含绝对值不等式.doc

含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题例。若不等式|4|+|3|0时，先求不等式|4|+|3|有解时的取值范围。令4=0得=4，令3=0得=3 当4时，原不等式化为4+3，即271 当34时，原不等式化为4+31 当3时，原不等式化为4+3即721综合可知，当1时，原不等式有解，从而当01时，|4|+|3|4|+|3|4+3|=1当1时，|4|+|3|恒成立，求的取值范围。思维点拨：要使|+1|2|对任意实数恒成立，只要|+1|2|的最小值大于。因|+1|的几何意义为数轴上点到1的距离，|2|的几何意义为数轴上点到2的距离，|+1|2|的几何意义为数轴上点到1与2的距离的差，其最小值可求。此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围。解法一 根据绝对值的几何意义，设数，1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|PB|成立|AB|=3，即|+1|2|3故当恒成立，从图象中可以看出，只要3即可。故a恒成立，求实数a的取值范围。分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)0, 即时取等号。故a0,不等式|x-4|+|x-3|a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围分析（一）|x-4|+|x-3|x-4(x-3)|=1 当|x-4|+|x-3|1（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|PA|+|PB|1 恒有y1数按题意只须a1 A B P 0 3 4 x（三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象由f(x)1 y 3 2 1 0 3 4 x（四）考虑|z-4|+|z-3|1时，表示复平面上以3、4为焦点，长轴长为a的椭圆内部，当z为实数时，a1原不等式有解a1即为所求（五） 可利用零点分段法讨论.将数轴可分为(-，3)，3，4，(4，+)三个区间.当x3时，得(4-x)+(3-x).有解条件为1当3x4时得(4-x)+(x-3)1当x4时，得(x-4)+(x-3)ax4 即a1以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a1.变题：1、若不等式|x-4|+|x-3|a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围2、若不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范围评注：1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。4、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法设0a,若满足不等式的 一切实数x，亦满足不等式求正实数b的取值范围。简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化: 设集合A， B= 由题设知AB，则： () 于是得不等式组： 又 ，最小值为； 最小值为； , 即 ：b的取值范围是