概率论与数理统计.ppt

概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计是研究什么的？概率论与数理统计是研究什么的？概率论概率论概率论概率论从数量上研究随机现象的统计规律性的从数量上研究随机现象的统计规律性的从数量上研究随机现象的统计规律性的从数量上研究随机现象的统计规律性的科学科学科学科学。数理统计数理统计数理统计数理统计从应用角度研究处理随机性数据，建从应用角度研究处理随机性数据，建从应用角度研究处理随机性数据，建从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。立有效的统计方法，进行统计推理。立有效的统计方法，进行统计推理。立有效的统计方法，进行统计推理。随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三章第三章 多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第七章第七章 参数估计参数估计第八章第八章 假设检验假设检验主要内容主要内容第一章第一章 概率概率论的基本概念论的基本概念1.1 随机事件随机事件及其运算及其运算1.2 概率概率的定义及其性质的定义及其性质1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型1.4 条件概率条件概率1.5 独立性独立性1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算如何研究随机现象呢？如何研究随机现象呢？如何研究随机现象呢？如何研究随机现象呢？1.1.1 随机现象随机现象 自然界的现象按照现象按照发生的可能性（或者必然发生的可能性（或者必然性）性）分为两类分为两类：一类是确定性现象确定性现象，特点是条件完全决定结果条件完全决定结果 一类是随机现象随机现象，特点是条件不能完全决定结条件不能完全决定结果果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象随机现象。1.1.2 随机试验随机试验E1:抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；E2:掷一颗骰子，观察出现的点数；E3:记录110报警台一天接到的报警次数；E4:在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命；E5:记录某物理量的测量误差；E6:在区间 上任取一点，记录它的坐标。例例1-1：上述试验具有如下特点：上述试验具有如下特点：1.试验的可重复性试验的可重复性在相同条件下可重复进行在相同条件下可重复进行；2.一次试验结果的随机性一次试验结果的随机性一次试验的可能结果不止一次试验的可能结果不止一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现；一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现；3.全部试验结果的可知性全部试验结果的可知性所有可能的结果是预先可所有可能的结果是预先可知知 的，且每次试验有且仅有一个结果出现。的，且每次试验有且仅有一个结果出现。在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试随机试验验，简称，简称试验试验。随机试验常用。随机试验常用E表示。表示。v样本空间样本空间:试验的试验的所有可能结果所有可能结果所组成的所组成的集合集合称为称为试验试验E的样本空间的样本空间,记为记为.v样本点样本点:试验的试验的每一个可能出现的结果每一个可能出现的结果（样本空（样本空间中的元素）间中的元素）称为称为试验试验E的的一个一个样本点样本点,记为记为.1.1.3 随机随机事件与样本空间事件与样本空间 分别写出例分别写出例1-1各试验各试验 所对应的样本空间所对应的样本空间例例1-2：例如在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即A=1，3，5.它是样本空间的一个子集。事件发生事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点，都称这一次试验中事件A发生了。基本事件基本事件：随机事件仅包含一个样本点，单点子集。如如，在试验E1中H表示“正面朝上”，就是个基本事件基本事件。v随机事件：随机事件：样本空间的任意一个子集子集称为随机事件随机事件,简称“事件”，记作A、B、C等。复合事件复合事件：包含两个或两个以上样本点的事件。两个特殊的事件两个特殊的事件必然事件：；不可能事件：.1.包含关系与相等：包含关系与相等：“事件事件 A A发生必有事件发生必有事件B B发生发生”记为记为A B。AB A B且且B A.1.1.4 事件间的关系与运算事件间的关系与运算A BAB2.