1、对有理数域的认识
1. 有理数的认识
数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比（ratio），通常写作a/b，故又称作分数。希腊文称为λογος，原意为“成比例的数”（rational number），但并非中文翻译不恰当。
有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国明代传入日本时，出现错误。
明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。他们将这个词（即“logos”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。 日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是
2、文言文所解释的“比值”。后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。
当 有理数 从日本传回中国时又延续错误。
清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法
可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。
不是有理数的实数遂称为无理数。
所有有理数的集合表示为Q，Q+,或。定义如下：
有理数的小数部分有限或为循环。
定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。除了无限不循环小数以外的实数统称有理数（rational number）。整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都
3、可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。
分类：有理数可分为整数和分数。
也可分为三种：一；正数，二；0，三；负数。
以下都是有理数：
(1) 整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。
(2）分数包含了：正分数、负分数统称为分数。
（3）小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数，因为分小互化。
如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合，即有理数集合，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集。
任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常
4、所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογο，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。 无限不循环小数称之为无理数（例如：圆周率π）有理数和无理数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q。
运算
有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：
① 加法的交换律 a+b=b+
5、a；
② 加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；
③ 存在数0，使 0+a=a+0=a；
④ 乘法的交换律 ab=ba；
⑤ 乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；
⑥ 乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。
⑦ 0a=0 （一个数乘0还等于0）。
此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。
有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。有理数的加法和乘法如下：
两个有理数和相等当且仅当ad = bc
有理数中存
6、在加法和乘法的逆：
时，
古埃及分数
古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：
对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。
形式构建
数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上的等价类，这里b不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：
为了使2 / 4 = 1 / 2，定义等价关系∼如下：
这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：。例如：两个对 (a, b)和 (c, d)是相同的，如果它们满足上
7、述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）
Q上的全序关系可以定义为：
当且仅当
1. bd > 0并且
2. bd < 0并且
性质
有理数集是可数的
集合，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数的商域。
有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含的一个拷贝（即存在一个从到其中的同构映射）。
的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。
所有有理数的集合是可数的，亦即是说的基数（或势）与自然数集合相同，都是阿列夫数。因为所有实数的集合是不可数的，从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。
有理数是个稠密的集合：任何两个有
8、理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。
实数
有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。
依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是的完备集。
p进数
除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将转化到拓扑域：
设p是素数，对任何非零整数a设 | a | p = p − n，这里pn是整除a的p的最高次幂；
另外 | 0 | p = 0。对任何有理数，设。
则在上定义了一个度量。
度量空间不完备，它的完备集是p进数域。
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