1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料专题 13 空间中的平行与垂直文【考向解读】1.以选择题、填空题的形式考查,主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断,属基础题.2.以解答题的形式考查,主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题,且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查,难度中等.【命题热点突破一】空间线面位置关系的判定(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题;(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断例 1、【2016 高考江苏卷】(本小题满分
2、14 分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且11B DA F,1111ACA B.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.【答案】(1)详见解析(2)详见解析(2)在直三棱柱111ABCA B C中,1111AA平面A BC推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料因为11AC平面111A B C,所以111AAA C又因为111111111111111,ACA BAAABB A A BABB A A BAAA,平面平面所以11AC平面11ABB A因为1B D平面11ABB A,所以111ACB D又因为1
3、111111111111C F,C F,B DAACAA FAACA FAF,平面平面所以111C FB DA平面因为直线11B DB DE平面,所以1B DE平面11.AC F平面【变式探究】(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面 内,l2在平面 内,l是平面 与平面 的交线,则下列命题正确的是()Al与l1,l2都不相交Bl与l1,l2都相交Cl至多与l1,l2中的一条相交Dl至少与l1,l2中的一条相交(2)平面 平面 的一个充分条件是()A存在一条直线a,a,aB存在一条直线a,a?,aC存在两条平行直线a,b,a?,b?,a,bD存在两条异面直线a,b,a?,b?,a,b【答案
4、】(1)D(2)D【特别提醒】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长方推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中【变式探究】已知m,n为两条不同的直线,为两个不重合的平面,给出下列命题:若m,n,则mn;若m,mn,则n;若 ,m,则m;若m,m,则.A0 B1 C2 D3【答案】C【命题热点突破二】空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定、性质定理将线线
5、、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化例 2、【2016 高考江苏卷】(本小题满分14 分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且11B DA F,1111ACA B.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【答案】(1)详见解 析(2)详见解析【变式探究】如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PDPC 4,AB 6,BC3.(1)证明:BC平面PDA;(2)证明:BCPD;(3)求点C到平面PDA的距离推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【解
6、析】(1)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BCAD,因为BC?平面PDA,AD?平面PDA,所以BC平面PDA.(2)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BCCD,因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCDCD,BC?平面ABCD,所以BC平面PDC,因为PD?平面PDC,所以BCPD.(3)解如图,取CD的中点E,连接AE和PE.因为PDPC,所以PECD,在 RtPED中,PEPD2DE242327.【特别提醒】垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下:(1)证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行推荐学习K12 资料
7、推荐学习K12 资料四边形进行平行转换;三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法:利用等腰三角形底边中线即高线的性质;勾股定理;线面垂直的性质:即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l,a?la.【变式探究】如图所示,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,ADDE2AB,F为CD的中点求证:(1)AF平面BCE;(2)平面BCE平面CDE.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【命题热点突破三】平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后,原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化
8、,这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地,在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化,解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值,这是化解翻折问题的主要方法例 3、【2016 高考新课标2 理数】如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,5,6ABAC,点,E F分别在,AD CD上,54AECF,EF交BD于点H将DEF沿EF折到D EF位置,10OD推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料()证明:D H平面ABCD;()求二面角BD AC的正弦值【答案】()详见解析;()2 9525.【解析
9、】推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【变式探究】如图(1),在 RtABC中,C90,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图(2)(1)求证:DE平面A1CB;(2)求证:A1FBE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C平面DEQ?请说明理由【解析】例3(1)证明因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DEBC.又因为DE?平面A1CB,BC?平面A1CB,所以DE平面A1CB.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【特别提醒】(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口;(2)存在探索性问题可先假设存在,然
