品质统计原理-机率导论.docx

授 課 目 錄
第1章 導 論
第2章 統計資料的整理與描述
第3章 機率導論
第4章 常用的機率分佈與統計分佈
第5章 描樣方法與描樣分佈
第6章 統計估計
第7章 統計檢定
第8章 變異數分析
第9章 相關分析與迴歸模式
第10章 無母數統計檢定
第11章 類別資料分析---列聯表與卡方檢定

第三章 機率論

3.1 集合論
◎ 集合論(Set Theory)à機率論(Probability)à群體分佈
◎ 集合是元素的聚合，而元素是集合的單位。
A={1, 2, 3} 1, 2, 3為A集合的單位 1ÎA
無元素的集合存在，稱之為空集合，記做{ }或Æ
例 集合B={X|X2+6X+5=0} 求B={-1, -5}
◎ 元素和集合的關係
A={1, 2, 3} 1ÎA； 4ÏA
◎ 集合和集合的關係
(1) 子集關係：AÌB(A含於B或B包含A)即A中任一元素均在B集合中可找到
A={1, 2, 3} B={1, 2, 3, 4} AÌB
B
A

(2) 等集關係：A=B(A等於B)即集合A與集合B中的元素完全相同
A={0, 1} B={X|X(X-1)=0} A=B
A=B

(3) 對等關係：A~B(A對等於B) 即集合A中每一元素可與集合B中的每一元素一對一對應關係
合格品
不合格品
A集合合
B集合合
1
0
A={0, 1} B={合格品，不合格品}

◎ 集合之運算
(1) 聯集運算：AÈB
(2) 交集運算：AÇB
(3) 去集運算：A-B
B
A
A
B

(4) 結合律：AÇBÇC=(AÇB)ÇC=AÇ(BÇC)
(5) 交換律：AÇB =BÇA
(6) 分配律：AÇ(BÈC)=(AÇB)È(AÇC)
(7) 餘集：設W為全集，則W-A稱之為A之餘集，
記作A’， W-A=A’
A’
A

若A’ÈA=W A’ÇA=Æ (A’)’=A
另A-B= A Ç B’

(8) 分割：設W為全集，集合A、B均含於W，當滿足(a)AÈB=W (b) AÇB=Æ時，則稱為A、B為W上的分割。
A
B

(9) 餘集律：(AÈB)’=A’ÇB’ (AÇB)’=A’ÈB’

******************
符號說明：
X：隨機變數，P：機率，p：不合格率
p(x)：機率密度函數(離散型)
f(x)：機率密度函數(連續型)
F(x)：累積機率分配函數(連續型、離散型)
E[X] = m (期望值)，V[X] = s2 (變異數)
m ：母體平均值， s2：母體變異數
：樣本平均值， S2：樣本變異數
***********************
3.2 機率的概念
◎ 機率論是現代統計學的基礎。機率是為了衡量不確定結果，而建構出來的一種測度。其中基本的概念為：
※ 機率空間(Probability Space)：系統中，集合所有可能出現的事件而構成的一個抽象空間，通常以W表示。有時亦稱樣本空間(Sample Space)或結果空間(Outcome Space)。
※ 事件(Events)：系統中所要討論合理且可能發生的現象，是機率空間的基本元素。
※ 隨機實驗(Random Experiment)：可能出現的結果有很多種，重複實驗時無法明確預知得到什麼結果的實驗方式。
※ 隨機變數(Random Variables)：定義在機率空間的一個量測機率的工具，通常以一個一對多的不確定函數表示。它對實驗的每一種結果指定一數值與之對應。或將『文字敘述』轉換成『數字敘述』(將實驗結果以數值表示，省略一一列出可能實驗結果的煩雜)。常以X表示之，且其結果常符合某一特定分佈。

