直角三角形的射影定理学案.doc

☆ 求学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究。——加菲劳
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
3.4 直角三角形的射影定理
班级： 姓名：
学习目标
知识与技能：掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.
情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。
学习重难点
重点：直角三角形的射影定理的证明及应用；
难点：直角三角形的射影定理的证明。
学习过程
一、知能探究
1、什么是射影？

2、已知：如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.
(1)图中有几条线段?

(2)图中有几个锐角?数量有何关系?

(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?

(4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例
中项的表达式?

(5)由上可得到哪些等积式?

（二）直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是 比例中项；两直角边分别是
的比例中项。
请同学们自己写出已知条件并证明。
已知：
求证：
证明：

讨论：
用勾股定理能证明射影定理吗？写出你的想法.

二、当堂训练
1、如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D。求

2、如图，ΔABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且。
求证：ΔABC是直角三角形。
证明：

三、课堂小结与反思

四、课后检测
1．如图1—4—1中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=3，BD=2，则AC：BC的值是( )
A．3：2 B．9：4
C．： D．：

2．在Rt△ACB中，∠C=90°，CD⊥AB于D，若BD：AD=1：4，则tan∠BCD的值是( )
A. B. C. D. 2
3．下列命题中，正确的有( )
①两个直角三角形是相似三角形；
②等边三角形都是相似三角形；
③锐角三角形都是相似三角形；
④两个等腰直角三角形是相似三角形．
A．1个 B. 2个 C. 3个 D．4个
4．已知直角△ABC中，斜边AB=5cm，BC=2 cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于E，且AD=3.2cm，则DE=( )
A．1.24 cm B．1.26 cm
C．1.28cm D．1.3 cm
5．如图1—4—2，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E。试说明：
图1—4—2
(1)AB·AC=AD·BC；
(2)AD3=BC·BE·CF。
解：

应用射影定理证明比例线段
6．如图1—4—3，已知：BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H=∠BCF。
求证：GD2=GF·GH。
证明：

7．如图1—4—4，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：AE·AB=AF·AC。

证明：

综合·拓展练 综合运用，拓展知能
8．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若，则( )
A. B. C. D.
9．如图1—4—5，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，在图中的六条线段中，你认为只要知道( )条线段的长，就可以求其他线段的长。
A．1 B．2 C．3 D．4

10．如图1—4—6，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，垂足为E，
∠ABC=45°，过E作AD的垂线交AD于F，交BC于G，过E作AD的平行线交AB于H。
求证：FG2=AF·DF+BG·CG+AH·BH。
证明：

高考·模拟练 体验高考，模拟实战
12．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD：BD=2：3，则△ACD与△CBD的相似比为( )
A．2：3 B．4：9 C．：3 D．不确定
13．Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AD=4，sin∠ACD=，则BC=_____，CD=_______。
四、预习提纲
1、圆周角定理及证明
2、圆心角定理及证明
3、圆心角定理的推论

等级：
第 3 页 共 3 页