来的，所以我们看看能不能暴力地将它们统一，也就是全部放缩为ln2lnn，以达到和右式一样的格式。
　　（运用放缩法时，有时你需要尽可能猜测一些有利于得出答案的放缩形式，也就是从结果推原因，至于是否成立，验证就好，不成立就放弃这个猜想。这样能更快地找对方向，干盯着左边的式子往往很难突破。）
　　事实证明，以上猜想是可行的，我们需要证明一下，所以答案前面的一堆废话就是在用导数证明了，到了红笔画出的才是我们想要得到的不等式。
　　得到我们想要的不等式的证明，用的也是非常好也非常常用的技巧，也就是构造函数，利用单调性来证明，大家留意一下这个格式，以后可能能用上的。

做到这一步，得到的式子已经非常漂亮了，可惜还不够。为什么说这是难题？就是因为它的步骤非常复杂，很多人就算走对了方向也容易在中途放弃。
　　当然这个时候离答案已经不远了，我们只需要证明我们得到的这些数字小于右式。
　　我们注意到题目给出了一个已经不等式，把ｘ２ｘ１替换掉就能得到一个f(n+1)-f(n)的式子，这个在做抽象函数题目时经常用到，应该比较容易想到。
　　这样看来，我们的问题解决了，答案基本出来了。
　　我们再思考一下。
　　从头到尾，整道题并没有用非常高端的解法，都是我们常见的小技巧，比如：配对、统一格式、作差裂项（通过作差将一个式子转化为多个式子的和，前面有介绍）、构造函数利用单调性等等。
　　所以我们平时做的就是尽可能积累并且熟练这些技巧，至于你用的如何，确实需要看你对数学的悟性了，难度就在于你思维方向的把握是正确，不过熟能生巧也不是没有道理的，再好的思维都要建立在你熟练的基础上，有人叫你多刷题就是这个道理。
放缩法还有很多的，二项式放缩、积分放缩、分组放缩、切线放缩等等，这些考试用的比较少，所以就不介绍了，我已经把名字列出来了，大家有兴趣可以到网上搜。

一个附件：经典放缩式

【解析几何】

　　做解几，在很多人看来，就是死算。
　　事实上，八九不离十，解几的确离开不运算。
　　而我打算从两个方面来谈解几：一是运算的方向选择；二是解几一些题型和与其它知识的结合。
运算技巧一：用向量式处理三点共圆问题

这道题很有意义，因为它还涉及到了另外两个比较重要的知识点，一是根据对称性判断定点在x轴或是y轴上，该题中关联的直线x=4是关于x轴对称的，所以定点在x轴上。
二是根据恒成立的运用。如果一个式子关于某个参数恒成立，我们往往把含参数的式子放在一起，不含参数的式子放在一起。由于该参数的变化不影响等式的成立，所以前后两个式子的值都为零。由此可解得未知数。

文中看不清的：M(x1,0)
运算技巧二：巧用加减乘除处理形式相近的式子

纠正：B（x1,-y1）
以上例题同时采用了设而不求的方法，点A,B一直只以参数形式的坐标出现。如果你把它们联立解出的话估计这道题你很难再做出来。
运算技巧三：用平方处理式子

纠正：①式应为X1方+2Y1方=4，后面同理

运算技巧四：设而不求

在做圆锥曲线题目的时候，我们常常要面临参数的选择。究竟是直接设点的坐标，还是先设直线方程，然后再联立得到点的坐标？或者说，直线方程和点的坐标一起来呢？
　　这就需要你对运算繁简有一个观察。比如以上这题，确实可以设直线BC的方程为y=kx+b再运算。
　　你可以想象你将会得到一个多么繁琐的式子，后面的运算让你根本不敢做下去。这个时候考虑一下设点的坐标是否会更简洁？总之不要在一个运算方法上吊死。
　　如果你对抛物线的特点把握得比较好，直线BC的斜率用BC坐标表示的结果你应该是能背下来的，或者说能条件反射地知道怎么推导。这个时候你就踏上了正确的运算方向。
运算技巧五:点差法

运算技巧六：参数的选择

数学中有一个常用的思想。
　　也就是说有N个未知数，如果恰有又有N个对应的方程，那么这些数据都是可以求出来的。
　　但是如果有N个未知数，却只能得到N-1个对应的方程，那么我们顶多得到其中两个数据的约束关系，所以只能求一下参数的取值范围了。
　　第二个最简单的例子就是函数了，有x,y两个未知数，却只有一条表达式，所以我们最多求一下自然定义域、值域之类的，得不出具体的值。
就比如说上面这道题，看起来变量很多，但最核心的变量还是斜率和Ｐ点坐标，其中所有的关系式也是非常多的。
　　这也给我们了一个启示，在涉及到过某点圆的两条切线问题时，可优先考虑设斜率和某点坐标为参数。
　　另外，该题还用到了一个常用的方法，过直线交曲线于两点，其中一点坐标已知（或者说为主要的变量），那么就可以用韦达定理快速得到另外一个点的坐标。
　　不过很多人容易处于定性思维忽略了另一个点已知的事实，仅仅得到x1+x2和x1x2的值就开始做其他工作了，这样你就硬生生地漏掉了一个条件。
运算技巧七：充分利用每一个条件

注：考试时不要直接写由点差法得，要适当证明
题型一：最值问题

1.通过点在圆锥曲线内的充要条件约束取值范围

常与中点弦问题结合考查

2.通过隐藏条件（a>b）约束取值范围

3. 转化为基本不等式

4.用函数（导数）性质求最值

题型二：轨迹
1.定义法
定义法的题目较单一，基本都是这些经典题了，大家记住解法即可。
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
经典题一

经典题二

经典题三

经典题四

经典题五

经典题六

2. 交轨法
在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

交轨法的核心在于引入新的参数然后消去

3. 相关点法
如果动点P的运动是由另外某一点P*的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P*的坐标，然后把P*的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

4. 几何法
若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

还剩下直译法和参数法，直译法没有技术含量,交轨法用到了参数法，都不讲了。
【求参数的取值范围】
法1：分段讨论

像上题不把f(x)直接写出而是采取一种抽象函数化的答题方式在高考压轴题中其实非常常见，我们所需关注的更多的是函数所具有的性质，而不是函数本身。希望大家用心领悟，以后能够将这种方法运用到自己的解答中，才算得上吃透该题。
法2：数形结合

法3：利用根的分布

法4：分离参数法（经典解法）

法5：利用判别式

法6：换主元
法7：线性规划
线性规划往往用于双变量问题

法8:充分利用函数性质

【附件】