函數係針對定義域與對應域(值域)之間一對一或多對一的關係，即輸入某一數值就對應輸出另一數值，過程與結果均是確定的(Deterministic)。
但當輸入一事件卻可能出現好幾種其他情況時，如擲一骰子對應的是可能出現六種情況，此即隨機變數。簡言之，隨機變數是一種一對多的『廣義函數』。實數值x(事件)之機率P(X=x)決定機率分佈函數p(x)。

範例、某品牌相同原子筆n支，內有不合格品，某同學任意選1支，試寫出樣本空間?(合格品=G，不合格品=NG)
W = {G，NG}=21
若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)
X的可能值有0，1；W = {X|0，1}；如{x=1}={NG}
(X：隨機變數表選得不合格品數；x：事件)
範例、承上題，某同學任意選2支，試寫出樣本空間?
W = {(G，G)，(G，NG)，(NG，G)，(NG，NG)} =22
若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)
X 的可能值有0，1，2；X = {X|0，1，2}
如{x=1}={(G，NG)，(NG，G)}
範例、承上題，某同學任意選3支，試寫出樣本空間?
W = {(G，G，G)，(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)，(G，NG，NG)，(NG，G，NG)，(NG，NG，G)，(NG，NG，NG)} =23
若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)
X的可能值有0，1，2，3；X = {X|0，1，2，3}
如{x=1}={(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)}

實驗檢驗真理，真理只有一個。然隨機實驗中，其產生之結果是不確定的(Uncertainty)。機率就是衡量此不確定結果，而建構出來的一種測度。

如何決定機率值---決定機率值的方法
(1) 理論機率= 古典機率= 機會均等機率
※ 樣本空間W內有n(W)個元素，若事件A為W之部份集合，含n(A)個元素，則事件A的機率為：
P(A)= n(A)/ n(W)

範例、承上題，某同學任意選1支，為不合格品之機率?
n(W)=21 事件= {NG} n(A)=1 P(A)= 1/ 2
若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)
X 的可能值有0，1；W = {X|0，1}；則{x=1}={NG}
P(A)= n(A)/ n(W) P(x=1) =P({NG})=1/2

範例、承上題，某同學任意選2支，有1不合格品之機率?
n(W)=22 事件= {(G，NG)，(NG，G)} n(A)=2 P(A)= 2/22=1/2
若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)
X 的可能值有0，1，2；X = {X|0，1，2}
{x=1}={(G，NG)，(NG，G)} ；
P(x=1) =P({(G，NG)，(NG，G)})= 2/4 =1/2

範例、承上題，某同學任意選3支，有1不合格品之機率?
n(W)=23
事件={(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)} n(A)=3 P(A)= 3/23=3/8
若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)
X的可能值有0，1，2，3；X = {X|0，1，2，3}
則{x=1}={(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)}
P(x=1) =P({(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)})= 3/8

計算理論機率的方法亦稱古典方法，此法依靠抽象的推理與邏輯分析，而不必進行實際的試驗。

(2) 經驗機率= 客觀機率
※ 一隨機實驗重複試行n次，其中A事件共發生fA次，則A事件發生之機率可視為發生次數與總次數比：
P(A)= fA/n
當實驗的次數愈多，事件的相對次數比將愈趨穩定；即 P(A)= limn® ¥ fA/n

(3) 主觀認定機率
※ 一事件發生之機率，常由人們對此事的經驗，或心理的感覺而決定。此機率較有爭議。

機率公設
在樣本空間W中，事件A發生的機率記做P(A)，機率必須符合以下公設：
(1) P(W)=1，P(Æ)=0
(2) P(A)³0
(3) P(A’)=1-P(A)，其中A’=W-A
(4) 若BÎW，P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AÇB)
樣本空間計算基本法則
法則一(加法原理)：完成一件事有二種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法，則完成此事件共有n1+n2種方法。
法則二(乘法原理)：完成一件事有k個階段，第一階段有n1種方法，第二階段有n2種方法，第k階段有nk種方法，則完成此事件共n1´n2´…´nk種方法。
法則三：在n個不同事物中，任取r個予以組合，其方法有C(n, r)=n!/(n-r)!r!。

