概率论与数理统计.ppt

概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计1.1.确定性现象和不确定性现象确定性现象和不确定性现象.2.随机现象随机现象:在个别试验中其结果呈现出不确定性在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大在大量重复试验中其结果又具有统计规律性量重复试验中其结果又具有统计规律性.第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念前前 言言3.概率与数理统计的广泛应用概率与数理统计的广泛应用.2.1.随机试验随机试验 E1:抛一枚硬币，观察正抛一枚硬币，观察正(H)反反(T)面面 的情的情 况况.E2:将一枚硬币抛三次将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况观察正反面出现的情况.E3:将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况.举例举例:我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验称为试验。称为试验。E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.E5:在一批灯泡中任取一只在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命测试它的寿命.3.随机试验随机试验:(1)可在相同的条件下重复试验可在相同的条件下重复试验;(2)每次试验的结果不止一个每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结且能事先明确所有可能的结果果;(3)一次试验前不能确定会出现哪个结果一次试验前不能确定会出现哪个结果.4.2.样本空间与随机事件样本空间与随机事件(一一)样本空间样本空间:定义定义 随机试验随机试验E的所有可能结果组成的集合称为的所有可能结果组成的集合称为 E的样的样本空间本空间,记为记为S.样本空间的元素称为样本点，用样本空间的元素称为样本点，用 表示表示.样本空间的分类样本空间的分类:1.离散样本空间离散样本空间:样本点为有限个或可列个样本点为有限个或可列个.例例 E1,E2等等.2.无穷样本空间无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值样本点在区间或区域内取值.例例 灯灯泡的寿命泡的寿命t|t0.5.(二二)随机事件随机事件 定义定义 样本空间样本空间S的子集称为随机事件的子集称为随机事件,简称事件简称事件.在一在一次试验中次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称称这一事件发生这一事件发生.基本事件基本事件:复合事件复合事件:必然事件必然事件:不可能事件不可能事件：由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.如如:H,T.由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件为复合事件.如如:E3中中出现正面次数为奇数出现正面次数为奇数.样本空间样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。发生的，称为必然事件。空集空集不包含任何样本点不包含任何样本点,它在每次试验中它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。都不发生，称为不可能事件。6.例例1.试确定试验试确定试验E2中样本空间中样本空间,样本点的个数样本点的个数,并给出如下并给出如下事件的元素事件的元素:事件事件A1=“第一次出现正面第一次出现正面”、事件、事件A2=“恰好恰好出现一次正面出现一次正面”、事件、事件A3=“至少出现一次正面至少出现一次正面”.7.（三）（三）事件间的关系与事件的运算事件间的关系与事件的运算1.包含关系和相等关系包含关系和相等关系:ABS若事件若事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生,则称件则称件B包含事件包含事件A,记记作作A B.若若A B且且A B,即即A=B,则称则称A与与B相等相等.8.BAS2.和事件和事件:3.积事件：积事件：事件事件A B=x|x A 且且 x B称称A与与B的积，即事件的积，即事件A与与B同时发生同时发生.A B 可简记为可简记为AB.类似地类似地,事件事件 为可列个事件为可列个事件A1,A2,.的积事件的积事件.BAS9.4.差事件差事件:事件事件A-B=x|x A且且x B 称为称为A与与B的差的差.当且仅当当且仅当A发生发生,B不发生时事件不发生时事件A-B发生发生.即即:显然显然:A-A=,A-=A,A-S=ABs10.AB5.