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第十三章 统计质量管理（I）

第一节 质量与质量管理
一、质量管理的意义
在现代社会里，产品质量是一个受到广泛关注的话题，不论是发达国家还是发展中国家，都十分重视产品或服务的质量，并且不断寻找着改善和提高质量的有效途径。质量问题之所以如此重要，原因是多方面的。随着人类社会物质生活的丰富，人民生活水平的提高，消费者对产品的质量提出了更多的要求，尤其是在买方市场出现的时候，消费者对产品的质量甚至更加挑剔，与此同时，社会也越来越多地要求生产厂家和零售商承担起产品的责任和服务责任，注意对资源环境和生存环境的保护。面对这样的经营环境，再加上同业竞争日益激烈，生产商只有靠质优价廉的商品，才能在市场上获得一席之地，才能增强自身的竞争能力，才能取得持续和更大的发展。
综观中外，以质取胜的事例不胜枚举，最典型的要数日本。大家可能都知道，日本经济的振兴主要就是从抓质量开始的。20世纪50年代，日本从美国引进质量管理，60年代推行全民“质量月”活动，后来创建了日本式的全面质量管理，连现在的美国也在学习日本企业质量管理的做法和经验。可以毫不夸张地说，日本成功的秘诀之一，就是注重在企业全面推广质量管理方法。
二、质量
质量是质量管理的对象，如何看待和认识质量，这是质量管理的前提。质量概念是一个动态发展着的范畴，它有狭义和广义两个方面的理解。狭义的质量概念是指产品的可用性、可靠性和经济性，这些方面的综合反映就是产品的质量。然而，人们在长期的实践中发现，产品最终质量的好坏，不是孤立的、无根可寻的，而是同产品的制造过程有着千丝万缕的联系，产品的设计、原材料、工艺、加工、检验、包装、发销、售后服务等，都会影响到产品的质量。在这个背景之下，产生了广义的产品质量概念。它不仅包含狭义质量的内容，而且还把工作质量也包括进去。因此，要提高产品质量，除了在技术环节上精益求精之外，也应该在产品的质量管理上下工夫，使用科学的质量管理方法。
国际标准化组织关于质量的定义。根据ISO8402-1994的解释，所谓质量是指：“反映实体满足明确和隐含需要的能力的特性总和。”
三、质量管理
质量管理是企业管理活动中的一项重要的内容，贯穿于企业管理活动的全过程。何为质量管理，目前存在着多种不同的说法，其中，比较有代表性的是：（1）制订质量标准并使之实现而采取的所有方法，都属于质量管理的范畴，（2）质量管理就是考虑到要使消费者完全满意，而为能在最经济的水平上进行生产，企业的各个部门互相协作进行保持和改善产品质量而努力的有效的体系。
ISO8402-1994中对质量管理的定义是：“确定质量方针、质量目标和职责，并在质量体系中通过诸如质量策划、质量控制、质量保证和质量改进，使其实施的全部管理职能的所有活动。”这个定义的突出特征，在于它强调了组织进行质量管理的主要内容，但不是质量管理的全部。
四、统计质量管理