範例、甲、乙二人擲骰子，約定甲擲出點數是1, 2時，甲可得2元；點數是3, 4時可得4元；點數是5時可得10元；點數是6時，則甲需付給乙20元。令X表擲骰子後甲所得的錢，求X的機率分佈?
W={1, 2, 3, 4, 5, 6} ；n(W) = 6
X的可能值有2，4，10，-20；X={X|2, 4, 10, -20}
P(x=2) =P({1, 2})= n(A)/n(W) = 2/6
P(x=4) =P({3, 4})= n(A)/n(W) = 2/6
P(x=10) =P({5})= n(A)/n(W) = 1/6
P(x=-20) =P({6})= n(A)/n(W) = 1/6
x
2
4
10
-20
p(x)
2/6
2/6
1/6
1/6
p(x) (x)
p(x=2)1)
p(x=4)
p(x=10)
p(x=-20)
x=2
x=4
x=10
x=-20

範例、甲擲一枚銅板2次，令X表出現正面的次數，求X的機率分佈?
W={正正, 正反, 反正, 反反} ；n(W) = 4
X的可能值有0, 1, 2；X={X|0, 1, 2}
P(x=0) =P({反反})= n(A)/n(W) = 1/4
P(x=1) =P({正反, 反正})= n(A)/n(W) = 2/4
P(x=2) =P({正正})= n(A)/n(W) = 1/4
x
0
1
2
p(x)
1/4
2/4
1/4
p(x)
p(x=0)
p(x=1)
p(x=2)
x=0
x=1
x=2

上述二範例均為離散型資料係屬離散型隨機變數，即實驗結果其對應之數值只有可數的幾種可能值，且可一一列出此種情況，以機率P(X=x)決定機率分配函數p(x)(離散型)。反之，連續型資料係屬連續型隨機變數，即實驗結果其對應之數值不能列出各種可能值，則以機率P(X£a)決定機率分配函數f(x) (連續型)。
3.3 統計獨立與條件機率
定義：統計獨立(Statistically Independent)
在樣本空間W中有兩事件A與B，若A發生的機率不受B影響，即P(AÇB)=P(A)P(B)，則稱事件A與B為統計獨立。
範例：(獨立無關聯)

愛足球
不愛足球
合計
男
648
252
900
女
72
28
100
P(男)= 900/1000 = 0.9；P(女)= 100/1000 = 0.1= 1-0.9
P(愛足球)= (648+72)/1000 = 0.72
P(不愛足球)= (252+28)/1000 = 0.28 =1-0.72
P(男Ç愛足球)= 648/1000 = 0.648
P(男Ç不愛足球)= 252/1000 = 0.252
P(女Ç愛足球)= 72/1000 = 0.072
P(女Ç不愛足球)= 28/1000 = 0.028 由於
P(男Ç愛足球) = 0.648 = P(男) P(愛足球)
P(男Ç不愛足球) = 0.252 = P(男) P(不愛足球)
P(女Ç愛足球) = 0.072 = P(女) P(愛足球)
P(女Ç不愛足球) = 0.028 = P(女) P(不愛足球)
定義：互斥事件(Disjoint Events)
在樣本空間W中有兩事件A與B，若其集合無共同元素，即AÇB= Æ，則稱事件A與B互斥。 P(AÇB)= 0。

定義：條件機率
在樣本空間W中有兩事件A與B。在事件A已發生的條件下，事件B發生的機率稱為條件機率，以P(B|A)表示，則P(B|A)=P(B ÇA)/P(A)。

範例、擲一枚銅板2次，求2次均出現相同結果下，至少出現一次正面的機率?
W={正正, 正反, 反正, 反反} ；n(W) = 4
A：2次均出現相同結果={正正, 反反}；n(A)=2
P(B|A) = P(B ÇA)/P(A) = (1/4)/(1/2) = 1/2

範例、甲到玉市購玉，已知某玉店的10塊玉中有4塊為膺品。甲欲買該店2塊玉，則2塊均為真品的機率?
設A為第一塊玉為真品的事件，B為第二塊玉為真品的事件，則
P(B ÇA) = P(A) P(B|A)= (6/10)*(5/9) = 1/3

