含绝对值不等式.doc

含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题
例。若不等式|－4|+|3－|<的解集为空集，求的取值范围。
［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|≤||+||，便把问题简化。
［解题］解法一 (1)当≤0时，不等式的解集是空集。
(2)当>0时，先求不等式|－4|+|3－|<有解时的取值范围。
令－4=0得=4，令3－=0得=3
① 当≥4时，原不等式化为－4+－3<，即2－7<
解不等式组，∴>1
② 当3<<4时，原不等式化为4－+－3<得>1
③ 当≤3时，原不等式化为4－+3－<即7－2<
解不等式，∴>1
综合①②③可知，当>1时，原不等式有解，从而当0<≤1时，原不等式解集为空集。
由(1)(2)知所求取值范围是≤1
解法二由|－4|+|3－|的最小值为1得当>1时，|－4|+|3－|<有解
从而当≤1时，原不等式解集为空集。
解法三： ∵>|－4|+|3－|≥|－4+3－|=1
∴当>1时，|－4|+|3－|<有解
从而当≤1时，原不等式解集为空集。
［收获］1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。
2）有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。
有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。
有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。
有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。
请你试一试
1．对任意实数，若不等式|+1|－|－2|>恒成立，求的取值范围。
思维点拨：要使|+1|－|－2|>对任意实数恒成立，只要|+1|－|－2|的最小值大于。因|+1|的几何意义为数轴上点到－1的距离，|－2|的几何意义为数轴上点到2的距离，|+1|－|－2|的几何意义为数轴上点到－1与2的距离的差，其最小值可求。
此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围。
解法一 根据绝对值的几何意义，设数，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|－|PB|>成立
∵|AB|=3，即|+1|－|－2|≥－3
故当<－3时，原不等式恒成立
解法二 令=|+1|－|－2|，则
要使|+1|－|－2|>恒成立，从图象中可以看出，只要<－3即可。
故<－3满足题意。

O
-3
3

2．对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a的取值范围。
分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。
解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2||(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)0, 即
时取等号。故a<3
说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……）
3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|<a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围
分析（一）|x-4|+|x-3||x-4—(x-3)|=1
当|x-4|+|x-3|<a在实数R上非空时，a须大于|x-4|+|x-3|的最小值，即a>1
（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：
y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|
|PA|+|PB|1 恒有y1
数按题意只须a>1 A B P
0 3 4 x
（三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象
由f(x)<g(x)=a有解得a>1
y
3
2
1
0 3 4 x
（四）考虑|z-4|+|z-3|<a(zc)的几何意义
当a>1时，表示复平面上以3、4为焦点，长轴长为a的椭圆内部，当z为实数时，a>1原不等式有解a>1即为所求
（五） 可利用零点分段法讨论.
将数轴可分为(-∞，3)，［3，4］，(4，+∞)三个区间.
当x<3时，得(4-x)+(3-x)<ax>.
有解条件为<3 即a>1
当3≤x≤4时得(4-x)+(x-3)<a 即a>1
当x>4时，得(x-4)+(x-3)<ax<
有解条件为>4 即a>1
以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1.
变题：
1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围
2、若不等式|x-4|-|x-3|<a的解集在R上不是空集，求a的取值范围
3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立，求a的取值范围
评注：
1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。
4、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法
设0<a,若满足不等式的 一切实数x，亦满足不等式
求正实数b的取值范围。
简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化:
设集合A＝，
B=
由题设知AB，则：

()
于是得不等式组：

又 ，最小值为；
最小值为；
∴ ,
即 ：b的取值范围是