含绝对值不等式的解法.doc

(完整word)含绝对值不等式的解法

学科：数学
教学内容：含绝对值不等式的解法

【自学导引】

1．绝对值的意义是：.
2．｜x｜＜a（a＞0)的解集是{x｜－a＜x＜a｝．
|x|＞a(a＞0）的解集是{x｜x＜－a或x＞a｝．

【思考导学】
1．｜ax＋b|＜b（b＞0)转化成－b＜ax＋b＜b的根据是什么？
答：含绝对值的不等式｜ax＋b｜＜b转化－b＜ax＋b＜b的根据是由绝对值的意义确定．
2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么?
答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同．

【典例剖析】
[例1］解不等式2＜｜2x－5|≤7．
解法一：原不等式等价于
∴即
∴原不等式的解集为{x｜－1≤x＜或＜x≤6｝
解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集
（Ⅰ）
(Ⅱ)
不等式组（Ⅰ）的解集为｛x|＜x≤6｝
不等式组（Ⅱ)的解集是｛x|－1≤x＜｝
∴原不等式的解集是{x｜－1≤x＜或＜x≤6}
解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．
(Ⅰ）2＜2x－5≤7
（Ⅱ）2＜5－2x≤7
不等式(Ⅰ）的解集为｛x｜＜x≤6}
不等式(Ⅱ)的解集是{x｜－1≤x＜｝
∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝．
点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转
化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三．
[例2]解关于x的不等式：
（1)|2x＋3｜－1＜a(a∈R）;
（2）｜2x＋1｜＞x＋1．
解：(1）原不等式可化为｜2x＋3｜＜a＋1
当a＋1＞0，即a＞－1时，由原不等式得－(a＋1）＜2x＋3＜a＋1
－＜x＜
当a＋1≤0，即a≤－1时，原不等式的解集为,
综上,当a＞－1时,原不等式的解集是{x|－＜x＜
当a≤－1时，原不等式的解集是．
(2)原不等式可化为下面两个不等式组来解
(Ⅰ）或（Ⅱ)
不等式组（Ⅰ)的解为x＞0
不等式组(Ⅱ）的解为x＜－
∴原不等式的解集为{x｜x＜－或x＞0｝
点评：由于无论x取何值，关于x的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f（x）|＜a(a≤0）的解集为．
解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如(1）对变量分类，解集必须合并如（2）．
[例3］解不等式|x－|2x＋1|｜＞1．
解：∵由｜x－|2x＋1｜｜＞1等价于（x－|2x＋1｜）＞1或x－｜2x＋1|＜－1
（1）由x－|2x＋1｜＞1得｜2x＋1|＜x－1
∴
即均无解
(2）由x－|2x＋1|＜－1得｜2x＋1|＞x＋1
∴或
即，∴x＞0或x＜－
综上讨论，原不等式的解集为{x|x＜－或x＞0｝．
点评:这是含多重绝对值符号的不等式，可以从“外"向“里”,反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．

【随堂训练】
1．不等式|8－3x|＞0的解集是( ）
A．
B．R
C．{x|x≠，x∈R｝
D．｛}
答案: C
2．下列不等式中，解集为R的是（ )
A．｜x＋2｜＞1
B．｜x＋2｜＋1＞1
C．（x－78）2＞－1
D．（x＋78）2－1＞0
答案： C
3．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )
A．｛x｜－2＜x＜2
B．｛x｜0＜x≤2
C．｛x｜－2≤x≤2｝
D．｛x|x≥2或x≤－2｝
解析: 所求点的集合即不等式｜x｜≤2的解集．
答案： C
4．不等式｜1－2x｜＜3的解集是（ )
A．｛x｜x＜1
B．｛x｜－1＜x＜2
C．｛x｜x＞2｝
D．｛x|x＜－1或x＞2｝
解析: 由｜1－2x｜＜3得－3＜2x－1＜3，∴－1＜x＜2
答案： B
5．不等式｜x＋4｜＞9的解集是__________．
解析： 由原不等式得x＋4＞9或x＋4＜－9,∴x＞5或x＜－13
答案： ｛x|x＞5或x＜－13
6．当a＞0时，关于x的不等式｜b－ax|＜a的解集是________．
解析： 由原不等式得｜ax－b｜＜a,∴－a＜ax－b＜a
∴－1＜x＜＋1
∴{x|－1＜x＜＋1
答案： ｛x|－1＜x＜＋1}