定理：貝氏定理
設B1, B2,…,Bn為互斥事件，且事件A為含有各種事件Bi某種共同特性之任意事件。在事件A已發生情況下，則事件Bk發生之機率為
P(Bk|A) = P(Bk)P(A|Bk)/åni =1P(Bi)P(A|Bi)

範例、甲製造車廠有二條生產線B1 , B2，分別各佔60%和40%的生產量。已知生產線B1有2%的不合格率，生產線B2有3%的不合格率，茲某人購買該車廠乙部車有瑕疵，則此車為生產線B1之產品的機率?
B1= 0.6
B2= 0.4
A/ B1= 0.02
A/ B2= 0.03

P(B1) = 0.6，P(A| B1) = 0.02；P(B2) = 0.4，P(A| B2) = 0.03
P(B1) = P(B1)P(A| B1)/[P(B1)P(A| B1)+P(B2)P(A| B2)]
= (0.6)(0.02)/[(0.6)(0.02)+(0.4)(0.03)]= 0.5

3.4 機率分佈函數及其特徵值
機率分佈函數(Probability Distribution Function)可了解事件在機率空間中，其密度分佈的情況，或樣本在母體中出現的頻率的情形。機率分佈函數通常指累積機率分佈函數(CDF, Cumulative Probability Distribution) 以F(x)表示之，或機率密度函數(PDF, Probability Density Function)分別以p(x)---離散型與f(x)---連續型表示之。

機率分佈之性質
X離散型：
(1) 0 £ p(xi) £1 所有xi值
(2) P(X = xi) = p(xi) 所有xi值
(3) S p(xi) = 1 所有xi值

X連續型：
(1) 0 £ f(x)
(2) P(a £ x £ b) =òba f(x)dx
(3) ò¥-¥ f(x)dx = 1

一個隨機變數X之累積機率分配函數F(x)定義為：
F(x) = P(X £ x)
F(x)表示隨機變數X之值小於或等於x的機率。x1 < X £ x2時 P(x1 < X £ x2) = F(x2) - F(x1)
F(x)具有下列性質
(a) F(x)是遞增函數，即若a £ b，則F(a) £ F(b)
(b) limx® -¥F(x)=0, limx® ¥F(x)=1
(c) F(x)是右連續函數

擲1骰子2次，令隨機變數X為2次點數之和
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p(x)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
F(x)
1/36
3/36
6/36
10/36
15/36
21/36
26/36
30/36
33/36
35/36
1
P(5 < X £ 9) = F(9) - F(5) = 30/36 -10/36 = 20/36
母體分佈的特徵，由其期望值與變異數示之。一隨機變數的期望值E[X]，可用以表示機率分佈f(x)之集中趨勢，有時E[X]亦稱之為母體平均數，以m表示。而隨機變數的變異數，則為該隨機變數的所有可能發生結果與期望值間之離散程度，以s2x或Var[X]表示。機率分佈即表示母體分佈的情況，因此母體分佈的二重要特徵值：期望值與變異數，自然亦可由機率分佈函數來求得。
平均值、變異數與期望值
一個機率分佈的平均值是其集中趨勢。其定義為
m = ò¥-¥ xf(x)dx 連續型
m = S xp(x) (所有x值) 離散型
亦可將平均值表示為隨機變數X的期望值(Expected Value)。其定義為
m = E[X] = ò¥-¥ xf(x)dx 連續型
m = E[X] = S xp(x) (所有x值) 離散型
其中E代表為期望值運算子(Expected Value Operator)。

一個機率分配的變異數是其離散趨勢。其定義為
s2 = ò¥-¥(x-m)2 f(x)dx 連續型
s2 = S (x-m)2p(x) (所有x值) 離散型
亦可將變異數以期望值表示。其定義為
s2 = E[(x-m)2]
另變異數的使用亦可定義為變異數運算子(Variance Operator) Var表示
Var[X] = E[(x-m)2]= s2