事件的互不相容事件的互不相容(互斥互斥):11.6.对立事件对立事件(逆事件逆事件)：SAB12.7.事件的运算律事件的运算律:交换律交换律:结合结合律律:对偶律对偶律:分配律分配律:证明证明对偶律对偶律.13.例例.甲、乙、丙三人各射击一次，事件甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示分别表示甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：14.3.概率的概念概率的概念一一.古典定义：古典定义：等可能概型的两个特点等可能概型的两个特点:例如例如:掷一颗骰子掷一颗骰子,观察出现的点数观察出现的点数.(1)样本空间中的元素只有有限个样本空间中的元素只有有限个;(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同试验中每个基本事件发生的可能性相同.概率的古典定义概率的古典定义:对于古典概型对于古典概型,样本空间样本空间S 1,2,n,设事件设事件A包包含含S的的 k 个样本点，则事件个样本点，则事件A的概率定义为的概率定义为15.古典概型概率的计算步骤古典概型概率的计算步骤:(1)选取适当的样本空间选取适当的样本空间S,使它满足有限等可能的要求使它满足有限等可能的要求,且且把事件把事件A表示成表示成S的某个子集的某个子集.(2)计算样本点总数计算样本点总数n及事件及事件A包含的样本点数包含的样本点数k.(3)用下列公式计算用下列公式计算:16.例例1.袋中装有袋中装有4只白球和只白球和2只红球只红球.从袋中摸球两次从袋中摸球两次,每次任取一球每次任取一球.有两种式有两种式:(a)放回抽样放回抽样;(b)不放回抽样不放回抽样.求求:(1)两球颜色相同的概率两球颜色相同的概率;(2)两球中至少有一只白球的概率两球中至少有一只白球的概率.例例2.设一袋中有编号为设一袋中有编号为1,2,9的球共的球共9只只,现从中任取现从中任取3只只,试求试求:(1)取到取到1号球的概率号球的概率,（事件（事件A）(2)最小号码为最小号码为5的概率的概率.（事件（事件B）17.例例3.某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过12次来访次来访,且都是在周二且都是在周二和周四来访和周四来访.问是否可以推断接待时间是有规定的问是否可以推断接待时间是有规定的?实际推断原理实际推断原理:“小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的中实际上是不可能发生的”.注注18.二、几何定义:定义定义19.定义定义 当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域,并且任并且任意一点落在度量意一点落在度量(长度长度,面积面积,体积体积)相同的子区域相同的子区域是等可能的是等可能的,则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为说明说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率就归结为几何概率.20.例例1 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内,在在预预定地点会面定地点会面.先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人,经过时间经过时间 t(t0)的一些平行直的一些平行直线线,现向此平面任意投掷一根长为现向此平面任意投掷一根长为l(0,称称为在事件为在事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的条件概率发生的条件概率.29.2.性质性质:条件概率符合概率定义中的三个条件条件概率符合概率定义中的三个条件,即即此外此外,条件概率具有无条件概率类似性质条件概率具有无条件概率类似性质.例如：例如：30.注注当当AS时时,P(BS)=P(B),条件概率化为无条件概率化为无条件概率条件概率,因此无条件概率可看成条件概率因此无条件概率可看成条件概率.计算条件概率有两种方法计算条件概率有两种方法:1.公式法：公式法：31.2.缩减样本空间法：缩减样本空间法：在在A发生的前提下发生的前提下,确定确定B的缩减样本空间的缩减样本空间,并并在其中计算在其中计算B发生的概率发生的概率,从而得到从而得到P(B|A).例例2.在在1,2,3,4,5这这5个数码中个数码中,每次取一个每次取一个数码数码,取后不放回取后不放回,连连取两次取两次,求在第求在第1次取到偶数的条件次取到偶数的条件下下,第第2次取到奇数的概率次取到奇数的概率.32.(二二)乘法公式乘法公式:P(AB)0,则有则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).