10、后在此前提下进行逻辑推理,得出矛盾或肯定结论【变式探究】如图(1),四边形ABCD为矩形,PD平面ABCD,AB1,BCPC2,作如图(2)折叠,折痕EFDC.其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MFCF.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(1)证明:CF平面MDF;(2)求三棱锥MCDE的体积【高考真题解读】9.【2016 高考新课标2理数】,是两个平面,,m n是两条直线,有下列四个命题:推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(1)如果,/mn mn,那么.(2)如果,/mn,那么mn.(3)如果/,m,那么/m.(4)如果/,/mn,
11、那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号)【答案】10.【2016 高考浙江理数】如图,在ABC中,AB=BC=2,ABC=120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是 .【答案】12【解析】ABC中,因为2,120ABBCABC,所以30BADBCA.由 余 弦 定 理 可 得2222cosACABBCAB BCB2222222cos12012,所 以2 3AC.设ADx,则023x,2 3DCx.在ABD中,由 余 弦 定 理 可 得2222c o sB DA DA BA DA BA222
12、22cos30 xx2234xx.故22 34BDxx.在PBD中,PDADx,2PBBA.由 余 弦 定 理 可 得2222222(234)3c o s2222P DP BB DxxxBPDPD PBx,所 以推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料30BPD.由此可得,将ABD沿 BD翻折后可与PBD重合,无论点D在任何位置,只要点D的位置确定,当平面 PBD 平面 BDC时,四面体PBCD的体积最大(欲求最大值可不考虑不垂直的情况).EDCBAP11.【2016 高考新课标1 卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,/平面CB1D1,I平面ABCD=m,I平面AB B1A1=
13、n,则m、n所成角的正弦值为(A)32 (B)22 (C)33 (D)13【答案】A【解析】如图,设平面11CB D平面ABCD=m,平面11CB D平面11ABB A=n,因为平面11CB D,所以,mm nn,则,m n所成的角等于,m n所成的角.过1D作11D EB C,交AD的延长线于点 E,连接CE,则CE为m.连接1A B,过 B1作111B FA B,交1AA的延长线于点1F,则11B F为n.连接 BD,则111,BDCE B FAB,则,m n所成的角即为1,A B BD所成的角,为60,故,m n所成角的正弦推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料值为32,选 A.12.
14、【2016 高考新课标3 理数】在封闭的直三棱柱111ABCA B C内有一个体积为V的球,若ABBC,6AB,8BC,13AA,则V的最大值是()(A)4(B)92(C)6(D)323【答案】B【解析】要使球的体积V最大,必须球的半径R最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时,球的半径取得最大值32,此时球的体积为334439()3322R,故选 B1(2015安徽,5)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是()A若,垂直于同一平面,则 与 平行B若m,n平行于同一平面,则m与n平行C若,不平行,则在 内不存在与 平行的直线D若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一
15、平面【答案】D 2(2015浙江,8)如图,已知ABC,D是AB的中点,沿直线CD将ACD翻折成ACD,所成二面角ACDB的平面角为,则()推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料AADB BADBCACB DACB【答案】B【解析】极限思想:若,则ACB,排除 D;若 0,如图,则ADB,ACB都可以大于0,排除 A,C.故选 B.3(2015浙江,13)如图,三棱锥ABCD中,ABACBDCD3,ADBC2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是_【答案】784(2015江苏,16)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知ACBC,BCCC1.设AB1的中
16、点为D,B1CBC1E.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料求证:(1)DE平面AA1C1C;(2)BC1AB1.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料5(2015新课标全国,19)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB16,BC10,AA1 8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1ED1F4.过点E,F的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面 所成角的正弦值【解析】6(2015新课标全国,18)如图,四边形ABCD为菱形,ABC 120,E,F是平面ABCD同
17、一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE2DF,AEEC.(1)证明:平面AEC平面AFC,(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(2)解如图,以G为坐标原点,分别以GB,GC的方向为x轴,y轴正方向,|GB|为单位长,建立空间直角坐标系Gxyz,由(1)可得A(0,3,0),E(1,0,2),F1,0,22,C(0,3,0),所以AE(1,3,2),CF 1,3,22.故 cosAE,CFAECF|AE|CF|33.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为33.7(2014江苏,16)如图,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,
18、AB的中点已知PAAC,PA 6,BC 8,DF5.求证:(1)直线PA平面DEF;(2)平面BDE平面ABC.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料8(2014新课标全国,18)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点(1)证明:PB平面AEC;(2)设二面角DAEC为 60,AP1,AD3,求三棱锥EACD的体积【解析】(1)证明连接BD交AC于点O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料又E为PD的中点,所以EOPB.又因为EO?平面AEC,PB?平面AEC,所以PB平面AEC.(2)解因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直可取n13m,1,3.又n2(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设知|cos n1,n2|12,即334m212,解得m32.因为E为PD的中点,所以三棱锥EACD的高为12,三棱锥EACD的体积V13123321238.