3.5 聯合機率密度與邊際機率密度(Joint Probability Density and Marginal Probability Density)
在一個隨機實驗中，常有兩個或兩個以上的隨機變數時，考慮其聯合機率密度、邊際機率密度、與共變異數，以處理聯合機率問題。兩個隨機變數X, Y，其同時發生的事件機率以函數f(x, y)表示，稱f(x, y)為X與Y之聯合機率密度函數。倘隨機變數X, Y為間斷型態，其邊際機率密度函數為：
X的邊際機率密度函數f =Sy f(x, y) Y的邊際機率密度函數f =Sx f(x, y)

X與Y為之聯合機率函數與邊際機率函數

y1
y2
y3
fx
x1
f(x1, y1)
f(x1, y2)
f(x1, y3)
fx (x1)
x2
f(x2, y1)
f(x2, y2)
f(x2, y3)
fx (x2)
x3
f(x3, y1)
f(x3, y2)
f(x3, y3)
fx (x3)
fy
fy (y1)
fy (y2)
fy (y3)
Si f x (x i)=1，Si f y (y i)=1

範例：
隨機變數X與Y之聯合機率函數f(x,y)
y
x

10
20
30
1
0.12
0.08
0.2
2
0.18
0.12
0.3
試求隨機變數X與Y的邊際效率分配，並檢驗隨機變數X和Y是否獨立。
y
x

10
20
30
fx(x)
1
0.12
0.08
0.2
0.4
2
0.18
0.12
0.3
0.6
fy(y)
0.3
0.2
0.5
1

y
x

10
20
30
fx(x)
1
(0.4)(0.3)=0.12
(0.4)(0.2)=0.08
(0.4)(0.5)=0.2
0.4
2
(0.6)(0.3)=0.18
(0.6)(0.2)=0.12
(0.6)(0.5)=0.3
0.6
fy(y)
0.3
0.2
0.5
1
由上表知，對於任何x與y，f(x, y) = f x(x)f y(y)皆成立，故此二隨機變數是相互獨立。

變異數s2是用以衡量單個隨機變數的樣本相對期望值離散情況。而共變異數sXY (Covariance)則是衡量兩個隨機變數X與Y單獨一方變動時，對另一變數產生的相關影響之狀況。
有關隨機變數X之平均值 m 與變異數s2與常數c，則
(1) E[c] = c； (2) E[X] = m； (3) E[cX] = c E[X] = cm
(5) Var[c] = 0；(5) Var[X] = s2= E[X2] - m2；
(6) Var[cX+b] = c2s2；
(7) E[X1+X2] = E[X1]+E[X2] = m1+ m2
(8) Var[X1+X2] = Var[X1] + Var[X2]+ 2Cov[X1, X2]
(9) Cov[aX1+b, cX2+d]= ac Cov[X1X2]
(10) Cov[X1, X2] = E[(X1-m1)(X2-m2)]=E[X1X2]-E[X1]E[X2]為隨機變數X1與X2之共變異數(Covariance)。如X1與X2是獨立的，則Cov[X1, X2]= 0。
(11) Var[X1-X2] = Var[X1] - Var[X2]+ 2Cov[X1, X2]
倘X1與X2是獨立的，則
(12) Var[X1-X2] = Var[X1] + Var[X2]= s21+ s22
(13) E[X1X2] = E[X1] E[X2] = m1 m2
一般而言，X1與X2是否獨立
(14) E[X1 / X2] ¹ E[X1] / E[X2]
另共變異數易受單位的改變，形成判斷上的困擾，因而發展出相關係數 r (Correlation Coefficient)，
r = sXY/sXsY = Cov(X,Y)/ sXsY
因此同一實驗不論取用何種單位，相關係數r值不會改變，而且 -1£ r £ 1。倘 r = 0，則稱隨機變數X與Y無關，反之，稱隨機變數X與Y相關。