一般一般,设设A1,A2,An是是n个事件个事件,(n2),P(A1A2.An-1)0,则有乘法公式则有乘法公式:P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An-1|A1A2An-2)P(An|A1A2An-1).推广推广33.r只红球只红球t只白球只白球例例3.每次任取一只球观每次任取一只球观察颜色后察颜色后,放回放回,再再放回放回a只同色球只同色球在袋中连续取球在袋中连续取球4次次,试求第一、二次取到红球且试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率第三、四次取到白球的概率.34.(三三)全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式:1.样本空间的划分样本空间的划分SB1B2B3.Bn注注(1)若若B1,B2,Bn是样本空间是样本空间S的一个划分的一个划分,则每次试验中则每次试验中,事件事件B1,B2,Bn 中必有一中必有一个且仅有一个发生个且仅有一个发生.35.2.全概率公式全概率公式:称为全概率公式称为全概率公式.3.贝叶斯公式贝叶斯公式:36.例例4.某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制造造厂提供的厂提供的,数据如下数据如下:元件制造厂元件制造厂 次品率次品率 提供的份额提供的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05(1)任取一只晶体管任取一只晶体管,求它是次品的概率求它是次品的概率.(2)任取一只任取一只,若它是次品若它是次品,则由三家工厂则由三家工厂 生产的概生产的概率分别是多少率分别是多少?37.例例5.对以往数据分析结果表明对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好当机器调整得良好时时,产品的合格率为产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时而当机器发生某一故障时,其合格率为其合格率为30%,每天早晨机器开动时机器调整良每天早晨机器开动时机器调整良好的概率为好的概率为75%,试求已知某日早上第一件产品是试求已知某日早上第一件产品是合格品时合格品时,机器调整得良好的概率是多少机器调整得良好的概率是多少?38.1.6 1.6 独立性独立性设设A,B是试验是试验E的两事件的两事件,当当P(A)0,可以定义可以定义P(B|A).一般地一般地,P(B|A)P(B),但当但当A的发生对的发生对B的发生的概的发生的概率没有影响时率没有影响时,有有P(B|A)=P(B),由乘法公式有由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).例如例如 设试验设试验E为掷甲、乙两枚硬币，观察正反面出现情为掷甲、乙两枚硬币，观察正反面出现情况况.设设A“甲币出现甲币出现H”,B“乙币出现乙币出现H”,试求试求:B发生的条件下，发生的条件下，A发生的概率；发生的概率；A发生的概率发生的概率.1.定义定义:设设A,B是两事件是两事件,如果满足等式如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),则称事件则称事件A与事件与事件B是相互独立的事件是相互独立的事件.39.由定义可知由定义可知:1)零概率事件与任何事件都是相互独立的零概率事件与任何事件都是相互独立的.2)由对称性由对称性,A,B相互独立相互独立,必有必有B,A 相互独立相互独立.2.定义推广定义推广:设设A1,A2,An是任意的是任意的1ij n有有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),则称这则称这n个事件个事件两两相互独立两两相互独立.如果对于任意的如果对于任意的k(kn),任意的任意的1i1i20,则则A,B相互独立相互独立 的充要条件是的充要条件是:P(B|A)=P(B).有关结论有关结论:41.三三.利用独立性计算古典概率利用独立性计算古典概率:1.计算相互独立的积事件的概率：计算相互独立的积事件的概率：若已知若已知n个事件个事件A1,A2,An相互独立，则相互独立，则 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)2.计算相互独立事件的和的概率：计算相互独立事件的和的概率：若已知若已知n个事件个事件A1,A2,An相互独立，则相互独立，则例例1.两架飞机依次轮番对同一目标投弹两架飞机依次轮番对同一目标投弹,每次投每次投下一颗炸弹下一颗炸弹,每架飞机各带每架飞机各带3颗炸弹颗炸弹,第第1架扔一颗架扔一颗炸弹击中目标的概率为炸弹击中目标的概率为0.3,第第2架的概率为架的概率为0.4,求炸弹未完全耗尽而求炸弹未完全耗尽而击中目标的概率。击中目标的概率。42.例例2.