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有理数域的认识.docx

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对有理数域的认识 1. 有理数的认识 数学上,有理数是一个整数a和一个非零整数b的比(ratio),通常写作a/b,故又称作分数。希腊文称为λογος,原意为“成比例的数”(rational number),但并非中文翻译不恰当。 有理数这一概念最早源自西方《几何原本》,在中国明代,从西方传入中国,而从中国明代传入日本时,出现错误。 明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。他们将这个词(即“logos”)译为“理”,这个“理”指的是“比值”。 日本在明治维新以前,欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理,而不是文言文所解释的“比值”。后来,日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。 当 有理数 从日本传回中国时又延续错误。 清末中国派留学生到日本,将此名词传回中国,以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法 可见,由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位,才出现了今天的误译。 不是有理数的实数遂称为无理数。 所有有理数的集合表示为Q,Q+,或。定义如下: 有理数的小数部分有限或为循环。 定义:有理数是整数和分数的统称,一切有理数都可以化成分数的形式。除了无限不循环小数以外的实数统称有理数(rational number)。整数和分数统称为有理数,任何一个有理数都可以写成分数m/n(m,n都是整数,且n≠0)的形式。 分类:有理数可分为整数和分数。 也可分为三种:一;正数,二;0,三;负数。 以下都是有理数:   (1) 整数包含了:正整数、0、负整数统称为整数。   (2)分数包含了:正分数、负分数统称为分数。   (3)小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数,因为分小互化。 如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合,即有理数集合,用粗体字母Q表示,较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集。 任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数,此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制(如二进制)下都适用。数学上,有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio),通常写作 a/b,故又称作分数。希腊文称为 λογο,原意为“成比例的数”(rational number),但中文翻译不恰当,逐渐变成“有道理的数”。 无限不循环小数称之为无理数(例如:圆周率π)有理数和无理数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q。 运算 有理数集是一个域,即在其中可进行四则运算(0作除数除外),而且对于这些运算,以下的运算律成立(a、b、c等都表示任意的有理数): ① 加法的交换律 a+b=b+a; ② 加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c; ③ 存在数0,使 0+a=a+0=a; ④ 乘法的交换律 ab=ba; ⑤ 乘法的结合律 a(bc)=(ab)c; ⑥ 乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。 ⑦ 0a=0 (一个数乘0还等于0)。 此外,有理数是一个序域,即在其上存在一个次序关系≤。0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域,即对有理数a和b,a≥0,b>0,必可找到一个自然数n,使nb>a。由此不难推知,不存在最大的有理数。 有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。有理数的加法和乘法如下: 两个有理数和相等当且仅当ad = bc 有理数中存在加法和乘法的逆: 时, 古埃及分数 古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如: 对于给定的正有理数,存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。 形式构建 数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上的等价类,这里b不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法,规则如下: 为了使2 / 4 = 1 / 2,定义等价关系∼如下: 这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的,而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集:。例如:两个对 (a, b)和 (c, d)是相同的,如果它们满足上述等式。(这种构建可用于任何整数环,参见商域。) Q上的全序关系可以定义为: 当且仅当 1. bd > 0并且 2. bd < 0并且 性质 有理数集是可数的 集合,以及上述的加法和乘法运算,构成域,即整数的商域。 有理数是特征为0的域最小的一个:所有其他特征为0的域都包含的一个拷贝(即存在一个从到其中的同构映射)。 的代数闭包,例如有理数多项式的根的域,是代数数域。 所有有理数的集合是可数的,亦即是说的基数(或势)与自然数集合相同,都是阿列夫数。因为所有实数的集合是不可数的,从勒贝格测度来看,可以认为绝大多数实数不是有理数。 有理数是个稠密的集合:任何两个有理数之间存在另一个有理数,事实上是存在无穷多个。 实数 有理数是实数的紧密子集:每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是,仅有理数可化为有限连分数。 依照它们的序列,有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的(稠密)子集,因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量,有理数构成一个度量空间,这是上的第三个拓扑。幸运的是,所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间;实数是的完备集。 p进数 除了上述的绝对值度量,还有其他的度量将转化到拓扑域: 设p是素数,对任何非零整数a设 | a | p = p − n,这里pn是整除a的p的最高次幂; 另外 | 0 | p = 0。对任何有理数,设。 则在上定义了一个度量。 度量空间不完备,它的完备集是p进数域。
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