範例：每天大型生日蛋糕銷售量(X)
銷售量
0
1
2
3
4
5

機率
0.1
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1

E[X]
0
0.1
0.4
0.9
0.8
0.5
2.7
E[X2]
0
0.1
0.8
2.7
3.2
2.5
9.3
Var[X]
9.3 – 2.7^2 = 2.01

範例：投資電子股股票的投資報酬率(X)
可能投資報酬率
-10
-6
5
15

機率
0.1
0.3
0.4
0.2

E[X]
-1
-1.8
2
3
2.2
E[2X + 3]
2 E[X]+3 = 2*2.2 + 3 = 7.4
E[X2]
10
10.8
10
45
75.8
Var[2X + 3]
4(75.8 – 2.2^2) = 283.84

範例：隨機抽出本系10位學生成績
學生
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
統計(X)
68
63
54
40
68
75
72
45
72
50
607
品管(Y)
72
61
58
47
70
73
70
51
72
80
654
求(a) E[X]= 60.7 ，E[Y]= 65.4 E[XY]= 4050.5
(b) sX2 = 140.6 ，sY2 = 102.0 ， sXsY = Cov(X,Y)= E[XY]- E[X]E[Y]= 80.72， Cov(2X+3,4Y+5) = 8 Cov[X,Y]= 645.76
(c) r = Cov(X,Y)/ sXsY = {E[XY]- E[X]E[Y]} / sXsY= 0.674
3.6 機率不等式
已知平均值m與變異數s2
則可分析母體集中趨勢與離散狀況
進一步知服從何種分佈函數
CDF、PDF
可求任意區間的機率分佈
未知CDF、PDF
馬可夫與謝比雪夫
不等式

定理：馬可夫不等式(Markov Inequality)
若X為非負的隨機變數，則對任意a > 0
P(X ³ a) £ E[X]/a

定理：謝比雪夫不等式(Chebyshev Inequality)
若隨機變數X具有期望值 m 與變異數 s2，則對任意
k > 0
P(|X-m| ³ k) £ s2/ k2
P(|X-m| < k) > 1- s2/ k2
平均數與標準差的關係
若平均數= 5、標準差 = 0.5 (常態分配)
(1) (4.5, 5.5)間之機率= 68.27 %
(2) (4.0, 6.0)間之機率= 95.45 %
(3) (3.5, 6.5)間之機率= 99.73 %
若平均數= 5、標準差 = 0.5 (任何分配---謝比雪夫)
(1) (4.5, 5.5)間之機率> 0
P(|X-m| < k) > 1- s2/ k2
P(4.5< X< 5.5)=P(|X-5| <0.5) > 1- s2/ k2= 0
(2) (4.0, 6.0)間之機率= 95.45 %
P(|X-m| < k) > 1- s2/ k2
P(4< X< 6)=P(|X-5| <1) > 1- s2/ k2= 1-0.25/1=0.75
(3) (3.5, 6.5)間之機率= 99.73 %
P(|X-m| < k) > 1-s2/ k2
P(3.5< X< 6.5)=P(|X-5| <1.5) > 1-s2/ k2
= 1-0.25/1.5^2= 8/9 = 0.89

範例、隨機變數X表示某醫院每日接生新生兒數，其期望值10 。(a) 國慶日接生超過15個新生兒的機率? (b) 若X的變異數為4，則聖誕節當日接生新生兒數6至14個的機率?
SOL：(a) 接生超過15個新生兒的機率，依馬可夫不等式P(X ³ a) £ E[X]/a，可知， P(X ³ 15) £ 10/15 = 0.67
(b) 接生新生兒數6至14個的機率，謝比雪夫不等式
P(|X-m| ³ k) £ s2/ k2 à P(|X-m| < k) £ 1- s2/ k2
P(6 < X < 14) = P(|X-10| < 4) = 1 – 4/16 = 0.75