鉴于统计方法在质量管理中的重要作用，有不少人直接把质量管理与统计质量管理等而视之。这从某种程度上讲，是有一定合理成分的，首先质量管理所使用的技术手段和定量方法中，绝大部分与统计方法相关，其次它也表明了质量管理发展过程中统计方法独特的历史地位和作用，可以说现代质量管理主要就是从引进统计方法开始的。不过即使如此，把统计质量管理与质量管理完全等同起来还是有些问题的，需要对统计质量管理进行重新解释。
当代权威的质量管理专家朱兰(J· M · Jμran)认为，统计质量管理是为了最经济地生产最有用的并且有人购买的产品，而在生产的所有阶段中应用统计手段。
统计是一门方法论性质的学科，统计质量管理确切地说是统计方法在质量管理活动中的一切应用，它能帮助我们进行产品质量的定位和设计，并且在加工过程中帮助我们发现质量状态及变动，以及防止不合格品出厂，从而实现企业追求赢利的目的。
中帮助我们发现质量状态及变动，以及防止不合格品出厂，从而实现企业追求赢利的目的。
五、质量管理方法的分类
质量管理的方法可分为三大类，一是统计方法，二是组织性的方法，三是其他方法。
1、统计方法。不了解统计方法，就不可能搞好企业的质量管理。日本著名的质量管理专家石川馨教授曾说过这样的一句话，企业中的95%的问题皆可以使用简单的统计手段来处理。因此，统计方法是质量管理方法体系中的十分重要一类方法。质量管理所使用的统计方法，大体上可分为三个层次：（1）常用的统计管理方法，目前这些统计方法已为大多数企业所采用，人们对它们比较熟悉，具体包括：帕雷特图（或排列图）、鱼刺图、直方图、散点图、控制图、检查图、分层法等，即通常人们所说的“QC七种工具”。（2）中级统计管理方法，包括抽样调查、抽样检验、官能检查、试验设计等，属于这一层次的方法相对比较复杂一些，需要专业统计知识背景，因此不要求企业所有人员都要掌握，主要为有关技术人员、专门的质量管理人员使用，（3）高级统计管理方法，主要包括复杂的试验设计、多元质量统计分析、电子计算机集成制造系统等，一般用于工程质量的分析，在企业中，只有少数高级管理人员才能掌握和使用。统计是一种手段或工具，它要用数据事实说话，因此在运用统计方法进行质量管理时，制订周密详细的数据采集计划是十分必要的，只有搜集到真实可靠的数字资料，才能更好地发现质量问题，另外，还要借助专业知识的背景，否则统计方法应用得再好，也与事无补。
2、组织性的质量管理方法。组织性质量管理方法的指导思想和出发点是全面质量管理，它要求要从组织结构、业务流程、人员行为方式的角度进行质量管理活动。其内容主要有：制订质量方针、建立质量保证体系、开展QC小组活动、质量诊断和控制、质量责任、质量教育和培训等。
3、其他方法。除了统计方法、组织性管理方法以外，在质量管理中还要用到其他一些方法，如运筹学、优化技术、价值分析、系统工程、技术经济学、质量经济学、标准化、可靠性理论等。
在这一章及下一章里，我们只介绍质量管理中与统计有关的方法，主要是：分析质量原因一些常用的图表、控制图、产品质量验收抽样检验、多元质量控制等。