和（并）事件：和（并）事件：“事件事件A与事件与事件B至少有一个发至少有一个发生生”，记作，记作A B或或A+B。显然：A A B，B A B；若；若A B，则，则A B=B。推广推广：n个事件个事件A1,A2,An至少有一个发生，至少有一个发生，记作记作 或或3.积（交）事件积（交）事件:事件事件A与事件与事件B同时发生，同时发生，记作记作 A B 或或AB。推广推广：n个事件个事件A1,A2,An同时发生，记作同时发生，记作 A1A2An或或 或或显然：AB A，AB B；若；若A B，则，则AB=A。4.差事件差事件：AB称为称为A与与B的差事件的差事件,表示事件表示事件 A发生而事件发生而事件B不发生不发生显然：显然：A-B A；若若A B，则，则A-B=。5.互不相容事件（也称互斥的事件）：互不相容事件（也称互斥的事件）：即事件即事件A与事件与事件B不能同时发生不能同时发生。AB 。ABAB=推广推广：n个事件个事件A1,A2,An任意两个都互不相任意两个都互不相容，则称容，则称n个事件个事件两两互不相容两两互不相容。若若n个事件个事件A1,A2,An 两两互不相容，且两两互不相容，且则称则称n个事件个事件A1,A2,An 构成一个构成一个完备事件组完备事件组完备事件组完备事件组。6.对立（逆）对立（逆）事件事件 A B ,且且AB 显然有：显然有：思考思考：事件事件A和事件和事件B互不相容与事件互不相容与事件A和事件和事件B互互为对立事件的区别为对立事件的区别.互不相容事件与对立事件是两个不同的概互不相容事件与对立事件是两个不同的概念，念，对立事件一定是互不相容事件对立事件一定是互不相容事件，互不相互不相容事件不一定是对立事件容事件不一定是对立事件，对立在样本空间，对立在样本空间只有两个事件时存在，互不相容还可在样本只有两个事件时存在，互不相容还可在样本空间有多个事件时存在空间有多个事件时存在交换律：交换律：ABBA，ABBA。结合律结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)CA(BC)。分配律分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)。对偶对偶(De Morgan)律律：7.事件的运算事件的运算性质性质例例1-3：某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”,i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.解解本节课主要讲授：本节课主要讲授：1.随机现象；随机现象；2.随机试验和样本空间；随机试验和样本空间；3.随机事件的概念；随机事件的概念；4.随机事件的关系和运算（随机事件的关系和运算（重点重点）。）。小小 结结1.2 概率概率的定义及其性质的定义及其性质1.2.1 概率的统计定义概率的统计定义试验者试验者德.摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069费勒1000049790.4979K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005频率的性质：频率的性质：一口袋中有6个乒乓球，其中4个白的，2个红的有放回地进行重复抽球，观察抽出红色球的次数。2001390.6954002010.6536004010.668频率是概率的近似值，概率频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征也应有类似特征：定义定义2：在相同的条件下进行n次重复试验，当n趋于无穷大时，事件A发生的频率 稳定于某个确定的常数p，称此常数p为事件A发生的概率，记作 注注注注1 1 1 1：概率的统计定义不仅提供了一种定义概率的方法，更重要概率的统计定义不仅提供了一种定义概率的方法，更重要的是给了一种估算概率的方法在实际问题中，事件发生的概率往的是给了一种估算概率的方法在实际问题中，事件发生的概率往往是未知的，由于频率具有稳定性，我们就用大量试验中得到的频往是未知的，由于频率具有稳定性，我们就用大量试验中得到的频率值作为概率的近似值率值作为概率的近似值注注注注2 2 2 2：但但上述定义存在着明显的不足，首先，人们无法把一个试上述定义存在着明显的不足，首先，人们无法把一个试验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的其验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的其次，定义中对频率与概率关系的描述是定性的、非数学化的，从而次，定义中对频率与概率关系的描述是定性的、非数学化的，从而容易造成误解容易造成误解 注注注注3 3 3 3：定义定义2 2中的叙述易使人想到概率是频率的极限，概率是否为中的叙述易使人想到概率是频率的极限，概率是否为频率的极限，以什么方式趋于概率呢？