设有设有8个元件个元件,每个元件的可靠性均为每个元件的可靠性均为p(元件能元件能正常工作的概率正常工作的概率),按如下两种方式组成系统按如下两种方式组成系统,试比试比较两个系统的可靠性较两个系统的可靠性.A1 B1 A2 B2 B3 B4 A3 A4系统二系统二:先并联后串联先并联后串联系统一系统一:先串联后并联先串联后并联A1B1A2B2A3B3A4B443.例例3.100件乐器件乐器,验收方案是从中任验收方案是从中任 取取3件测试件测试(相互相互独立的独立的),3件测试后都认为音色纯则接收这批件测试后都认为音色纯则接收这批乐器乐器,测试情况如下测试情况如下:经测试认为音色纯经测试认为音色纯 认为音色不纯认为音色不纯乐器音色纯乐器音色纯 0.99 0.01乐器音色不纯乐器音色不纯 0.05 0.95若若100件乐器中恰有件乐器中恰有4件音色不纯件音色不纯,试问试问:这批乐器被接收的概率是多少这批乐器被接收的概率是多少?44.第一章第一章 习题课习题课一、主要内容一、主要内容:样本空间样本空间随机事件随机事件概率定义及性质概率定义及性质古典概型古典概型条件概率条件概率全概率公式全概率公式Bayes公式公式 事件的独立性事件的独立性45.二、课堂练习二、课堂练习:1.选择题选择题:(1)当事件当事件A与与B同时发生同时发生,事件事件C必发生必发生,则有则有()(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(AB)(C)P(C)P(A)+P(B)-1 (D)P(C)P(A)+P(B)-146.2.填空题：填空题：(2)设两个事件设两个事件A,B相互独立相互独立,A,B都不发生的概率都不发生的概率为为1/9,A发生而发生而B不发生的概率与不发生的概率与B发生而发生而A不发生不发生的概率相等的概率相等,则则P(A)=_.3.计算题：计算题：47.1.设甲箱中有设甲箱中有a只白球，只白球，b只黑球，乙箱中有只黑球，乙箱中有c只白球，只白球，d只黑球，从只黑球，从甲箱中任取一球放入乙箱中，然后从乙箱中任取一甲箱中任取一球放入乙箱中，然后从乙箱中任取一球，试求从乙箱中取得白球的概率球，试求从乙箱中取得白球的概率。2.有有n个不同个不同(可辨别可辨别)的球，每个球都以同样的概率的球，每个球都以同样的概率1/N被投到被投到N(n N)个箱子中的每一箱中，试求下列事件的概率：个箱子中的每一箱中，试求下列事件的概率：3.(1)某指定的某指定的n个箱子中各一球个箱子中各一球(A)4.(2)恰有恰有n个箱，其中各有一球个箱，其中各有一球(B)5.(3)某指定箱中恰有某指定箱中恰有m(m n)个球个球(C)6.(4)恰有恰有k个箱子，其中有个箱子，其中有m个球个球(D).3.在一个盒子中混有新旧两种乒乓球，新的有白球在一个盒子中混有新旧两种乒乓球，新的有白球40个，红球个，红球30个，旧球中有白球个，旧球中有白球20个，红球个，红球10个，在这个盒子中任取一球，个，在这个盒子中任取一球，发现是新的，求这个球是白球的概率发现是新的，求这个球是白球的概率.48.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 随机变量随机变量即即X(e)是定义在样本空间是定义在样本空间S上的一个实函数上的一个实函数,对于不同的对于不同的试验结果试验结果e,X取不同的值取不同的值,由于试验前不能预料由于试验前不能预料e的取值的取值,因而因而X取取1还是取还是取0也是随机的也是随机的,故称故称X(e)为随机变量。为随机变量。例例2.测试灯泡寿命试验测试灯泡寿命试验,其结果是用数量表示其结果是用数量表示的的.记灯泡的寿命为记灯泡的寿命为X,则则X是定义在样本空间是定义在样本空间S=e=t|t0上的函数上的函数,即即X=X(e)=t,e=tS.49.X(e)ReS1.定义定义:设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是S=e,若对于每一个若对于每一个eS,有一个实数有一个实数X(e)与之对应与之对应,即即X(e)是定义在是定义在S上的单上的单值实函数，称为随机变量。简记为值实函数，称为随机变量。简记为r.v.注注(1)可用随机变量可用随机变量X描述事件描述事件.例掷一颗骰子例掷一颗骰子,设出现的点数记为设出现的点数记为X,事件事件A为为“掷掷出的点出的点 数大于数大于 3”,则则A可表示为可表示为“X3”.反过来反过来,X的一个变化范围表示一个随机事件的一个变化范围表示一个随机事件:“2X5”表示事件表示事件“掷出的点数大于掷出的点数大于2且小于且小于5”.50.2.分类：分类：(2)随机变量随着试验的结果而取不同的值随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试验之前不在试验之前不能确切知道它取什么值能确切知道它取什么值,但是随机变量的取值有一定的但是随机变量的取值有一定的统计规律性统计规律性概率分布概率分布.