第二节 基本分析方法
一、质量波动原因
现代工业产品的质量一般都是通过规格和标准反映出来的，如灯泡、电池要有一定的使用寿命，钢丝绳、化学纤维要有一定的抗拉强度，建筑水泥要有一定的标号等。但是，在具体加工制造的过程中，即使是同一个人、同一台机器、同样的原材料和同样的操作方式，生产出来的产品也不会完全一样。一批产品的质量水平，总是围绕着某个平均数上下发生变化，这就是产品质量的波动问题，它是客观存在着的。
产品质量波动是结果，而造成这一结果的各因素的变异才是原因。影响产品质量的原因主要是：
1、按它的来源来划分，有人员（man）、机器(machine)、原材料(material)、加工方法(method)、测量工具和环境(environment)，简记为 5M1E。其中，人的因素包括操作者的技术水平、熟练程度、劳动态度、身体状况和精神状态等，机器设备包括机器设备本身的精密程度和科技含量、使用年限、日常维修保养等，原材料包括原材料的质量、形状等，加工方法包括难易程度、时间长短、原材料配比、温度压力等，测量工具包括测量方法、工具的精密性等，环境要素包括车间的温度、湿度、光线、噪声、粉尘、色彩等。在大量连续性的生产过程中，5M1E每时每刻都在发生变化，它们共同作用的结果，形成了产品质量的波动。
2、按作用的程度来划分，有主要因素和次要因素。影响产品质量的因素非常多，然而并非个个都同样重要，其中有一些因素，虽然数量不多，但一旦出现了显著的变动，便会产生重大的影响，而另一类因素尽管数目很多，可是影响甚微。因此，要想减少废品或次品，只要找出导致废次品的少数几个原因，并致力于加以消除，就可以解决问题。
3、按性质来划分，有系统性原因和随机性原因。导致生产过程出现失控状态的原因，称为系统性原因，又叫异常原因。系统性原因的特点是：（1）对产量质量的影响特别大，可直接造成大面积废次品的出现，（2）不是生产过程中始终存在的，（3）一旦发生系统性原因，产品质量整体上会向同一方向变化，（4）容易识别也能消除。例如，原材料不合格，机器设备故障，操作方法不当等，就会产生系统性影响。由于 5M1E随机的、偶然性变化，所产生的产品质量的变化，称为随机性原因或偶然性原因。随机性原因的特点是：（1）对产品质量的影响比较小，（2）在整个生产过程始终存在，具有经常性，（3）不会引起产品质量向同一个方向变化，（4）不易识别，能够加以控制或减少，但不能消除。系统性原因和随机性原因是相对而言的，在一定的条件下，它们可以相互转化。如果对产品质量的要求不那么高，某些系统性原因不很严重的话，也可以把它当作随机性原因来处理，相反，随着科技水平和管理水平的提高，原来不易识别不易控制的偶然性影响，也可能被识别出来并能够进行控制。质量控制的任务，首先是区分这两类不同性质的原因，然后采用相应的处理措施。
二、帕雷特图
帕雷特图又称主次因素排列图，最早是由意大利经济学家帕雷特(V·Pareto)提出来的，原先主要用以分析收入分配的平等性问题，后来人们觉得这个方法简单好用，又被用以质量管理中。帕雷特图是针对质量问题产生的原因，将其按影响大小进行排列而编制成的累积频数分布条形图，它的作用是，帮助人们发现或判断影响产品质量的少数关键性要素。
绘制帕雷特图，需要经过以下几个步骤：
第一步，明确要研究的问题，比如缺陷、故障、损失等。
第二步，搜集数据资料，包括：搜集资料的内容即哪些方面的资料，搜集资料的方式，采用的分类原则，具体日期等。
第三步，编制数据统计表。按可能出现的原因分组，编制频数分布。
第四步，绘制帕雷特图。
[例2.1]根据下面的资料绘制帕雷特图，并指出造成缺陷的主要原因。