频率的极限，以什么方式趋于概率呢？1.2.2 概率的公理化定义概率的公理化定义定义定义3：若对随机试验：若对随机试验E所对应的样本空间所对应的样本空间 中的每一事件中的每一事件A，均赋予一实数，均赋予一实数P(A)，集合函数，集合函数P(A)满足条件：满足条件：(1)非负性公理：非负性公理：P(A)0；(2)规范性公理：规范性公理：P()1，P()0；(3)可列可加性公理可列可加性公理：设设A1，A2，,是一列两两互不相容是一列两两互不相容的事件，即的事件，即AiAj，(i j),i,j1,2,有有 P(A1 A2 )P(A1)P(A2)+.则称则称P(A)为事件为事件A的的概率概率概率概率。性质性质 1v概率的性质概率的性质性质性质 2（有限可加性有限可加性）设设A1，A2，,An是一列两两互不相容的事件，即是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(i j),i,j1,2,n，有有 P(A1 A2 An )P(A1)P(A2)+.P(An)性质性质 3 （互补性互补性）证明证明：因为 所以有故性质性质4 P(A-B)=P(A)-P(AB).特别地,当 时,P(A-B)=P(A)-P(B),且P(B)P(A).证明：因为 且 ，所以性质性质 5（加法公式）（加法公式）对于任意事件对于任意事件A,B，有，有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).对任意对任意n个事件个事件A1，A2，,An，有有 证明：单调不减性单调不减性单调不减性单调不减性性质性质 6（可分性可分性）对任意两事件A、B,有 P(A)P(AB)P(AB),P(B)P(AB)P(AB)例例1-5 设A,B为两个随机事件,P(A)=0.5,P(AB)=0.8,P(AB)=0.3,求求P(B).解解 由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.解解 由性质6可知，例例1-6 设A,B两个随机事件,P(A)=0.8,P(AB)=0.5,求P(AB).P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3例例1-7 设设A与与B互不相容互不相容,P(A)=0.5,P(B)=0.3,求求P(AB).解解 P(AB)=P()=1-P(AB)=1-P(A)+P(B)=1-(0.5+0.3)=0.2 本节课主要讲授：本节课主要讲授：1.概率的统计定义概率的统计定义；2.概率的公理化定义概率的公理化定义；3.概率的性质概率的性质（重点重点）。）。小小 结结1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型1.3.1 古典概型古典概型2.2.等可能性等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.理论上理论上,具有下面两个特点的随机试验的概率模型具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为称为古典概型（或等可能概型）古典概型（或等可能概型）：1.1.有限性：有限性：基本事件的总数是有限的,换句话说样本空间仅含有有限个样本点;设事件A中所含样本点个数为r,样本空间中样本点总数为n,则有古典概型的概率计算公式古典概型的概率计算公式:例例1-9 掷一枚质地均匀的骰子掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。求出现奇数点的概率。事件事件“出现奇数点出现奇数点”用用A表示表示,则则A=1,3,5,所含样本所含样本点数点数r=3,从而从而解解：显然样本空间显然样本空间=1,2,3,4,5,6,样本点总数样本点总数n=6,所以所以A,B,C中样本点数分别为中样本点数分别为rA=3,rB=1,rC=7,例例1-10 抛一枚均匀硬币抛一枚均匀硬币3次次,设事件设事件A为为“恰有恰有1次出现面次出现面”,B为为“恰有恰有2次出现正面次出现正面”,C为为“至少一次出现正面至少一次出现正面”,试求试求 P(A),P(B),P(C).则则P(A)=rAn=38,P(B)=rBn=18,P(C)=rCn=78.例例1-11 从从0,1,2,9等等10个数字中任意选出个数字中任意选出3个不同数字个不同数字,试求试求3个数字中不含个数字中不含0和和5的概率的概率.解解 设设A表示表示“3个数字中不含个数字中不含0和和5”.从从0,1,2,9中任意选中任意选3个不同的数字个不同的数字,共有共有 种选法种选法,即基本事件总数即基本事件总数n=.3个数中不含个数中不含0和和5,是从是从1,2,3,4,6,7,8,9共共8个数中取得个数中取得,选法有选法有 ,即即A包含的基本事件数包含的基本事件数 ,则则 如果把题中的如果把题中的“0和和5”改成改成“0或或5”,结果如何？