直角三角形的射影定理.docx

直角三角形的射影定理(学案)
班级：___________姓名：_____________
学习目标：
了解射影的概念，掌握射影定理,会用射影定理解决简单问题。
重点难点：
掌握直角三角形的射影定理及应用。
教学方法：
探究法
教学过程：
1、 复习
相似三角形的判定？

2、 新授课
1． 如图，太阳光垂直于照在点，留在直线上的影子
应是点，线段留在MN上的影子是线段.

定义：过线段AB的两个端点分别作直线的垂线，垂足，之间的线段叫做线段在直线上的正射影，简称射影.
练习一：
(1)、如图：是直角三角形的斜边上的高，
顶点在斜边上的射影是：______，
直角边在斜边上的射影是：______，
直角边在斜边上的射影是：______.

(2)、画出图中各线段在直线上的射影.

3、学习新知——“射影定理”
1.已知：如图，，于.
(1) 图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?

(2) 观察第(1)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?

(3) 由上可得到哪些等积式? 能否用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式?

2.直角三角形的射影定理：
直角三角形斜边上的高是 的比例中项；
两直角边分别是 的比例中项.
几何语言：
∵，

∴

4、巩固新知——“射影定理”的使用
例1 已知：中，，于.
⑴ ，，求,,；

⑵若，， 求,,；

⑶若，，求,,.

随堂练习二：
(1)、如图，，于,已知，，则图中其他线段的长
=_______，=________，=_______，=_________.

(2)、如图，已知，于, ，.
求、的长.

注意：①要用射影定理需有直角三角形，有斜边上的高线.
②射影定理的每一个乘积式中，含有三条线段，需已知其中两条，通过方程就可以求出第三条.
③在解题过程中，要注意和勾股定理联系起来，要注意选择适当的简便方法.
例2 如图，在中，于，于，于.
求证：.

拓展 如图，是的高，.
求证：∽.

随堂练习三：
如图，在中，，，.
求证：.

思考：你能否利用射影定理证明勾股定理？

5、小结
(1)、什么是射影定理？
(2)、你有什么收获？

6、课后作业
1.在中，，于点，若，则（　 　）
A.　　 B.　　 C.　　 　D.
2.中，，于点D，，，
则CD=　　　，AC= ，= .

3.如图，在中，，，，，
则=　　　　.

4.已知，中，，于.（1）若，，求 的长.（2）若，，求、的长.

5.如图所示，在中，，是边的中线，于点，连接，求证：.

资源链接---------阅读拓展
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.