表2.1 产品缺陷频数表
缺陷原因
发生次数
累积频数
频率（％）
累积频率
变形
刮花
104
104
52
52
42
146
21
73
针眼
20
166
10
83
裂缝
10
176
5
88
斑点
6
182
3
91
有沟
4
186
2
93
其他
14
200
7
100
合计
200
－
100
－
解：由以上给定的资料，只要经过下面几个步骤即可画出帕雷特图。
第一步，画一个直角坐标系。
第二步，绘制条形图。
第三步，描绘出累积频数分布折线图。
具体结果如下：
图2.1 缺陷原因帕雷特图

从图2.1中可以看出，虚线右边的折线仍在上升，但总体比较缓慢，而左边的三个原因已占缺陷原因80%以上，所以变形、刮花和针眼是造成缺陷的主要原因。
帕雷特图实质上是一种频数分布图，绘制和识别都比较简单。应用帕雷特图需要注意的是：
１、要从各个不同的角度进行分类研究，并绘制相应的帕雷特图，以利于寻根问底，直至找出关键的原因。
２、特别注意绘制原因之原因帕雷特图，通过这一系列帕雷特图，最终找到具体要解决的问题。
３、帕雷特图主要是帮助我们找到关键性原因，为了有的放矢，不要把关键性原因列得太多，否则容易分散目标。
４、“其他”一栏的频数不宜太大，否则说明分类不当，不利于找出原因。
５、采取措施前后的帕雷特图要对照使用，以便于证实原因的改善是否有效果。
三、鱼刺图
鱼刺图有时候又称因果图，因这种图绘制出来之后形似鱼的骨骼故而得名。所谓鱼刺图是指，表示质量特征与各种因素关系的图形。它是日本质量管理专家石川馨教授提出来的，为了表示对他的尊敬，人们往往也称之为石川图。我们知道，影响产品质量的因素可能非常多，要想把它们列举出来并非易事，但鱼刺图却具有这样的功能，它能帮助人们循序渐进而又清晰明了地寻找产生质量问题的各种原因。
绘制鱼刺图的基本思路是，边找原因边画图。边找原因边画图的过程：
第一步，选定产品的某一质量特征。
第二步，从左往右画一条水平直线并把它描粗，在线段的右端点标出质量特征，用方框框起来，以示醒目。
第三步，把影响该质量特征的几个主要因素在直线的上方或下方用粗一点的线表示出来，同样在线的上端点标出原因的名称。
第四步，再寻找影响主要原因的各次要原因，用细一点的线表示。如此进行下去，就可以绘成鱼刺图。
下面是一个鱼刺图的例子：
图2.2　曲拐开档问题鱼刺图
机器 　　　　　　人员
漏油　　　　　　　　　　思想不集中
负荷太大　　　　压力不足　　　　　新工人多
压头问题　　　　责任心不强
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　开档大
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　弯头小
灰尘大　　弯头有锐边　　夹具不均匀
铁屑多　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　定位销断
环境 　　原材料 　方法

绘制鱼刺图的注意事项：
　　１、质量特征必须明确具体。如果质量特征比较含糊笼统，那只能得到一个一般性的鱼刺图，尽管鱼刺图本身可能没有错，但对解决问题不会有太大的帮助。
２、应该集思广益，充分进行民主讨论，尽量把可能有关的因素全部找到。
３、有几个值得关注的质量特征，就应绘制几张鱼刺图。因为不同的特征，它的影响因素的结构可能很不相同，把什么都画到一张图上，画出来的图就显得特大特繁，从而不利于找出原因。
４、质量特征和因素都必须是可以度量的。因为鱼刺图绘好后，进一步地还要用数据来判断因果关系的强弱程度。
５、必须要找到可以采取措施的因素。如果找不到这样的因素，则无从下手也就无法解决质量问题。
６、应该将帕雷特图和鱼刺图在可能的情况下结合起来使用。
四、直方图
直方图与控制图一样，在质量管理中有着重要的广泛的应用。质量管理用直方图在制作方法上同一般的数据整理直方图没有什么区别，但为了便于分析质量波动的情况，有时要求在直方图的空白处给出观察数据的均值、方差，如果产品的质量有规格限制参数，还要求标出规格容限。下面，我们介绍几种在质量管理中常见的直方图类型，以及如何根据直方图判断生产过程的稳定性。
质量管理直方图的典型形状：
１、普通型
这类直方图最为常见，整个图形围绕着观察值的平均值而左右对称，且频数在中间值处最大，而此后向两边徐徐下降。
　 图2.3　普通型直方图

2、多模型
形象地也称为鸡冠型、锯齿型。这类直方图的特征是，频数分布每隔一级就下降一次，多数是因数据分组不当所引起的，也可能是由于数据的有效位数不相等或取舍方法有问题。
图2.4 多模型直方图

3、 偏态型
分为右偏和左偏两种类型，右偏的特征是整个频数分布的形状大致为，左边的频数下降稍陡，右边的频数下降平缓，图形明显向右拖尾，左偏刚好相反。产生偏态型直方图的原因主要是由于操作工人心理因素所致，造成了对数据的某种倾向性要求。
图2.5 偏态型直方图

　 (a) 右偏型

（b） 左偏型
4、悬崖型
也分为右悬崖型和左悬崖型。其特征是频数分布在图形的某一端急剧下降，而在另一端则缓慢下降，产生的原因是生产过程的能力较低（或高），在抽样前对产品已作过全面的筛选。
图2.6 悬崖型直方图

（a）悬左崖型
a)