结果如何？例例1-12 从从1,2,9这这9个数字中任意取一个数个数字中任意取一个数,取后放回取后放回,而而后再取一数后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率试求取出的两个数字不同的概率.解解 基本事件总数基本事件总数n=92,因为第一次取数有因为第一次取数有9中可能取法中可能取法,这这时可重复排列问题时可重复排列问题.设设A表示表示“取出的两个数字不同取出的两个数字不同”.A包含的基本事件数包含的基本事件数9*8因为第一次取数有因为第一次取数有9中可能取法中可能取法,为保证两个数不同为保证两个数不同,第二第二次取数应从另外的次取数应从另外的8个数中选取个数中选取,有有8中可能取法中可能取法,r=9*8,故故 P(A)=rn=9*892=89例例1-13 袋中有袋中有5个白球个白球3个黑球个黑球,从中任取两个从中任取两个,试求取到的试求取到的两个球颜色相同的概率。两个球颜色相同的概率。解解 从从8个球中任意取两个个球中任意取两个,共有共有 种取法种取法,即基本事件总即基本事件总 数数 .记记A表示表示“取到的两个球颜色相同取到的两个球颜色相同”,A包含两种可能包含两种可能:全是全是白球白球或全是或全是黑球黑球.全是白球有全是白球有 种取法种取法,全是黑球有全是黑球有 种取法种取法,由加法原理由加法原理 知知,A的取法共的取法共 中中,即即A包含的基本事件数包含的基本事件数 r=故故说明：不管是放回抽样还是不放回抽样，也不管取球的说明：不管是放回抽样还是不放回抽样，也不管取球的先后顺序如何，每次取到白球的概率都是一样的先后顺序如何，每次取到白球的概率都是一样的 我们我们日常生活中的抓阄，就是不放回抽样，可见不管第几个日常生活中的抓阄，就是不放回抽样，可见不管第几个去抽，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关去抽，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关 把有限个样本点推广到无限个样本点的场把有限个样本点推广到无限个样本点的场合合,人们引入了人们引入了几何概型几何概型.由此形成了确定概率由此形成了确定概率的另一方法的另一方法 几何方法几何方法.概率的古典定义具有可计算性的优点概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局但它也有明显的局限性限性.要求样本要求样本点有限点有限,如果样本空间中的样本点有无限个如果样本空间中的样本点有无限个,概概率的古典定义就不适用了率的古典定义就不适用了.1.3.2 几何概型几何概型当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点并且任意一点落在度量落在度量(长度长度,面积面积,体积体积)相同的子区域是等可相同的子区域是等可能的能的,则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为说明：当古典概型的试验结果为连续无穷多个时说明：当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为就归结为几何概率几何概率.那末那末 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为例例1-15 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内,在预定在预定地点会面地点会面.先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人,经过时间经过时间 t(t0,称 为在事件B发生条件下事件A发生的概率.显然，P(A)0时，计算条件概率有两个基本的方法：计算条件概率有两个基本的方法：n 用定义计算，即在原样本空间中计算P(AB)与P(B)之比；n 在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算，即在新样本空间B中直接计算A发生的概率.例例1-18 在全部产品中有在全部产品中有4%是废品是废品,有有72%为一等品为一等品.现从中任取一件为合格品现从中任取一件为合格品,求它是一等品的概率求它是一等品的概率.解解 设A表示“任取一件为合格品”,B表示“任取一件为一等品”,显然B A,P(A)=96%,P(AB)=P(B)=72%,则所求概率为 例例1-19 盒中有黄白两色的乒乓球盒中有黄白两色的乒乓球,黄色球黄色球7个个,其中其中3个是新个是新球球;白色球白色球5个个,其中其中4个是新球个是新球.现从中任取一球是新球现从中任取一球是新球,求它求它是白球的概率是白球的概率.