習題一
1. 如果事件A，B獨立，則(A) P(A∪B)=1 (B)P(A∩B)=P(A)P(B) (C)A，B必定互斥。

2. 如果事件A，B互斥，則(A) P(A∩B)=1 (B) P(A｜B)=P(A)且P(B｜A)=P(B) (C) P(A∪B)=P(A)＋P(B)。

3. 假設P(A)=1/2，P(B)=1/4且A與B為互斥事件，則P(A∪B)等於(A) 1/8 (B) 3/4 (C) 2/5 (D) 0。

4. 假設P(A)=1/4，P(B)=1/5且A與B為獨立事件，則P(A∪B)等於(A) 1/20 (B) 9/20 (C) 2/5 (D) 0。

5. 如果A、B為獨立事件，試證A，B’亦為獨立事件。

6. 三個製造汽車煞車系統零件的工人A，B，C，在製造過程中，他們出錯之機率分別是0.02，0.01和0.06。現有一批已完成之零件，其中45%是A工人製造的，35%是B製造的，20%是C製造的。則整批零件中，不良品所佔的比率是多少? (0.45*0.02+0.35*0.01+0.2*0.06)=0.0245

7. 某電子公司向台南、新竹供應商以1：3的比例購入IC半導體零件。台南供應商的產品不良率6%，新竹供應商的產品不良率4%。若台強電子公司隨機檢驗一零件，發現竟是不良品，試問此零件來自台南供應商之機率為多少?
(0.06*0.25)/(0.06*0.25+0.04*0.75)=1/3

8. 假設隨機變數X之機率密度函數如下：
1/6，x=1
f(x)= 3/6，x=2，試求 (A) P(x≦2) =P(x=1)+P(x=2)=1/6+3/6=2/3
2/6，x=3
(B) E[X] =1*1/6+2*3/6+3*2/6=13/6
(C) Var[X]=E[X^2]+(E[X])^2=31/6-(13/6)^2=17/36。
( E[X^2]=1^2*1/6+2^2*3/6+3^2*2/6=31/6)。
9. 假設隨機變數X之機率密度函數如下：
f(x)= 2x，0<x<1
0 其他 試求
(A) P(X<0.3)= ò0.302xdx= 0.9 ，(B) E[X] = ò102x2dx= 2/3
(C) Var[X]= E[X2]-(E[X])2= 1/18 (E[X2] = ò102x3dx= 1/2)。

10. 設隨機變數X與Y的聯合機率分配f(x,y)如下表：
y
x

10
20
30
1
0.08
0.08
0.04
2
0.12
0.12
0.06
3
0.20
0.20
0.10
試求隨機變數X與Y的邊際效率分配，並檢驗隨機變數X和Y是否獨立。
fx (x)=0.2, x=1；fx (x)=0.3, x=2；fx (x)=0.5, x=3，
fy (y)=0.4, y=10；fy (y)=0.4, y=20；fy (y)=0.2, y=30
fx(1)fy(10)=0.2*0.4=f(1,10), fx(1)fy(20)=0.2*0.4=f(1,20),….
fx(x) fy(y)=f(x,y) So X and Y are Independent.

11. 隨機變數X和Y有聯合機率函數為：
f(x,y)= 1/3，(x,y)=(0,1),(1,1),(1,0)
0其他範圍
試求隨機變數X和Y的邊際機率密度，共變異數Cov[X,Y]，和相關係數rXY 。
fx (x)=1/3, x=0；fx (x)=2/3, x=1，
fy (y)=1/3, y=0；fy (y)=2/3, y=1；
Cov[X]=Cov[Y]=2/9
Cov[X,Y]=E[X]-E[X]E[Y]=-1/9
rXY = -1/2

12. 台南縣地區空氣污染指數每日平均75，請根據 (A)馬可夫不等式求取空間污染指數大於100之機率上限。
P(X ³ a) £ E[X]/a ，P(X ³ 100) £ 75/100=0.75
(B)若已知標準差為5，根據謝比雪夫不等式，求空氣污染指數大於50，小於100之機率上限。
P(|X-m| ³ k) £ s2/ k2，P(|X-m| < k) > 1- s2/ k2，
P(50 < X < 100) = P(|X-75| < 25) = 1 – 52/252 = 0.8