(b)右悬崖型
5、双峰型
顾名思义，这类直方图存在着两个明显的众数，多半是由于两个均值不同的数据混杂在一起而造成的。
图2.7　双峰型直方图

6、孤岛型
在一个直方图外，还存在另一个直方图，并且呈孤立状态。这是由于测量不当造成了极端值的出现，或者是加工过程中出现了条件的变化。
图　2.8 孤岛型直方图

7、平顶型
平顶型直方图可看作是双峰型直方图的极端情况，如果有多个不同均值的数据混杂起来，便会出现这种情况。
图　2.9 平顶型直方图

将直方图与规格容限进行比较，可判断生产过程是否稳定和加工能力的大小。以下是几个常见的情况：
１、直方图在规格容限以内且两侧留有余地。
图2.10　完全理想状态

SL SU
图中，SL、SU分别表示规格下限和上限。
２、直方图在规格容限以内但两侧没有余地，这时稍有不慎就会出现废次品，应注意提高工序能力。
图2.11　不完全理想状态

SL SU
３、直方图超出规格容限，需要进行工序能力调整。
图2.12　不理想状态

SL SU
（a）超出下限

SL SU
(b)超出上限

SL SU
(C)超出上下限
总之，直方图在质量管理中的作用主要表现在：
第一， 作为质量报告之用。在汇报质量情况时，可以用直方图生动鲜明地进行说明。
第二， 可供分析质量变动之用。把搜集到的数据，按5M1E、时间等因素进行分层，很容易帮助我们找到引起质量变异或异常的原因，从而有目的地减少波动，以增加生产过程的均匀性，提高产品质量。
第三， 调查和分析工序能力。根据直方图是否在规格容限之内，以及超出容限的情况， 可以分析工序能力水平，并做出相应的调整措施。
五、散点图
对于一维数据，通过编制频数分布我们就可以大体上了解到总体的分布情况，但是在质量管理的实际中，经常要分析研究两个变量之间的关系。比如，温度与产成品的合格率，加工前的尺寸和加工后的尺寸，材料的成分与不合格品率，产品的硬度和抗拉强度等，处理这些问题一个简单有用的工具就是绘制散点图。散点图又称相关图，它是将成对的数据在直角坐标系中描绘出来所得到的图形，主要用于显示两个变量之间的统计相关关系。
［例2.2］某工厂用吹模方法生产塑料槽，其次品都是槽壁过薄，根据经验分析，怀疑是空气压力波动所致，为了验证猜测，抽取了30天的试样作检查，获得的数据如下：
表2.2 吹气压力与次品率资料
日期
吹气压力
次品率
日期
吹气压力
次品率
10月1日
8.6
0.889
22
8.7
0.892
2
8.9
0.884
23
8.5
0.877
3
8.8
0.874
24
9.2
0.885
4
8.8
0.891
25
8.5
0.866
5
8.4
0.874
26
8.3
0.896
8
8.7
0.886
29
8.7
0.896
9
9.2
0.911
30
9.3
0.928
10
8.6
0.912
31
8.9
0.886
11
9.2
0.895
11月1日
8.9
0.908
12
8.7
0.894
2
8.3
0.881
15
8.4
0.894
5
8.7
0.882
16
8.2
0.864
6
8.9
0.904
17
9.2
0.922
7
8.7
0.912
18
8.7
0.909
8
9.1
0.925
19
9.4
0.905
9
8.7
0.872
试绘制散点图，并指出吹气压力与次品率之间的关系。
解：以吹气压力为自变量，用横坐标表示，次品率为因变量，用纵坐标轴表示，绘制的散点图如下：
图2.13 吹气压力和次品率

从图中可以看出，吹气压力与次品率呈某种程度的正相关关系，由此可以断定，吹气压力可能是影响塑料槽的一个质量因素。
质量管理中的散点图主要用于分析：（１）一个质量特征与一个影响因素之间的相关关系，（２）二个相关的质量特征之间的相关关系。
绘制散点图时需要注意：
１、样本数据对至少要有30对，数据太少，难以反映出是否存在相关关系。
２、横坐标和纵坐标的刻度应合理筹划，否则容易造成不正确的判断。
３、数据的范围应尽可能大一些。因为图示反映的相关关系在很大程度上依赖于数据的范围，选择的范围不同，呈现的相关关系可能有较大的差异。
４、要进行分层研究。就是按各种依据，分别制作散点图，如果不这样，往往会将不相关看成相关关系，或者将有相关关系当成不相关。
５、要精确反映相关关系，可计算相关关系并进行检验。如果是一个质量特征与多个影响因素，可运用回归分析的办法来处理。