解解1 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”,由古典概型的等可能性可知,所求概率为解解2 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”,由条件概率公式可得解解 设A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取球取出的是黑球”,所求概率为P(B|A).由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中有5个黑球2个白球,由古典概型的概率计算方法得例例1-20 盒中有盒中有5个黑球个黑球3个白球个白球,连续不放回的从中取两连续不放回的从中取两次球次球,每次取一个每次取一个,若已知第一次取出的是白球若已知第一次取出的是白球,求第二次取求第二次取出的是黑球的概率出的是黑球的概率.性质2 若A与B互不相容，则 性质3 条件概率的性质条件概率的性质性质1若事件 ，两两互不相容，且P(B)0，则概率的乘法公式概率的乘法公式l当当 P(A)0 时，有时，有 P(AB)=P(A)P(B|A).l当当 P(B)0 时，有时，有 P(AB)=P(B)P(A|B).乘法公式还可以推广到n个事件的情况：l设设 P(AB)0 时，则时，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).l设 P(A1A2An-1)0,则P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1).例例1-1-2121 在在1010个产品中个产品中,有有2 2件次品件次品,不放回的抽取不放回的抽取2 2次产品次产品,每次取一个每次取一个,求取到的两件产品都是次品的概率求取到的两件产品都是次品的概率.解解 设A表示“第一次取产品取到次品”,B表示“第二次取产品取到次品”,则 故 例例1-22 盒中有盒中有5个白球个白球2个黑球个黑球,连续不放回的在其中取连续不放回的在其中取3次球次球,求第三次才取到黑球的概率求第三次才取到黑球的概率.解解 设设Ai(i=1,2,3)表示表示“第第i次取到黑球次取到黑球”,于是所求概率为于是所求概率为例例1-23 设设 P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,求求 P(A|B).解解1.4.2 全概率公式与贝叶斯全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式全概率公式全概率公式 设随机试验对应的样本空间为,设A1,A2,An是样本空间的一个完备事件组（或划分），且P(Ai)0,i=1,2,n，B是任意一个事件,则注：全概率公式求的是注：全概率公式求的是无条件概率无条件概率例例1-24 盒中有盒中有5个白球个白球3个黑球个黑球,连续不放回地从中取两连续不放回地从中取两次球次球,每次取一个每次取一个,求第二次取球取到白球的概率求第二次取球取到白球的概率.解解 设A表示“第一次取球取到白球”,B 表示“第二次取球取到白球”,则由全概率公式得例例1-25 在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品的产品,它们的产量各占它们的产量各占30%,35%,35%,30%,35%,35%,并且在各自的产并且在各自的产品中废品率分别为品中废品率分别为5%,4%,3%.5%,4%,3%.求从该厂的这种产品中任求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率取一件是废品的概率.解解 设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”,A2表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”,A3表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产”,B表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”,则P(A1)=30%，P(A2)=35%,P(A3)=35%,P(B|A1)=5%,P(B|A2)=4%,P(B|A3)=3%.由全概率公式得例例1-26 设在设在n(n1)张彩票中有张彩票中有1张奖券张奖券,甲、乙两人依次甲、乙两人依次摸一张彩票摸一张彩票,分别求甲、乙两人摸到奖券的概率分别求甲、乙两人摸到奖券的概率.解解 设A表示“甲摸到奖券”,B表示“乙摸到奖券”.现在目的是求P(A),P(B),显然P(A)=1/n.因为A是否发生直接关系到B的概率,即于是由全概率公式得 这个例题说明这个例题说明,购买彩票时购买彩票时,不论先买后买不论先买后买,中奖机会是均等的中奖机会是均等的,这就是所这就是所谓的谓的“抽签公平性抽签公平性”.贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式 设设A1,A2,An是样本空间的一个完备事件组（或划分）是样本空间的一个完备事件组（或划分）,B是任一事件是任一事件,且且P(B)0,则则例例1-27 在例1-24的条件下,若第二次取到白球,求第一次取到黑球的概率.注：注：Bayes公式求的是公式求的是条件概率条件概率.【盒中有盒中有5个白球个白球3个黑球个黑球,连续不放回地从中取两次球连续不放回地从中取两次球,每每次取一个次取一个,求第二次取球取到白球的概率求第二次取球取到白球的概率.】解解 使用例1-24解中记号,设A表示“第一次取球取到白球”,B 表示“第二次取球取到白球”,则所求概率为 ,由贝叶斯公式可求注意到注意到例例1-28 在例1-25的假设下,若任取一件是废品,分别求它是甲、乙、丙生产的概率.解解 由贝叶斯公式，【在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占它们的产量各占30%,35%,35%,30%,35%,35%,并且在各自的产品中废品并且在各自的产品中废品率分别为率分别为5%,4%,3%.5%,4%,3%.求从该厂的这种产品中任取一件是求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率废品的概率.】例例1-29 针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有90%呈阳性反应,而未患该病的人中5%呈阳性反应.设人群中有1%的人患这种病.若某人做这种化验呈阳性反应,则他换这种疾病的概率是多少?解解 设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则由全概率公式得再由贝叶斯公式得 本题的结果表明，化验呈阳性反应的人中，只有15%左右真正患有该病.2、全概率公式及其应用、全概率公式及其应用(求无条件概率求无条件概率)小小 结结3、贝叶斯公式及其应用、贝叶斯公式及其应用(求条件概率求条件概率)1、条件概率及乘法公式；、条件概率及乘法公式；定义定义1 若P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立,简称A,B独立独立.性质性质2 若A与B相互独立,则A与B,A与B,A与B都相互独立.1.5.1 两事件独立两事件独立性质性质1 设P(A)0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(B)=P(B|A).设P(B)0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(A)=P(A|B).1.5 独立性独立性回忆：回忆：以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。由性质由性质2知知，事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.v 独立与互斥的关系独立与互斥的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立两事件互斥两事件互斥例如例如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系独立是事件独立是事件间的概率属间的概率属性性互斥是事件间互斥是事件间本身的关系本身的关系11由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立.又如：又如：两事件两事件相互独立相互独立.两事件两事件互斥互斥例例1-29 两射手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中目标的概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,求目标被击中的概率.解解 设A表示“甲射中目标”,B表示“乙射中目标”,C表示“目标被击中”,则C=AB,A与B相互独立,P(A)=0.9,P(B)=0.8，故P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9*0.8=0.98.或利用对偶律对偶律亦可.注注：A，B相互独立时,概率加法公式可以简化,即当A与B相互独立时P(AB)=1-P(A)P(B)例例1-30 袋中有袋中有5个白球个白球3个黑球个黑球,从中有放回地连续取两次从中有放回地连续取两次,每每次取次取 一个球一个球,求两次取出的都是白球的概率求两次取出的都是白球的概率.解解 设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,由于是有放回抽取,A与B是相互独立的,所求概率为例例1-31 设设A与与B相互独立相互独立,A发生发生B不发生的概率与不发生的概率与B发生发生A不发不发生的概率相等生的概率相等,且且P(A)=1/3，求，求P(B).