(1)离散型随机变量离散型随机变量;(2)非离散型随机变量非离散型随机变量10 连续型随机变量连续型随机变量20 奇异型随机变量奇异型随机变量若随机变量全部可能取到若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无的值是有限多个或可列无限多个。限多个。51.2.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布X x1 x2 xn pk p1 p2 pn .52.2.求分布律的步骤求分布律的步骤:(1)明确明确X的一切可能取值的一切可能取值;(2)利用概率的计算方法计算利用概率的计算方法计算X取各个确定值的概率取各个确定值的概率,即可即可写出写出X的分布律的分布律.例例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯,每盏信号灯以概率每盏信号灯以概率p禁止汽车通过禁止汽车通过,以以X表示汽车首次停下表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数时已通过信号灯的盏数,求求X的分布律的分布律.(设各信号灯的工作设各信号灯的工作是相互独立的是相互独立的).例例2.袋中装有袋中装有4只红球和只红球和2只白球只白球,从袋中不放回地逐一地从袋中不放回地逐一地摸球摸球,直到第一次摸出红球为止直到第一次摸出红球为止,设设X表示到第一次摸出红表示到第一次摸出红球时所摸的次数球时所摸的次数,求求X的分布律的分布律.53.3.几种重要的离散型几种重要的离散型r.v.的分布律：的分布律：X 0 1 pk 1-p p 其中其中0p1,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1.(一一)0-1分布分布(二二)贝努利试验贝努利试验 (二项分布二项分布)54.例例1.设设X是是n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次数发生的次数,成功的概成功的概率为率为p,则则X是一个随机变量是一个随机变量,我们来求它的分布律我们来求它的分布律.若若n=4,求求:PX=k，k=0,1,2,3,4.当当n=1时时,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1,即为即为0-1分布分布.结论结论:称称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布的二项分布,记为记为Xb(n,p).设设X是是n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次数发生的次数,成功的概率为成功的概率为p,则它的分布律为：则它的分布律为：注注55.例例2.某种电子元件的使用寿命超过某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品小时为一级品,已知已知一大批该产品的一级品率为一大批该产品的一级品率为0.2,从中随机抽查从中随机抽查20只只,求这求这20只元件中一级品只数只元件中一级品只数X的分布律的分布律.例例3.某人进行射击某人进行射击,每次命中率为每次命中率为0.02,独立射击独立射击400次次,试求至少击中两次的概率试求至少击中两次的概率.56.(三三)泊松分布泊松分布(Poisson)(2)泊松分布有很多应用泊松分布有很多应用.注注(3)二项分布与泊松分布之间的关系二项分布与泊松分布之间的关系.57.泊松泊松(Poisson)定理：定理：泊松定理的意义：泊松定理的意义：1.在定理的条件下在定理的条件下,二项分布的极限分布是泊松分布二项分布的极限分布是泊松分布.2.当当n很大且很大且 p又较小时又较小时,58.例例5.设有同类型设备设有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生发生故障的概率都是故障的概率都是0.01,设一台设备的故障由一个人处理设一台设备的故障由一个人处理,问问至少需配备多少工人至少需配备多少工人,才能保证当设备发生故障但不能及才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于时维修的概率小于0.01?59.(四四)几何分布几何分布 进行重复独立试验进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为设每次试验成功的概率为p,失败失败的概率为的概率为1-p=q(0p1),将试验进行到出现一次成功为止将试验进行到出现一次成功为止,以以X表示所需的试验次数表示所需的试验次数,则则X的分布律为的分布律为:PX=k=qk-1p,k=1,2,称为称为X服从参数为服从参数为p的几何分布的几何分布.例例 设某种社会定期发行的奖券设某种社会定期发行的奖券,每券每券1元元,中奖率为中奖率为p,某人某人每次购买每次购买1张奖券张奖券,如果没有中奖下次继续再买如果没有中奖下次继续再买1张张,直到中直到中奖止奖止,求购买次数求购买次数X的分布律的分布律.