必修一函数定义域、值域、解析式方法分析.doc

抽象函数的定义域
1.已知的定义域，求复合函数的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域。
2.已知复合函数的定义域，求的定义域
方法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
3.已知复合函数的定义域，求的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。
4.已知的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1已知函数的定义域为，求的定义域．
分析：若的定义域为，则在中，，从中解得的取值范围即为的定义域．本题该函数是由和构成的复合函数，其中是自变量，是中间变量，由于与是同一个函数，因此这里是已知，即，求的取值范围．
解：的定义域为，，．
故函数的定义域为．
例2已知函数的定义域为，求函数的定义域．
分析：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域．这种情况下，的定义域即为复合函数的内函数的值域。本题中令，则，
由于与是同一函数，因此的取值范围即为的定义域．
解：由，得．
令，则，．
故的定义域为
例3. 函数定义域是，则的定义域是（ ）
A. B. C. D.
分析：已知的定义域，求的定义域，可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域
解：先求的定义域
的定义域是，
即的定义域是，再求的定义域
的定义域是，故应选A

变式训练：
已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.
分析：先求2x的值域为M则log2x的值域也是M，再根据log2x的值域求定义域。
解 ∵y=f(2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴≤2x≤2.
∴函数y=f(log2x)中≤log2x≤2.即log2≤log2x≤log24,∴≤x≤4.
故函数f(log2x)的定义域为［，4］
例4　若的定义域为，求的定义域．
分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．
　　解：由的定义域为，则必有解得．
所以函数的定义域为．
变式训练：
已知函数的定义域是，求的定义域。
分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。
解：由已知，有
，即
函数的定义域由确定

函数的定义域是
例5 若函数f(x+1)的定义域为[－，2]，求f(x2)的定义域．
分析：已知f(x+1)的定义域为[－，2]，x满足－≤x≤2，于是＜x＋1＜3，得到f(x)的定义域，然后f(x2)的定义域由f(x)的定义域可得．
解：先求f(x)的定义域：
由题意知－≤x≤2，则＜x＋1＜3，即f(x)的定义域为[，3]，
再求f[h(x)] 的定义域：
∴ ＜x2＜3，解得－＜x＜－或＜x＜．
∴f(x2)的定义域是{x|－＜x＜－或＜x＜}．

的定义域由f(x)的定义域可得．
解：先求f(x)的定义域：
由题意知－≤x≤2，则＜x＋1＜3，即f(x)的定义域为[，3]，
再求f[h(x)] 的定义域：
∴ ＜x2＜3，解得－＜x＜－或＜x＜．
∴f(x2)的定义域是{x|－＜x＜－或＜x＜}．

求函数值域常用的方法

1、直接法——从自变量x的范围出发，推出y＝f(x)的取值范围；
2、二次函数法(配方法)——配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
3、分离常数法——形如的函数，求出y的取值范围；
4、换元法——形如的函数 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域，要注意换元后自变量的取值范围。
5、反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 点拨：先求出原函数的反函数再求出其定义域。
6、判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f(x，y)＝0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。
7、不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2 (a、b∈R＋)，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用条件：“一正、二定、三相等”。
8、单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。

类型一：一次分式型

1.y= (a0)型
例１　求函数y=的值域。
解法一：分离常数法。将y=转化为y=（k1,k2为常数），则yk1
解：∵y==，
    ∴y。
解法二：反函数法。通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
解：反解y=得x=，
    对调 y= (x)，
        ∴函数y= 的值域为y。

类型二：二次分式型

１.y= (a、d不同时为0)，x∈R型
用判别式法：先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式≥0（=f(y)）,即可求出值域。
例2　求函数y=的值域。
解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。
当y＝0时，x＝0，当y≠0时，由△≥0得-≤y≤。
∵函数定义域为R，
∴函数y＝的值域为[-，]  。
说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。
2.y= (a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型。
    例５　求（x<）的值域。
     分析：因为x<，所以若用判别式法，可能会放大其值域。可以考虑使用均值定理解题。
     解：∵x< ，  ∴5-4x>0,>0。
         ∴=1-4x+
=[(5-4x)+ ]-4
≥2-4
=-2，
         ∴原函数的值域为。
例６　求的值域。
    错解：=≥2。
    分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中和不能相等，“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。
    解：用单调性法
=，
令=t，显然t≥2，则y=t+ (t≥2)，
任取2≤t1≤t2,则f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，
f(t1)- f(t2)=( t1+)-( t2+)=( t1- t2)( 1-)，
∵2≤t1≤t2   ∴t1- t2<0, t1· t2≥4, 1->0，
∴f(t1)- f(t2)=( t1- t2)( 1-)<0  。
∴f(t1)< f(t2)，即函数y=t+ 在t≥2上单调递增。
∴当t=2、即=2、x=0时，ymin=，
∴原函数的值域为。

三．解析式的求法
1. 配凑法
例1.已知 ：，求f(x)；
解因为

例2、已知：，求。
解：
∴
2.换元法
例1.已知：，求f(x);
解令
则
所以
例2、已知：，求。
解：设，则，，代入已知得

∴
注意：使用换元法要注意的范围限制，这是一个极易忽略的地方。
3待定系数法
例1.已知：f(x) 是二次函数，且f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求f(x)。
解（1）设
∵
∴ 解理
∴
4.赋值（式）法
例1、已知函数对于一切实数都有成立，且。
(1)求的值；
(2)求的解析式。
解：（1） 取，则有

（2）取，则有.
整理得：
5、方程法
例1、已知：，求。
解：已知：①
用去代换①中的得 : ②
由①×2－②得：.

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