即即解得解解 由题意，P(AB)=P(AB)，因为A与B相互独立，则A与B，A与B都相互独立，故P(A)P(B)=P(A)P(B)，定义定义2 若三个事件A、B、C满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；1.5.2 多个事件的独立多个事件的独立 一般地,设A1,A2,An是n个事件,如果对任意k(1kn),任意的1i1i2 ik n,具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)则称n个事件A1,A2,An相互独立。2.三个事件相互独立和两两独立的关系.AB与CD独立吗？例例1-32 3 3人独立地破译一个密码人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概他们能单独译出的概率分别为率分别为 1/5,1/3,1/4.1/5,1/3,1/4.求此密码被译出的概率求此密码被译出的概率.解法解法1 设A,B,C分别表示3人能单独译出密码，则所求概率为 P(ABC)，且A,B,C独立，P(A)=1/5，P(B)=1/3，P(C)=1/4.于是解法解法 2 用用解法解法1的记号，的记号，比较起来比较起来,解法解法1要简单一些要简单一些,对于对于n个相互独立事件个相互独立事件A1,A2,An,其和事件其和事件A1A2An的概率可以通过下的概率可以通过下式计算：式计算：例例1-33 3门高射炮同时对一架敌机各发一炮门高射炮同时对一架敌机各发一炮,它们的命中它们的命中 率分别为率分别为0.1,0.2,0.3,求敌机恰中一弹的概率。求敌机恰中一弹的概率。解解 设Ai表示“第i门炮击中敌机”,i=1,2,3,B表示“敌机恰中一弹”,则例例1-34 用步枪射击飞机，设每支步枪命中率是用步枪射击飞机，设每支步枪命中率是0.004，求，求（1）现用）现用250支步枪同时射击一次，飞机被击中的概率；支步枪同时射击一次，飞机被击中的概率；（2）若想以）若想以0.99的概率击中飞机，需多少支步枪同时射击的概率击中飞机，需多少支步枪同时射击一次？一次？小小 结结1、两个事件的独立性；、两个事件的独立性；2、多个事件的独立性、多个事件的独立性.本章小结本章小结1、基本概念：、基本概念：概率概率 条件概率条件概率 独立性独立性2、主要公式：、主要公式：古典概型古典概型 几何概型几何概型 条件概率公式条件概率公式 乘法公式乘法公式 全概率公式全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式3、计算：、计算：事件运算事件运算 概率计算概率计算 第第二二章章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 随机随机变量及分布函数变量及分布函数2.2 离散型随机变量离散型随机变量2.3 连续型随机变量及概率密度函数连续型随机变量及概率密度函数2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布定义定义 1 设E是随机试验，样本空间为，如果对每一个结果（样本点），有唯一确定的实数X()与之对应，这样就得到一个定义在上的实值函数X=X()称为随机变量.随机变量常用X，Y，Z，.或X1，X2，X3，,.2 2.1.1 随机随机变量及分布函数变量及分布函数2.1.1 随机变量随机变量 关于随机变量的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量。随机变量的特点随机变量的特点:1、X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2、X X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件随机变量的分类：随机变量的分类：随机变量随机变量 定义定义2 2 设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数分布函数，记为F(x)，即 F(x)P Xx.易知，对任意实数a,b(ab),P aXbPXbPXa F(b)F(a).2.1.2 随机变量随机变量的分布函数的分布函数 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2,则则F(x1)F(x2);2、规范性规范性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x)1，且且 3、右连续性右连续性：对任意实数：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是判别一随机变量的分布函数。