若该人共准备购买若该人共准备购买10次共次共10元钱元钱,即如果中奖就停止即如果中奖就停止,否则否则下次再购买下次再购买1张张,直到直到10元共花完为止元共花完为止,求购买次数求购买次数Y的分布律的分布律.60.3 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数1.定义：设定义：设r.v.X,x R1,则则 F(x)=P Xx 称为称为X的分布的分布函数函数.(2)无论是离散型无论是离散型r.v.还是非离散型还是非离散型r.v.,分布函数都分布函数都可以描述其统计规律性可以描述其统计规律性.注注(1)P x1x1,F(x2)-F(x1)=Px1Xx2 0.(2)0F(x)1,F(-)=0,F(+)=1.(3)F(x)至多有可列个间断点至多有可列个间断点,而在其间断点而在其间断点 上也是右连续的上也是右连续的,F(x+0)=F(x).61.例例1.离散型离散型r.v.,已知分布律可求出分布函数已知分布律可求出分布函数.X -1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求：求：X的分布函数的分布函数,并求并求P X1/2,P3/2X5/2.结结结结论论论论反之，若已知分布函数求分布律用如下公式求解：反之，若已知分布函数求分布律用如下公式求解：62.63.4.4.连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度则称则称X为连续型为连续型r.v.f(x)称为称为X概率密度函数概率密度函数,简称概率密度简称概率密度.连续型连续型r.v.的分布函数是连续函数的分布函数是连续函数,这种这种r.v.的取值的取值是充满某个区间的是充满某个区间的.注注64.例例1.一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘米的圆盘,设击中靶上任一同心圆设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能击并设射击都能击中靶中靶,以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求试求X的分布函数的分布函数.65.定定定定义义义义注注负指数分布负指数分布3.关于连续型关于连续型r.v.的一个重要结论的一个重要结论:定理定理:设设X为连续型为连续型r.v.它取任一指定的实数值它取任一指定的实数值a的概的概率均为率均为0.即即PX=a=0.66.4.几个常用的连续型几个常用的连续型r.v.分布分布(一一)均匀分布均匀分布:则称随机变量则称随机变量X在在(a,b)上服从均匀分布上服从均匀分布,记作记作XU(a,b).分布函数为分布函数为:67.(二二)正态分布正态分布:68.性质性质:(2)标准正态分布标准正态分布:69.引理引理:结结结结论论论论70.例例 设某商店出售的白糖每包的标准全是设某商店出售的白糖每包的标准全是500克克,设每包重量设每包重量X(以克计以克计)是随机变量是随机变量,XN(500,25),求求:(1)随机抽查一包随机抽查一包,其重量大于其重量大于510克的概率克的概率;(2)随机抽查一包随机抽查一包,其重量与标准重量之差的绝对值在其重量与标准重量之差的绝对值在8克克之内的概率之内的概率;(3 求常数求常数c,使每包的重量小于使每包的重量小于c的概率为的概率为0.05.注注(1)由由(x)=0.05怎样查表求怎样查表求x的值的值?(2)服从正态分布服从正态分布N(,2)的的r.v.X之值基之值基本上落入本上落入-2,+2 之内之内,几乎全部落几乎全部落入入-3,+3 内内.特别强调特别强调N(0,1)的情况在计算中的应用的情况在计算中的应用.71.z (x)0(3)标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点:z0.05=1.645,z0.025=1.96(x)=P(Xx)72.(三三)负指数分布负指数分布:1.定义定义:如果连续型随机变量如果连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为:则称则称X服从参数为服从参数为 的负指数分布的负指数分布,记为记为X().73.2.特例特例:(1,)是参数为是参数为 的指数分布的指数分布.3.伽玛函数的性质伽玛函数的性质:(i)(+1)=();(ii)对于正整数对于正整数n,(n+1)=n!;(四四)伽玛分布伽玛分布:如果连续型随机变量如果连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为:1.定义定义:74.5.随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布一、一、X为离散型为离散型r.v.例例1.设设X具有以下的分布律具有以下的分布律,求求Y=(X-1)2分布律分布律:X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.475.