第三节 控制图
一、控制图的统计原理与构造
控制图是休哈特发明的，于是人们又常称之为休哈特控制图。它是运用统计方法确定出管理界线，并用于管理监控的一种图表。
从前面对产品质量影响因素的分析中我们知道，引起产品质量不正常变化的是系统性原因，一旦当它们发生作用时，就会产生质量问题，而随机性原因总是存在的，但它们不会造成质量问题。因此，质量控制实际上可以转化为怎样区别系统性原因和随机性原因到底哪一个正在发挥着主导作用，并以此来减少不合格品的出现。
假定产品的质量标准为μ，如果只存在随机性原因影响，不发生系统性偏差，则随机抽取一件产品，其质量特征X应满足：
xi=μ+εi，且ε～N(0，σ2)， i=1，2，…，n
也即：
xi～N(μ，σ2)， i=1，2，…，n
根据正态分布原理，μ-３σ≤xi≤μ+３σ的概率为99.73%，这就是说，如果生产过程是正常进行的，不存在系统性原因的影响，那么产品质量的观察值超出［μ-3σ, μ+3σ］范围的可能性不到１％，是一个小概率事件。小概率事件由于发生的可能性较小，通常在少数试验中是不可能出现的，一旦出现了，我们就有理由认为生产过程有系统性原因在起作用。据此，可以确定出控制图的管理界线，其中，质量标准μ为中心线，μ-3σ为管理下线，μ+3σ为管理上线。
图3.1 控制图的结构形式
观察值 （管理上线UCL）

（中心线CL）

（管理下线LCL）

样本序列号
二、控制图的种类
根据所要分析的质量特征、目标用途等，可以把控制图划分成许多种类。在这里，我们按质量数据的差异，对控制图进行分类研究和介绍。
1 、 –R控制图、xme –R 控制图和x控制图。这些控制图主要用于质量特征是长度、重量、强度、密度、纯度、时间等计量值的情况，其中，控制图，用于观察分布均值的变化，xme为中位数控制图，是作为控制图的替代来使用的，因为在现场统计中，xme　比 的确定来得更为简便，R控制图主要用于观察分布的离散程度，在一些特殊情况下也有用S（标准差）控制图代替R控制图的，x控制图直接把一个个观察数据在控制图中标示出来，虽然简单但误用较多。
–R控制图通常结合在一起使用，xme –R也是如此，不过前者使用得更为普遍。究其原因是，只有同时考察集中趋势和离散情况，才能了解生产过程的变化状态。在各种控制图中，–R控制图能提供较多的信息，最适用于技术性分析和工序能力研究。
２、p控制图和np控制图。p控制图和np控制图主要适用于计件数的场合，如果把不合格品当作质量问题时，就要运用这两种控制图。p控制图为不合格品率控制图，np为不合格品数控制图。一般地说，当每次抽选的样本容量n都相等时，既可以用p控制图，也可以用np控制图，但n不相等时，则要用p控制图。
３、c控制图和u控制图。对于计点数的质量问题，要用到c控制图和u控制图，比如：一匹棉布上有多少个疵点，一个铸件上有多少个气孔等。也可以这样来说，凡是质量特征可以用泊松分布进行描述的，都要求使用c控制图或u控制图。c控制图称为点数控制图，u控制图为单位点数控制图。
图3.2 控制图的种类

