概率论与数理统计答案.doc

习题答案第1章 三、解答题 1设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A B) = P(A) 解：(4) (6)正确. 2设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为，又因为即 所以(1) 当时P(AB)取到最大值，最大值是=0.6.(2) 时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3已知事件A，B满足，记P(A) = p，试求P(B) 解：因为，即，所以 4已知P(A) = 0.7，P(A B) = 0.3，试求 解：因为P(A B) = 0.3，所以P(A ) P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A ) 0.3,又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7 0.3=0.4，. 5 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有种，以下求至少有两只配成一双的取法：法一：分两种情况考虑：+ 其中：为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：+ 其中：为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：+ 其中：为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：-法五：考虑对立事件：- 其中：为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件： 其中：为没有一双配对的方法数所求概率为 6在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率 解：(1) 法一：，法二： (2) 法二：，法二： 7将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则, , 8设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？ 解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 , 9口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率 解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则.所以 10 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率 解：这是一个几何概型问题以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间W = (x，y)：0 x，y 1 事件A =“两数之和小于6/5”= (x，y) W ： x + y 6/5因此图？ 11随机地向半圆（为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率 解：这是一个几何概型问题以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，q表示原点和该点的连线与轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 W=(x，y)： 事件A =“原点和该点的连线与轴的夹角小于” =(x，y)：因此 12已知，求 解： 13设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；， 14有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则，由全概率公式得由贝叶斯公式得 15将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？ 解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”，已知所以由贝叶斯公式得 16三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？ 解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.已知所以至少有一人能将此密码译出的概率为 17设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7，求. 解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(AB)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)将P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以或者,由于A与B相互独立,所以A与相互独立，所以 18甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？ 解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”，已知P(A)=P(B)=1,所以由于甲乙两人是独立射击目标，所以 19某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？ (2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？ 解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.（1）根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。 1设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC = ，且已知，求P(A) 解：因为ABC = ，所以P(ABC) =0,因为A，B，C两两相互独立，所以由加法公式得 即 考虑到得 2设事件A，B，C的概率都是，且，证明： 证明：因为，所以将代入上式得到整理得 3设0 P(A) 1，0 P(B) 1时，所以；（2）， 当时，为不可能事件，则， 当时，则， 当时，则，根据得 ；（3），当时，当时，所以 ；7. (1) 证明：由题意知。，当时，即，当时，当时，故有，可以看出服从区间（0，1）均匀分布；（2） 当时， 当时， 当时， 由以上结果，易知，可以看出服从区间（0，1）均匀分布。