第4讲指数与对数函数.doc

第4讲 指数与对数函数
【例1】解答下述问题：
（1）计算：
[解析]原式=

（2）计算.
[解析]分子=；
分母=；原式=.
（3）化简：
[解析]原式=
.
（4）已知：值.
[解析]
.
【例2】解答下述问题：
（1）已知，求证：
[解析]，

=
（2）若，求的值.
[解析]去分母得
，
、是二次方程的两实根，且，
解得，
【例3】已知是奇函数 （其中，
（1）求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）当定义域区间为时，的值域为，求的值.
[解析]（1）
对定义域内的任意恒成立，，
当不是奇函数，，
（2）定义域为，
设，任取，
，
，结论同上；
（3）上为减函数，
命题等价于，即，解得.
【例4】对于函数，解答下述问题：
（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；
（3）若函数在内有意义，求实数a的取值范围；
（4）若函数的定义域为，求实数a的值；
（5）若函数的值域为，求实数a的值；
（6）若函数在内为增函数，求实数a的取值范围.
[解答]记，
（1）恒成立，，
的取值范围是；
（2）这是一个较难理解的问题。从“的值域为R”，这点思考，“的值域为R”等价于“能取遍的一切值”，或理解为“的值域包含了区间”，的值域为
∴命题等价于，
∴a的取值范围是；
（3）应注意“在内有意义”与定义域的概念是不同的，
命题等价于“恒成立”，应按的对称轴分类，
，
的取值范围是；
（4）由定义域的概念知，命题等价于
不等式的解集为，
是方程的两根，
即a的值为2；
（5）由对数函数性质易知：的值域为，由此学生很容易得，但这是不正确的.因为“”与“的值域为”并不等价，后者要求能取遍的一切值（而且不能多取）.
∵的值域是，
∴命题等价于；
即a的值为±1；
（6）命题等价于：，
即，得a的取值范围是.
【例5】解答下述问题：
（Ⅰ）设集合，
若当时，函数的最大值为2，
求实数a的值.
[解析]
而，
令，
，其对称轴，
①当，即，适合；
②当，适合；
综上，.
（Ⅱ）若函数在区间[0，2]上的最大值为9，求实数a的值.
[解析]，
令，

∴抛物线的对称轴为，
①当，不合；
②当时，，适合；
综上，
【例6】设关于的方程R），
（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；
（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.
[解析]（1）原方程为，
，
时方程有实数解；
（2）①当时，，∴方程有唯一解；
②当时，.
的解为；
令
的解为；
综合①、②，得
1）当时原方程有两解：；
2）当时，原方程有唯一解；
3）当时，原方程无解.

《训练题》
一、选择题：
1．若N*，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．若，则（ ）
A．4 B．16 C．256 D．81
3．当时，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的定义域为[1，2]，则函数的定义域为（ ）
A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[4，16]
二、填空题：
6．计算 .
7．函数是减函数，则实数a的取值范围是 .
8．若，则实数k的取值范围是 .
9．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是 .
三、解答题：
10．已知的值.
11．已知函数，
（1）求的定义域；
（2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x轴？
（3）当a、b满足什么条件时恰在取正值.

12．在函数的图象上有A、B、C
三点，它们的横坐标分别为、、，若
△ABC的面积为S，求函数的值域.
15．已知函数，
（1）讨论的奇偶性与单调性；
（2）若不等式的解集为的值

《作案与解析》

一、选择题：
1.A 2.C 3.B 4.D 5.D 6.A
二、填空题
7．10 8． 9． 10．
11．，
，

，
而，
.
12．（1），
又，故函数的定义域是.
（2）问题的结论取决于的单调性，考察这个函数的单调性有三种方法：
①求导，②运用单调性定义，③复合分析，但以方法①最好.
（解一）求导得：，
，，
在定义域内单调递增，故不存在所述两点；
（解二）任取，则，
，
即在定义域内单调递增，故不存在所述两点；
（3）在单调递增，∴命题等价于：，

13．
，
（1）当，即时，；
（2）当，即时，上单调递减，
，值域为.
14．设A、B、C在轴上的射影分别为A1、B2、C1，

，
令，
，
的值域为

15．（1）定义域为为奇函数；
，求导得，
①当时，在定义域内为增函数；
②当时，在定义域内为减函数；
（2）①当时，∵在定义域内为增函数且为奇函数，
；
②当在定义域内为减函数且为奇函数，
；
（3）
R）；
（4），
；①当时，不等式解集为R；
②当时，得，

不等式的解集为；
③当