習題二
1. 下列何種抽樣方法，抽樣作為估計群體誤差為最小 (1)單純隨機抽樣法 (2)系統抽樣法 (3)分層隨機抽樣法 (4)集體抽樣法 (5)視情形。
2. 亂數表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 56 30，若在50件(編號00–49)要抽5件時，則抽樣第5件之編號為( 16 )。
3. 進貨50件，系統抽樣，要抽5件，若第一件為編號3，則第四件之編號為( 33)
4.
(1) 一班學生50人之重量(群體/樣本)
(2) 一桶溶液取一杯量來分析，一杯量為(群體/樣本)
(3) 每批中取30個量測尺寸(群體/樣本)
(4) 100箱（當抽樣數為5）該箱可視為(無限群體/有限群體)
(5) 30箱(當抽樣數為5時)該箱可視為(無限群體/有限群體)
5. 亂數表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 56 30，若在1000件(編號000–999)要抽五件時，則抽樣第3件之編號為( 274 )
6. 某批取12個量測尺寸，其數據之特性必有(中位數/平均數/眾數)。
7. 常態分配平均值3，標準差0.2，則2.6～3.4間之次數約佔全部次數( 95.45% )。
8. 和中心值無關統計量(標準差/平方和/R值/平均偏差/變異數)。
9. 寫出1至30中可被5整除之集合。{5, 10, 15, 20, 25, 30}
10. 集合B=｛X︳X^2+6X+5=0｝求B=｛ -1, -5 ｝
11. A=｛1，3｝ B=｛3，5，6｝ C=｛1，3，5，8｝
A∪B={1, 3, 5, 6} A∩B= {3} A-B={1}
12. 樣本空間Ω=｛1，2，3，4｝ A=｛1，2｝ B=｛3｝
A’=｛3, 4｝ A-B=｛1, 2｝, (A∪B)’=｛1, 2, 3｝’={4}, B∩A’={3}∩{3, 4}={3}
13. 某公司有五架同型電視機，內有二架故障，王小姐任意挑選二架，試寫出樣本空間Ω={G G, G NG, NG G, NG NG}
14. 一批製品有4個良品，3個疵品，自其中抽取二個時，其樣本空間以不良品數目表示時，其樣本空間為{G G, G NG, NG G, NG NG}={ X| 0, 1, 2}。
15. 一銅幣，其出現正反面之機會相等，擲一銅幣二次，樣本空間以正面出現次數表示，樣本空間為{正正, 正反, 反正, 反反}={X| 0, 1, 2}。
16. 某製程要控制溫度，原料及水份，今考慮有4種水準的溫度，5種原料及2種不同水份，則製造方法共有( 4*5*2=40)種方法。
17. 7題是非題總共有幾種答法。
18. 求C(20，4)= 4845 ；C(100，3)=161700； C(100，97)=161700
19. 從10件製品送驗批中，任取3件加以檢驗，選取的方法有多少種?C(10,3)=120
20. 五男三女選4人組成委員會，可能組成若干委員會(2男2女)。 C(5,2)*C(3,2)=30
21. 撲克牌52張中，隨機取出4個，全部均為紅磚的機率(C(13,4)C(39,0)/C(52,4)=0.00264)。
22. 投一個六面骰子，出現偶數的機率= ( 1/2 )。
23. 投二個六面骰子，出現和大於10機率= ( 1/12 )。
24. P(A-B)=0.4 P(A∪B)=0.7 求P(B)=？ P(B)=0.3
25. 設A，B為互斥事件P(A)=0.4 P(B)=0.5 (1) P(A∪B)=(0.9) (2) P(A∩B)=( 0 ) (3) P(A’)=( 0.6 ) (4)P(A’∩B)=(0.5 ) (5) P(A∩B’)=( 0.4 )。
26. P(A)=0.3， P(B)=0.4，P(A∪