第三章1解：(X,Y)取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：PX=1,Y=1=PX=1PY=1|X=1|=2/31/2=/3同理可求得PX=1,Y=1=1/3; PX=2,Y=1=1/3(X,Y)的分布律用表格表示如下：YX1211/31/321/302 解：X，Y所有可能取到的值是0, 1, 2(1) PX=i, Y=j=PX=iPY=j|X=i|= C3iC82C2jC32-(i+j)C8-i2, i,j=0,1,2, i+j2或者用表格表示如下： YX01203/286/281/2819/286/28023/2800 (2)P(X,Y)A=PX+Y1=PX=0, Y=0+PX=1,Y=0+PX=0,Y=0=9/143 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=得P(AB)=1/8由P(A|B)=得P(B)=1/4(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则PX=0,Y=0=)=P(AB)=1-PAB =1-P(A)-P(B)+P(AB)=5/8PX=0,Y=1=P(AB)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8PX=1,Y=0=P(AB)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8PX=1,Y=1=P(AB)=1/84.解：(1)由归一性知：1=-+-+fx,ydxdy=0101Axydxdy=A4, 故A=4(2)PX=Y=0(3)PXY=01x14xydydx=12 (4)F(x,y)= -x-yf(u,v)dudv=0,x0或y0 40x0yuvdudv,0x1,0y140y01uvdudv,x1,0y11,x1,y1即F(x,y)=0，x0或y0x2y2,0x1,0y1y2,x1,0y11,x1,y15.解：PX+Y1=6 解：X的所有可能取值为0,1,2,Y的所有可能取值为0,1,2, 3.PX=0,Y=0=0.53=0.125; 、PX=0,Y=1=0.53=0.125PX=1,Y=1=, PX=1,Y=2=PX=2,Y=2=0.53=0.125, PX=2,Y=3=0.53=0.125X,Y 的分布律可用表格表示如下： YX0123Pi.00.1250.125000.25100.250.2500.52000.1250.1250.25P.j0.1250.3750.3750.12517. 解：8. 解：(1)所以 c=21/4(2) 9 解：(X,Y)在区域D上服从均匀分布，故f(x,y)的概率密度为10 解： 当00时，所以，12 解：由得13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表pi0.050.150.20.070.110.220.040.070.09(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)max(X,Y)001111222Min(X,Y)-100-101-101Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律为Z012Pk0.20.60.2 W -101Pj 0.160.530.3114 解： 由独立性得X，Y的联合概率密度为则PZ=1=PXY=PZ=0=1-PZ=1=0.5故Z的分布律为Z01Pk0.50.515 解：同理，显然，所以X与Y不相互独立.16 解：(1) 利用卷积公式：求fZ(z)=(2) 利用卷积公式：17 解：由定理3.1（p75）知，X+YN(1,2)故18解：(1) (x0)同理， y0显然，所以X与Y不相互独立(2).利用公式19解：并联时，系统L的使用寿命Z=maxX,Y因XE(a),YE(b),故 串联时，系统L的使用寿命Z=minX,Y (B)组1 解：PX=0=a+0.4, PX+Y=1=PX=1,Y=0+PX=0,Y=1=a+bPX=0,X+Y=1=PX=0,Y=1=a由于X=0|与X+Y=1相互独立, 所以PX=0, X+Y=1=PX=0 PX+Y=1即 a=(a+0.4)(a+b) (1)再由归一性知： 0.4+a+b+0.1=1 (2)解(1),(2)得 a=0.4, b=0.12 解: (1) (2) 利用公式计算3.解：(1) FY(y)=PYy=PX2y当y0时，fY(y)=0当y0时，从而，(2) F(-1/2,4)=PX-1/2,Y4= PX-1/2,X24=P-2X-1/2=4.解：PXY0=1-PXY=0=0即 PX=-1,Y=1+PX=1,Y=1=0由概率的非负性知，PX=-1,Y=1=0，PX=1,Y=1=0由边缘分布律的定义，PX=-1= PX=-1,Y=0+ PX=-1,Y=1=1/4得PX=-1,Y=0=1/4再由PX=1= PX=1,Y=0+ PX=1,Y=1=1/4得PX=1,Y=0=1/4再由PY=1=PX=-1,Y=1+ PX=0,Y=1+ PX=1,Y=1= PX=0,Y=1知PX=0,Y=1=1/2最后由归一性得：PX=0,Y=0=0(X,Y)的分布律用表格表示如下： YX01PX=i-11/401/4001/21/211/401/4PY=j1/21/21(2) 显然，X和Y不相互独立，因为PX=-1,Y=0 PX=-1PY=05 解：X与Y相互独立，利用卷积公式计算 6.解：(X,Y)(G)设F(x)和f(s)分别表示S=XY的分布函数和密度函数F(s)=PXYss0时，Fs(s)=0s0时，所以，于是，S=Y概率密度为7.解：由全概率公式：FU(u)=PUu=X+Yu=PX=1PX+Yu|X=1+ PX=2PX+Yu|X=2= PX=1P1+Yu+ PX=2P2+Yu=0.3FY(u-1)+0.7FY(u-2)所以，fU(u) =0.3fY(u-1)+0.7fY(u-2)8. 解：(1) (2) 如图所示，当z0时，FZ(z)=0; 当z2时，FZ(z)=1 当0z2时:综上所述，所以Z的概率密度为：9.解：(1) (2) (3) 10.解：(1)PZ1/2|X=0=PX+Y1/2|X=0=PY1/2=1/2(2) 由全概率公式：FZ(z)=PZz=PX+Yz=PX=1PX+Yz|X=1+PX=0PX+Yz|X=0=PX=-1PX+Yz|X=-1= PX=1P1+Yz+PX=0PYz=PX=-1P-1+Yz=1/3FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)从而，fZ(z) =1/3fY(z-1)+ fY(z)+ fY(z+1)=11.解：如图，当z0时，FZ(z)=0; 当z1时，FZ(z)=1 当0z1时:综上得：12Z的概率密度为12 解：当z0时，FZ(z)=0;当z0时，所以，Z的概率密度为