求函数定义域及值域方法.doc

解：求函数的定义域的常用方法函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。一， 已知函数解析式求函数的定义域如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx，xxR且 x， kz和余切函数y=cotx，xxR且 x，kz等。例题一 求下列函数的定义域：（1） y=（2）0+（x2）x2 （2）y=lgtanx+解：（1）欲使函数有意义，须满足20x10x20 解得：x2 且 x3 ，x5x21 函数的定义域为（2，3）（3，5）（5，+）x0（2） 由已知须满足tanx0 解得： x （kz）x -4x416x20 函数的定义域为（-，）（0，）（，4）二， 复合函数求定义域求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。例题二（1）已知函数f（x）的定义域为-2，2，求函数y=f（x2-1）的定义域。（2）已知函数y=f（2x+4）的定义域为0，1，求函数f（x）的定义域。（3）已知函数f（x）的定义域为-1，2，求函数y=f（x+1）f（x2-1）的定义域。（4）已知函数y=f（tan2x）的定义域为0，求函数f（x）的定义域。分析：（1）是已知f（x）的定义域，求fg（x）的定义域。其解法是：已知f（x）的定义域为a，b，求fg（x）的定义域是解ag（x）b，即得所求的定义域。（2）是已知fg（x）的定义域，求f（x）的定义域。其解法是：已知fg（x）的定义域为a，b，求f（x）的定义域的方法为：由axb ，求g（x）的值域，即得f（x）的定义域。（3）是（1）的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。（4）与（2）相似。解：（1）令-2X212 得-1X23，即 0X23，从而 -x函数y=f（x2-1）的定义域为-，。（2）y=f（2x+4）的定义域为0，1，指在y=f（2x+4）中x0，1，令t=2x+4， x0，1，则t4，6，即在f（t）中，t4，6f（x）的定义域为4，6。（3）由 -1x+12 -1X212 得 -x1函数y=f（x+1）f（x2-1）的定义域为-，1。（4）y=f（tan2x）中x0，2x0， tan2x0，1函数f（x）的定义域为0，1。三，含有字母参数的函数求定义域对于含有字母参数的函数求其定义域必须对字母参数进行分类讨论。例题三 （1） 求函数y= （aR）的定义域（2）已知函数f（x）的定义域为1，4，求函数y=f（x+m）f（xm） （m0）的定义域。解：（1）要使函数有意义，须满足：ax30（）当a0时原函数的定义域为xx（）当a0时原函数的定义域为xx（）当a=0时ax30的解集为空集，即原函数的定义域为空集（2）解：令1x+m4 1xm4 由得 1mx4m由得 1+mx4+m当0m时定义域为1+ m，4m当m= 时定义域为xx= 四 ，由实际意义确定的函数求定义域如果函数是由实际意义确定的，这时应根据自变量的实际意义，确定其取值范围。例题四 周长为L的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x，求此框架围成图形的面积y与x的函数关系并确定其定义域。解：如图，设AB=2x ，则AD= = y=2x + x2= x2+Lx由 2x00 得0x所求的函数为y=x2+Lx （0x） 22X A 2222222 B 2x 2X D 2X求函数值域的几种常见方法1直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a0时，值域为；当a0，=，当x0时，则当时，其最小值；当a0）时或最大值（a0恒成立(为什么？)，函数的定义域为R，原函数可化为2y-4yx+3y-5=0，由判别式0，即16-42y(3y-5)=-8+40y0(y0),解得0y5，又y0, 0y5.注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到.3 求函数的值域； 解：令0,则,原式可化为,u0，y，函数的值域是（-，.解：令 t=4x-0 得 0x4 在此区间内 (4x-)=4 ，(4x-) =0函数的值域是 y| 0y2 小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.作业：求函数y=值域解：，函数的定义域R，原式可化为,整理得，若y=1,即2x=0,则x=0；若y1,R，即有0，,解得且 y1.综上：函数是值域是y|.