故该三个性质是判别一个函数是否是分布函数的充分必要条件个函数是否是分布函数的充分必要条件。分布函数的性质分布函数的性质例例2-1 判断函数是否为某一随机变量的分布判断函数是否为某一随机变量的分布函数？函数？解解 由于由于F(x)F(x)单调不减且右连续，且有单调不减且右连续，且有从而，从而，F(x)F(x)是某一随机变量的分布函数是某一随机变量的分布函数。定义定义2 若若X为离散型随机变量，可能取值为为离散型随机变量，可能取值为 x1,x2,xn,，称，称2 2.2 2 离散型离散型随机随机变量变量或或为为X的概率分布列，简称分布列，记为的概率分布列，简称分布列，记为2.2.1 离散型随机变量离散型随机变量的的分布分布列与分布函数列与分布函数定义定义1 若随机变量X只能取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量。反之，若一个数列pi具有以上两条性质，则它必可作为某离散型随机变量的分布列（律）。（1）非负性）非负性：（2）规范性）规范性：分布列pk的性质：X 0 1 2P 0.2 C 0.3求常数C.解：由规范性知，0.2+C+0.3=1，从而 C=0.5由离散随机变量的分布列很容易写出其分布函数由离散随机变量的分布列很容易写出其分布函数v分布分布函数函数例2-2 设离散型随机变量X的分布列为例2-3 某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9，求他两次投篮投中次数X的概率分布列与分布函数。解：X的可能取值为0,1,2.分布列为分布函数为2.2.2 常见的离散分布常见的离散分布1、单点分布（退化分布）、单点分布（退化分布）如果随机变量如果随机变量 X X 只取一个值只取一个值 a a，即分布列为，即分布列为则称则称随机变量随机变量 X X 服从服从单点分布单点分布 若随机变量X只取两个可能值0，1，且 PX=1=p，PX=0=1-p，则称X服从参数为p的两点分布，或0-1分布。2、两点分布、两点分布其中 0p1,q=1-p,则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布二项分布，简记为Xb(n,p).3、二项分布、二项分布注：注：设将试验独立重复进行设将试验独立重复进行 n n 次，每次试验中，事次，每次试验中，事件件 A A 发生的概率均为发生的概率均为 p p ，则称这，则称这 n n 次试验为次试验为 n n 重重伯伯努利努利试验试验.若以若以 X X 表示表示 n n 重重贝努里试验事件贝努里试验事件 A A 发生发生的次数，则称的次数，则称 X X 服从参数为服从参数为 n,pn,p 的的二项分布！二项分布！若随机变量 X 的可能取值为0，1，2，.,n,而 X 的分布列为例2-5 某人射击的命中率为某人射击的命中率为0.02，他独立射击，他独立射击400次，试求其命中次数不少于次，试求其命中次数不少于2的概率。的概率。解解 设设X X表示表示400400次独立射击中命中的次数，次独立射击中命中的次数，则则X Xb b(400,0.02)(400,0.02)，故，故PXPX 221 1 PX PX00PXPX111 10.980.98400400(400)(0.02)(0.98(400)(0.02)(0.98399399)=)=0.9969810.9969814、超几何分布超几何分布 其中 ，则称X服从参数为 的泊松分布泊松分布，简记为5、泊松分布泊松分布注：注：把每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件泊把每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件泊松分布可以作为描述稀有事件发生次数概率分布的一个数松分布可以作为描述稀有事件发生次数概率分布的一个数学模型，学模型，也可以作为研究某段时间内陆续到来的质点流也可以作为研究某段时间内陆续到来的质点流概率分布的数学模型概率分布的数学模型设随机变量X的可能取值为0,1,2,.,n,.,而X的分布列为例2-7 美国西部每周发生地震的次数服从参数为2的泊松分布，求两周内至少发生3次地震的概率解：解：泊松泊松定理定理 设随机变量设随机变量Xnb(n,p),(n0,1,2,),且且n很大，很大，p很小，记很小，记=np，则则 例例2 2-8 8 已知某种疾病的发病率为已知某种疾病的发病率为0 0001001，某单位共有某单位共有50005000人，人，问该单位患有这种疾病的人数超过问该单位患有这种疾病的人数超过1010的概率有的概率有多大？多大？本节课主要讲授：本节课主要讲授：1 1、随机变量、随机变量与分布函数与分布函数的概念；的概念；2 2、离散型随机变量及其分布、离散型随机变量及其分布列列；3 3、四四个重要分布个重要分布:单点分布、单点分布、0-10-1分布、二项分布、泊松分布分布、二项分布、泊松分