　　 计量值—— — R、 xme—R、 x

数据类型
计件值——p、np
计数值
计点值——c、 u
所以，我们应该根据质量数据的类型，选择相应的控制图。
不管哪类控制图，管理界线的确定都要遵从“３б”原则。因此，记住计量值要用正态分布拟合、计件数用二项分布拟合、计点数用泊松分布拟合是十分必要的，否则均值和方差或标准差的估计就会遇到麻烦。
三、控制图的制作方法
（一）- R控制图
- R控制图的制作过程：
第一步，搜集资料。搜集绘制控制图的资料要注意：（１）必须是生产过程比较稳定时的资料，（２）必须是近期发生的，（３）在技术上大致和以后生产过程条件相同的，（４）数据量应尽可能地多，最好在100个以上，（５）注意测量、登记过程的准确性。不然的话，即使制成了控制图，也无助于识别系统性原因是否发生，从而也不会达到实现控制的目的。
第二步，对搜集来的数据进行妥善的分层。一般可按同一天、同一个班次、同一台机器、同一个操作人员等进行分层，如果没有明显的理由，也可按资料搜集的先后顺序分层。分层时要注意，同一组的数据其变化不要太大，每一层的数据量应在２—１０个之间，最好是３—５个，并且都相等。
第三步，计算每一层的均值和极差。令xij表示第i个层第j 个观察值，i=1，2，…，k， j=1，2，…，n (3≤n≤5)， 则：
，i=1，2，…，k
,，i=1，2，…，k
第四步，计算总均值和极差平均数。

第五步，确定控制图的管理界线。
控制图：
（3.1）
R控制图：
（3.2）
A2、 D3、 D4为系数，具体数值可以从查对表中查出，对R控制图，当n≤6时，可不考虑下管理线。
表3.1　A2、 D3、 D4系数值
各层容量n
控制图

R控制图
A2
D3
D4
2
1.880
----
3.267
3
1.023
----
2.575
4
0.729
----
2.282
5
0.577
----
2.115
6
0.483
----
2.004
7
0.419
0.076
1.924
8
0.373
0.136
1.864
9
0.337
0.184
1.816
10
0.308
0.223
1.777
第六步，画出管理界线。分别控制图和R控制图，标出管理界线，上下管理界线用虚线表示，中心线用实线表示。
第七步，标出每层的均值点和极差点。在控制图中，用不同的记号将各层的 、Ri.分别表示出来，并用折线顺次将各点连接起来。
第八步，注明其他事项。比如产品的种类、质量特征、测量单位、负责人、数据采集的时间、控制图序号等。至此，控制图就制作完成了。
［例3.1］为了研究某个机器加工过程的波动情况，每天在９时、11时、14时和16时分别抽取一个产品进行测量，得到如下数据（见表3.2），试绘制 –R 控制图。
表3.2 测量数据

序号

日期
时间
均值

极差
Ri.
9:00
11:00
14:00
16:00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
11.2
3
4
5
6
9
10
11
12
13
16
17
18
19
20
23
24
25
26
27
30
12.1
2
3
4
52.5
53.0
52.8
52.9
52.8
52.6
53.5
53.1
53.4
53.2
53.4
52.8
53.2
53.5
54.3
53.2
53.8
53.1
53.7
53.3
53.3
53.1
53.6
53.4
53.3
52.9
52.8
52.9
52.9
52.9
53.4
53.6
53.3
53.1
53.4
53.0
52.9
53.3
52.9
53.6
53.3
54.0
53.6
53.8
53.1
53.7
53.1
53.4
53.7
53.2
52.9
53.5
52.7
52.9
52.7
53.1
52.8
53.5
53.1
53.1
53.9
53.2
52.9
54.0
53.6
54.0
53.8
53.7
53.0
53.6
53.3
53.2
53.2
53.0
53.5
53.5
52.4
52.8
52.9
53.1
53.3
52.7
53.0
53.1
52.9
53.1
53.2
53.1
53.9
53.8
53.7
53.8
53.8
53.5
53.0
53.8
53.1
53.0
53.2
53.4
52.95
52.925
52.8
52.9
52.875
53.1
53.15
53.225
53.175
53.15
53.35
53.025
53.125
53.575
53.825
53.55
53.85
53.55
53.5
53.25
53.525
53.125
53.3
53.325
53.35
1.00
1.10
0.20
0.00
0.40
0.80
0.90
0.50
0.30
0.50
0.90
0.40
0.40
0.10
0.70
0.80
0.20
0.70
0.80
0.60
0.50
0.10
0.60
0.07
0.03
解：对数据进行分层，以一天为一组，每组的数据个数n=4。
计算各层的均值和极差，结果列在表3.2的最后两栏。
计算总均值和平均极差，得到：