(2)若若g(x1),g(x2),中不是互不相等的中不是互不相等的,则应将那些相等的则应将那些相等的值分别合并值分别合并,并根据概率加法公式把相应的并根据概率加法公式把相应的pi相加相加,就得到就得到了了Y的概率分布律的概率分布律.1.离散离散r.v.分布函数的概率分布的求法分布函数的概率分布的求法:设设X的概率分布如下表的概率分布如下表:X x1 x2 xk PX=xi)p1 p2 pk .(1)记记yi=g(xi)(i=1,2,)yi的值也是互不相同的的值也是互不相同的,则则Y的概率的概率分布如下表分布如下表:Y y1 y2 yk PY=yi)p1 p2 pk .76.二、二、X为连续型为连续型r.v.1.“分布函数法分布函数法”:(1)先求出先求出Y的分布函数的分布函数:FY(y)=PYy=Pg(X)y=PX G,其中其中 G=x:g(x)y,转化为关于转化为关于X的事件的事件,再利用再利用X 的分布函数表示的分布函数表示.(2)对对y求导得到求导得到Y的概率密度的概率密度:fY(y)=FY(y).77.78.(1)若若f(x)在有限区间在有限区间a,b以外等于零以外等于零,则只需假则只需假设在设在a,b上上g(x)严格单调严格单调,选取选取 =min(g(a),g(b),=max(g(a),g(b).2.公式法：公式法：定理定理:设设X是连续型是连续型r.v.,具有概率密度具有概率密度f(x),设设y=g(x)是是x的的严格单调函数严格单调函数,且反函数且反函数x=h(y)具有连续的导函数具有连续的导函数.当当g(x)严格增加时严格增加时,记记 =g(-),=g(+);当当g(x)严格减少时严格减少时,记记 =g(+),=g(-),则则Y的概率密度为的概率密度为:说明说明(2)定理中条件定理中条件y=g(x)是是X的严格单调函数是相当的严格单调函数是相当苛刻的苛刻的,许多常见的函数都不能满足许多常见的函数都不能满足,因此因此,求随机求随机变量的函数的分布时变量的函数的分布时,只能按只能按“分布函数法分布函数法”直接直接求解求解.79.例例4.r.v.XN(,2),证明证明X的线性函数的线性函数Y=aX+b(a0)也也服从正态分布服从正态分布.80.第二章第二章 习题课习题课 一一.主要内容主要内容二二.课堂练习课堂练习1.甲，乙两名篮球队员独立地轮流投篮，直到某人投中甲，乙两名篮球队员独立地轮流投篮，直到某人投中为止，今设甲投中的概率为为止，今设甲投中的概率为0.4,乙投中的概率为乙投中的概率为0.6,求甲求甲队员投篮次数的分布律队员投篮次数的分布律(设甲先投设甲先投).81.82.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布1 二维随机变量二维随机变量1.二维二维r.v.定义定义:设设E是一个随机试验是一个随机试验,样本空间是样本空间是 S=e,设设X=X(e)和和Y=Y(e)是定义在是定义在S上的上的r.v.,由它们构成的一由它们构成的一个向量个向量(X,Y),叫做二维叫做二维r.v.2.二维二维r.v.(联合联合)分布函数分布函数:83.若将若将(X,Y)看成平面上随机点的坐标看成平面上随机点的坐标,则分布函数则分布函数F(x,y)的的值为值为(X,Y)落在阴影部分的概率落在阴影部分的概率(如图如图1)图图1图图2二维二维r.v.的分布函数的基本性质与一维的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函的分布函数数F(x)的性质类似的性质类似,此处从略此处从略.84.3.下面分别讨论二维离散型和连续型下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.(一一)二维离散型二维离散型r.v.85.例例1.设设r.v.X在在1,2,3,4四个整数中等可能地取值四个整数中等可能地取值,r.v.Y则在则在1X中等可能地取一整数中等可能地取一整数,试求试求(X,Y)的分布律的分布律.结结结结论论论论86.(二二)二维连续型二维连续型r.v.87.二维连续型二维连续型r.v.(X,Y)落在平面落在平面G上概率上概率,就等于密就等于密度函数度函数f(x,y)在在G上的积分上的积分,这就将概率的计算转这就将概率的计算转化为一个二重积分的计算了化为一个二重积分的计算了.注注88.2.边缘分布边缘分布 一、边缘分布函数：一、边缘分布函数：二、边缘分布律：二、边缘分布律：89.例例1(续续)X Y 1 2 3 4 pj 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 pi1/41/41/41/425/4813/487/483/48190.三、三、边缘概率密度边缘概率密度:91.92.3.条件分布条件分布 一、二维离散型一、二维离散型r.v.的情况的情况:93.94.例例1.