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指数函数求助编辑百科名片 指数函数图像例子指数函数的一般形式为y=ax(a0且1) (xR). 它是初等函数中的一种。它是定义在实数域上的单调、下凸、无上界的可微正值函数。目录数学术语 公式推导 函数图像 幂的比较 定义域 值域 化简技巧 对应关系编辑本段数学术语指数函数是数学中重要的函数。应用到值 e上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的写为 e，这里的 e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。 当a1时，指数函数对于 x的负数值非常平坦，对于 x的正数值迅速攀升，在 x等于 0 的时候等于 1。当0a0且1) (xR)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 在函数y=ax中可以看到： （1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑， 同时a等于0函数无意义一般也不考虑。 （2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3） 函数图形都是下凸的。 （4） a大于1时，则指数函数单调递增；若a小于1大于0，则为单调递减的。 （5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过 指数函数程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。 （7） 函数总是通过（0，1）这点,(若y=ax+b,则函数定过点(0,1+b) （8） 显然指数函数无界。 （9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 （10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 （11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。 编辑本段公式推导e的定义：e=lim(x)(1+1/x)x=2.718281828. 设a0,a!=1-(log a(x) =lim(x)(log a(x+x)-log a(x)/x) =lim(x)(1/x*x/x*log a(x+x)/x) =lim(x)(1/x*log a(1+x/x)(x/x) =1/x*lim(x)(log a(1+x/x)(x/x) =1/x*log a(lim(x0)(1+x/x)(x/x) =1/x*log a(e)特殊地， 当a=e时， (log a(x)=(ln x)=1/x。 设y=ax两边取对数ln y=xln a两边对求x 导y/y=ln ay=yln a=axln a特殊地， 当a=e时，y=(ax)=(ex)=exln e=ex。 编辑本段函数图像指数函数（1）由指数函数y=ax与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。 （2）由指数函数y=ax与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。 （3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。（如右图）。 编辑本段幂的比较比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。 比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。 例如：y1=34,y2=35，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1. （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可 指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如：y1=1/24,y2=34,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1. （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如： 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如： a 1且x 0，或0 a 1且 x 0）时，ax大于1，异向时ax小于1. 3例：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由. y=4x 因为41，所以y=4x在R上是增函数； y=(1/4)x 因为01/40且a1，即说明y0。所以值域为（0,+) 编辑本段化简技巧（1）把分子、分母分解因式，可约分的先约分 （2）利用公式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母 （3）把其中适当的几个分式先化简，重点突破. 指数函数（4）可考虑整体思想，用换元法使分式简化 编辑本段对应关系（1）曲线沿x轴方向向左无限延展=函数的定义域为（-，+）. （2）曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠 指数函数近X轴（x轴是曲线的渐近线）=函数的值域为（0，+） （3）曲线过定点（0，1）=x=0时，函数值y=a0（零次方）=1（a0且a1） （4）a1时，曲线由左向右逐渐上升即a1时，函数在（-，+）上是增函数；0a1时，曲线逐渐下降即0a1时，函数在（-，+）上是减函数.