数列综合习题练习加答案.doc

数列综合题1. 已知：数列满足，则的最小值为（ B ） 8 7 6 52. 定义：称为个正数的“均倒数”，已知正项数列的前项的“均倒数”为，则 （ C ） 0 1 3. 已知有穷数列A：（）.定义如下操作过程T：从A中任取两项,将的值添在A的最后，然后删除,这样得到一系列项的新数列A1 (约定:一个数也视作数列)；对A1的所有可能结果重复操作过程T又得到一系列项的新数列A2，如此经过次操作后得到的新数列记作Ak . 设A：,则A3的可能结果是（ B ）（A）0；（B）；（C）；（D）.4. 设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ C ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件5. 已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若，则的值为 （ D ）A B C D 6. 若在由正整数构成的无穷数列an中，对任意的正整数n，都有an an+1，且对任意的正整数k，该数列中恰有2k1个k，则a2008= 45 7. 已知是公差不为零的等差数列，如果是的前n项和，那么 2 8. 各项都为正数的等比数列中，则通项公式 9. 已知等比数列的公比为正数，且=2，=1，则= 10. 已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题：数列0,1,3,5,7具有性质； 数列0,2,4,6,8具有性质；若数列具有性质，则；若数列具有性质，则。其中真命题有 。11. 已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是其前项和，则数列的最小项为第 项. 812. 已知等差数列，对于函数满足：，是其前项和，则 . 603313. 等比数列中，且，则的最小值为 14. 若数列为等差数列，且，则的值等于 24 .15. 已知函数，数列满足 ，(1)若数列是常数列，求a的值；(2)当时，记，证明数列是等比数列，并求出通项公式解 (1)，数列是常数列，即，解得，或 6分所求实数的值是1或2 (2)，即10分数列是以为首项，公比为的等比数列，于是 12分 由即，解得 16分所求的通项公式16. 数列中，且（）（1）证明：；（2）若，计算，的值，并求出数列的通项公式；（3）若，求实数（），使得数列成等比数列解: （1）若，即，得或与题设矛盾，4分（2），6分（错一个扣1分，错2个全扣）解法一：用数学归纳法，先猜想，再用数学归纳法证明10分解法二：，由，得，数列是首项为，公比为的等比数列，得10分（3）设数列成等比数列，公比为，则，即14分由，不是常数列，此时，是公比为的等比数列16分17. 已知数列an和bn满足：a1=,an+1=其中为实数，n为正整数.（1）对任意实数，证明:数列an不是等比数列；（2）证明：当（3）设0ab（a,b为实常数）,Sn为数列bn的前n项和.是否存在实数，使得对任意正整数n，都有aSnb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.来源:学科网ZXXK解答:（1）证明：假设存在一个实数l，使an是等比数列，则有, 2分即（）2=2矛盾.所以an不是等比数列. 4分(2)解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=-(-1)n（an-3n+21）=-bn 7分当18时，b1=-(+18) 0,由上可知bn0，(nN+). 8分故当-18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列 9分（3)由（2）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. 10分-18，故知bn= -（+18）（）n-1，于是可得Sn=- 12分要使aSnb对任意正整数n成立，即a-(+18)1（）nb(nN+) 当n为正奇数时，1f(n)f(n)的最大值为f(1)=, f(n)的最小值为f(2)= , 15分于是，由式得a-(+18) 16分当a3a存在实数，使得对任意正整数n,都有aSnb,且的取值范围是（b-18,-3a-18）- 18分.18.定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列（1）若()，证明：数列是数列；来源:Zxxk.Com（2）设数列的通项为，且数列是数列，求的取值范围；（3）设数列()，问数列是否是数列？请说明理由解答: 解：(1) 由得所以数列满足. （2分）()单调递减,所以当n=1时，取得最大值-1，即.所以，数列是数列. （4分） (2) 由得，当,即时，此时数列单调递增； （6分）而当时，此时数列单调递减；因此数列中的最大项是，所以，的取值范围是 . （9分）（3）假设数列是数列，依题意有：(11分）因为,所以当且仅当小于的最小值时,对任意恒成立，即可得. （14分）又当时，,，故 （16分）综上所述：当且时，数列是数列 （18分）19. 设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.（1）求函数的解析式和值域；（2）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，并说明理由；（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.解答: （1）由恒成立等价于恒成立，1分从而得：，化简得，从而得，所以，3分其值域为.4分（2）解：当时，数列在这个区间上是递增数列，证明如下：设，则，所以对一切，均有；7分来源:学&科&网Z&X&X&K，从而得，即，所以数列在区间上是递增数列.10分注：本题的区间也可以是、等无穷多个.另解：若数列在某个区间上是递增数列，则即7分又当时，所以对一切，均有且，所以数列在区间上是递增数列.10分（3）（理科）由（2）知，从而；，即；12分令，则有且；从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列，14分从而得，即，所以 ，所以，所以，所以，.16分即，所以，恒成立（1） 当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为。（2） 当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为。所以，对任意，有。又非零整数，18分