【强化训练】
1．不等式｜x＋a｜＜1的解集是( )
A．{x｜－1＋a＜x＜1＋a
B．｛x｜－1－a＜x＜1－a
C．｛x｜－1－｜a｜＜x＜1－｜a|
D．｛x｜x＜－1－｜a|或x＞1－｜a｜}
解析： 由｜x＋a|＜1得－1＜x＋a＜1
∴－1－a＜x＜1－a
答案： B
2．不等式1≤｜x－3｜≤6的解集是（ )
A．｛x｜－3≤x≤2或4≤x≤9}
B．｛x｜－3≤x≤9｝
C．｛x｜－1≤x≤2｝
D．｛x｜4≤x≤9}
解析： 不等式等价于或
解得：4≤x≤9或－3≤x≤2．
答案： A
3．下列不等式中，解集为｛x｜x＜1或x＞3}的不等式是( )
A．|x－2｜＞5
B．｜2x－4｜＞3
C．1－｜－1｜≤
D．1－｜－1|＜
解析: A中，由｜x－2|＞5得x－2＞5或x－2＜－5
∴x＞7或x＜－3
同理，B的解集为{x｜x＞或x＜－1｝
C的解集为｛x|x≤1或x≥3｝
D的解集为｛x｜x＜1或x＞3｝
答案: D
4．已知集合A＝{x|｜x－1｜＜2}，B＝｛x｜|x－1｜＞1｝,则A∩B等于（ )
A．｛x｜－1＜x＜3｝
B．{x|x＜0或x＞3｝
C．{x｜－1＜x＜0}
D．{x｜－1＜x＜0或2＜x＜3｝
解析： |x－1|＜2的解为－1＜x＜3，|x－1｜＞1的解为x＜0或x＞2．
∴A∩B＝{x｜－1＜x＜0或2＜x＜3｝．
答案： D
5．已知不等式｜x－2|＜a（a＞0)的解集是｛x|－1＜x＜b}，则a＋2b＝ ．
解析： 不等式｜x－2|＜a的解集为｛x｜2－a＜x＜2＋a｝
由题意知：｛x｜2－a＜x＜2＋a}＝{x｜－1＜x＜b｝
∴
∴a＋2b＝3＋2×5＝13
答案: 13
6．不等式|x＋2|＞x＋2的解集是______．
解析： ∵当x＋2≥0时，|x＋2|＝x＋2，x＋2＞x＋2无解．
当x＋2＜0时，|x＋2｜＝－（x＋2)＞0＞x＋2
∴当x＜－2时，｜x＋2｜＞x＋2
答案: ｛x｜x＜－2}
7．解下列不等式：
(1)｜2－3x｜≤2；(2)｜3x－2｜＞2．
解：(1）由原不等式得－2≤2－3x≤2,各加上－2得－4≤－3x≤0，各除以－3得≥x≥0,解集为｛x｜0≤x≤｝．
（2)由原不等式得3x－2＜－2或3x－2＞2，解得x＜0或x＞，故解集为{x|x＜0或x＞}．
8．解下列不等式：(1）3≤|x－2｜＜9；（2)｜3x－4|＞1＋2x．
解：(1）原不等式等价于不等式组

由①得x≤－1或x≥5；
由②得－7＜x＜11,把①、②的解表示在数轴上(如图)，
∴原不等式的解集为｛x｜－7＜x≤－1或5≤x＜11｝．
(2)原不等式等价于下面两个不等式组，即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：
① ②
由不等式组①解得x＞5；由不等式组②解得x＜．
∴原不等式的解集为{x|x＜或x＞5｝．
9．设A＝｛x｜｜2x－1｜≤3｝，B＝｛x｜｜x＋2｜＜1｝,求集合M，使其同时满足下列三个条件：
(1）M［(A∪B)∩Z］；
（2）M中有三个元素；
（3)M∩B≠
解：∵A＝｛x｜|2x－1｜≤3｝＝｛x｜－1≤x≤2}
B＝{x｜|x＋2｜＜1}＝｛x｜－3＜x＜－1｝
∴M[（A∪B)∩Z］＝｛x｜－1≤x≤2}∪｛x｜－3＜x＜－1｝∩Z＝{x｜－3＜x≤2｝∩Z＝｛－2，－1，0，1，2｝
又∵M∩B≠，∴－2∈M．
又∵M中有三个元素
∴同时满足三个条件的M为：
｛－2，－1,0｝，｛－2，－1,1}，｛－2,－1，2｝,｛－2，0,1｝，｛－2，0,2｝，｛－2，1，2｝．

【学后反思】
解绝对值不等式，关键在于“转化”．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组）．
｜x｜＜a与｜x|＞a（a＞0）型的不等式的解法及利用数轴表示其解集．
不等式|x｜＜a(a＞0）的解集是｛x|－a＜x＜a｝．其解集在数轴上表示为（见图1-7)：

不等式｜x｜＞a（a＞0）的解集是｛x｜x＞a或x＜－a｝，其解集在数轴上表示为(见图1-8):
把不等式｜x｜＜a与｜x｜＞a(a＞0）中的x替换成ax＋b,就可以得到｜ax＋b｜＜b与｜ax＋b｜＞b(b＞0）型的不等式的解法．