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指数及指数函数

知识梳理：
一）、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．
u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
当是奇数时，，当是偶数时，
2．有理指数幂的含义及其运算性质：
①；②；③。
④Q） ⑤、N* 且
u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
◆指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质

0 < a < 1
a > 1
图 象

性
质

定义域
R
值域
(0 , +∞)
定点
过定点（0，1），即x = 0时，y = 1
（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。
（2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
对称性
和关于y轴对称

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；

基础检测：
1、下列各式成立的是(　　)
A． B．
C． D．

2、已知函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为6，则a=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5

3、若指数函数f（x）=（3m﹣1）x在R上是减函数，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞0且m≠1 B．m≠ C．m＞且m≠ D．＜m＜
4、函数且的图象必经过定点（ 　）
A． B． C． D．
5、若，则 （ ）
A. B. C. D.
6、已知， ， ，则三者的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7、若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8、函数的图像（ ）
A. 关于原点对称 B. 关于轴对称
C. 关于轴对称 D. 关于直线轴对称
9、函数的图象大致形状是（ ）
A. B. C. D.
10、定义： ，如，当时， 恒成立，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
11、函数的值域是 (　 )
A、R B、(0，＋∞) C、(2，＋∞) D、
12、若函数在上是减函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
典例导悟：
13、化简
（1）
（2）；

14、已知函数.其中且.
（1）若的图像经过点，求的值；
（2）求函数的值域.

15、已知定义在R上的函数.
（1）若f(x)=，求x的值；
（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围.

16、已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若有最大值3，求的值.

17、已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）关于x的不等式f(x)，对任意恒成立，求t取值范围

1、【答案】D
2、【答案】A【解析】解：根据指数函数的性质：当x=1时，f（x）取得最大值，那么x=2取得最小值，或者x=1时，f（x）取得最小值，那么x=2取得最大值．∴a+a2=6．
∵a＞0，a≠1，∴a=2．
3、【答案】D【解析】解：∵指数函数f（x）=（3m﹣1）x是R上的减函数，
∴0＜3m﹣1＜1，解得：＜m＜．
4、【答案】D
5、【答案】D【解析】所以
6、【答案】A【解析】由指数函数的单调性可知是单调递减的所以即； 是单调增的，所以，故选A.
7、【答案】B【解析】不等式恒成立等价于恒成立，即，解得： ，故选B.
8、【答案】A【解析】，所以为奇函数，选A.
9、【答案】B【解析】因为，所以，即，且当时，函数的单调递减函数；当时，函数的单调递增函数，应选答案B 。
10、【答案】A【解析】由题意，则，因此恒成立．则有．故选A．
11、【答案】D
12、【答案】D【解析】因为在上是减函数，且在上是增函数，所以函数在上是减函数，所以.由得
13、（1） (2)
三、解答题
14、【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）函数图象过点，所以，，则；（2），
由得，当时，，所以，
当时，，所以．
15、【解析】（1）由条件可知=， 解得2x=2或2x=-（舍去）， ∴x=1
（2）当时，, 即，
， ，，故的取值范围是
16、【解析】（1）当时，，则u＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7，在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，即函数f（x）的递增区间是（－2，＋∞），递减区间是（－∞，－2）.
（2）令h（x）＝ax2－4x＋3，y＝，由于有最大值3，所以h（x）应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值等于1.
17、【解析】 (1)因为是奇函数，所以即，解得，所以，又由知，解得．
(2)因为所以
即从而解之
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