=×(52.95+52.925+…53.35)
=53.259

=×(1.00+1.10+…+0.30)
=0.58
确定控制图的管理界线：
=53.259

=53.69

=52.84
确定R控制图的管理界线：

=0.58

=1.32
绘制出来的控制图如下所示：
图3.3

(二)p控制图
p控制图的制作过程：
第一步，搜集资料。搜集资料的要求，同-R控制图的要求基本一样。
第二步，进行分层。层数在20～25范围内比较好，并且各层的样本数据个数应视不合格品率p的大小来定，如果p较小，每层的样本数据个数要多一些，反之则可以少一些，但不管怎样，层内的数据不得少于50，以保证良好的统计检验能力。
第三步，计算各层的不合格品率。
，i=1，2，…，k
表示第i层的不合格品数，为层数据量。
第四步，计算k层平均不合格品率。

第五步，确定管理界线。
（3.3） 其中，。
第六步，画控制图，并完成所要求的各事项。
关于p控制图管理界线的确定，我们来做点说明。严格地讲，p控制图的上下界限应该用下式来确定：
， i=1，2，…，k （3.4）
不管各层的数据量如何有差异，控制图的中心线是不变的。用上式确定的管理界线，随各层的数据个数变化而变化。按道理应对每一层都画一张控制图，但这样显得比较麻烦。实际中，如果时，可以直接用第五步中的公式确定管理界线。
[例3.2]在某一装配线的末端对汽化器进行抽样检查，共检查20批，各批的样本容量都为100，得到如下数据：
表3.3 各批不合格品数及不合格率
批号
不合格品数
不合格品率（%）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

4
5
1
0
3
2
1
6
0
6
2
0
2
3
4
1
3
2
4
2
4
5
1
0
3
2
1
6
0
6
2
0
2
3
4
1
3
2
4
2
合计
51
100
据此资料绘制p控制图。
解：计算平均不合格率，得到：

=2.55%
确定管理界线：
CL=
=
=2.55%

=2.55%+3×
=7.28%

=2.55%-3×
=-2.18% （可以不考虑）
画出控制图：
图3.4 p控制图

UCL=7.28%
CL=2.55%

批号
(三)C控制图
C控制图的制作过程：
第一步，搜集资料。C控制图主要检查单位产品含有的缺陷数，那么检查单位的大小是有讲究的。一般要求：（1）便于采集到资料，（2）保证一定的检验能力，具体要求是每一个检查单位含有的缺陷数应大于1，（3）要考虑检查费用的约束。
第二步，进行分层。以每一检查单位为一层，要求每一检查单位大小相等。
第三步，确定管理界线。C控制图适应于能够使用泊松分布进行描述的场合，而泊松分布的均值和方差相等，且同是分布的参数。因此，C控制图的管理界线为：

其中为每层的缺陷数，为每一层平均缺陷数。
第四步，绘出控制图。当<9时，可以不画下控制线。
从以上介绍的控制图的作法中可以看出，确定控制图的管理界线是比较重要的一环，下面，我们不一一介绍其他控制图的制作程序了，而给出各类控制图的管理界线的计算公式。
表3.4 控制图的管理界线
控制图类别
中心线(CL)
上管理界线(UCL)
下管理界线(LCL)

+
-
R

P

np

c

u

+

-
五、控制图的诊断
为画控制图而画控制图没有意义，关键是要能够把它利用起来，通过对控制图的观察，从中发现或找出是否存在质量问题，并有针对性采取相应的措施，消除系统性原因的影响。
原则上讲，阅读控制图需要注意以下几个问题：
1、不要把控制图上的点孤立起来看，而要把它们当作分布来对待，时时想到在其背后的生产过程（总体）在怎样发生着变化。