设设(X,Y)的分布律为的分布律为:X 5 7 13 18 20 1 0.08 0.01 0 0.02 0.14 2 0.11 0.10 0.09 0.01 0.04 3 0.03 0.07 0.15 0.06 0.09求在求在X=2时时Y的条件分布律的条件分布律.Y例例2 一射击手进行射击一射击手进行射击,击中目标的概率为击中目标的概率为p(0p1),射射击到击中目标两次为止击到击中目标两次为止,设以设以X表示首次击中目标进行表示首次击中目标进行的射击次数的射击次数,以以Y表示总共进行的射击次数表示总共进行的射击次数,试求试求X和和Y的的联合分布律和条件分布律联合分布律和条件分布律.95.二、二维连续型二、二维连续型r.v.首先引入条件分布函数首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度然后得到条件概率密度.96.进一步可以化为进一步可以化为:97.例例3.设数设数X在区间在区间(0,1)上随机地取值上随机地取值,当观察到当观察到X=x(0 x0,139.提法二提法二:强大数定律强大数定律,即证明：即证明：1.切比雪夫大数定律的特殊情况切比雪夫大数定律的特殊情况设设r.v.X1,X2,Xn,相互独立相互独立,且具有相同的数学期且具有相同的数学期望和方差望和方差:140.2.贝努利定理贝努利定理:设设nA是是n次独立重复试验中次独立重复试验中A发生的次数发生的次数,p是事件是事件A在在每次试验中发生的概率每次试验中发生的概率,则则性质性质:141.3.切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律:设设X1,X2,Xn,是由两两互不相关的是由两两互不相关的 r.v.所构所构成的序列成的序列,每一个每一个r.v.都有有限的方差都有有限的方差,并且它们有公共并且它们有公共的上界的上界.4.辛钦定理辛钦定理:设设 r.v.X1,X2,Xn,相互独立相互独立,服从同一分布服从同一分布,且具有且具有数学期望数学期望142.2.中心极限定理中心极限定理 一一.问题提出问题提出:对于独立随机变量序列对于独立随机变量序列 1,2,n,假定假定E i,D i存存在在,令令143.1.独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理:设设 r.v.Xk(k=1,2,)相互独立相互独立,服从同一分布服从同一分布(i.i.d.)且具有有限的数学期望和方差且具有有限的数学期望和方差:144.2.李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理:145.3.德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理:146.例例2.设某车间有设某车间有200台车床台车床,每台车床由于种种原因出现每台车床由于种种原因出现停车停车,且每台车床开车的概率为且每台车床开车的概率为0.6,假定每台车床停或假定每台车床停或开车是相互独立的开车是相互独立的.若每台车床开车时需消耗若每台车床开车时需消耗1000W电电能能,问要以问要以99.9%的概率保证这个车间不致因供电不足的概率保证这个车间不致因供电不足而影响生产，需供应多少电能？而影响生产，需供应多少电能？147.练习练习:1.抽样检查产品质量时，如果发现次品多于抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为个，则认为这批产品不能接受，问应检查多少个产品，可使次品率为这批产品不能接受，问应检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不能被接受的概率达到的一批产品不能被接受的概率达到0.9?(147147个个个个)2.一个复杂的系统，由一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件组成，个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠度为每个部件的可靠度为0.9，且必须至少有，且必须至少有80%的部件工作的部件工作才能使整个系统工作，问才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠至少为多少才能使系统的可靠度为度为0.95?(25(25个个个个)3.设某电话总机要为设某电话总机要为2000个用户服务，在最忙时，平均每个用户服务，在最忙时，平均每户有户有3%的时间占线，假设各户是否打电话是相互独立的，的时间占线，假设各户是否打电话是相互独立的，问若想以问若想以99%的可能性满足用户的要求，最少需要多少条的可能性满足用户的要求，最少需要多少条线路？线路？(79(79条条条条)148.第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布 1.随机样本随机样本一一.定义定义:在统计学中在统计学中,我们把所研究的全部元素组成的集我们把所研究的全部元素