不等式和绝对值不等式.doc

高中·新课标A版·数学·选修4-5

单元测评(一)　不等式和绝对值不等式
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．若＜＜0，则下列结论不正确的是(　　)
A．a2＜b2　　　　　　 B．ab＜b2
C.＋＞2 D．|a|－|b|＝|a－b|
解析：方法一(特殊值法)：令a＝－1，b＝－2，代入A、B、C、D，知D不正确．
方法二：由＜＜0，得b＜a＜0，
所以b2＞ab，ab＞a2，故A、B正确．
又由＞1，＞0，且≠，即＋＞2正确，C正确．对于D，由b＜a＜0⇒|a|＜|b|，即|a|－|b|＜0，而|a－b|≥0，故D错．
答案：D
2．“|x|≤2”是“|x＋1|＜1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：|x＋1|＜1⇒－1＜x＋1＜1⇒－2＜x＜0⇒|x|＜2⇒|x|≤2.反之不成立，故选B.
答案：B
3．设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．b－a＞0 B．a2＋b2＜0
C．b＋a＞0 D．a2－b2＜0
解析：由a－|b|＞0知a＞|b|≥－b，于是a＋b＞0，故选C.
答案：C
4．若c＞1，且a＝－，b＝－，则(　　)
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．不能确定
解析：a＝－＝，
b＝－＝.
∵＋＞＋＞0，∴a＜b.
答案：C
5．函数y＝log2(x＞1)的最小值为(　　)
A．－3 B．3
C．4 D．－4
解析：x＞1⇒x－1＞0，y＝log2＝
log2≥log2(2＋6)＝log28＝3.
答案：B
6．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，若P＝，Q＝，则P与Q的大小关系是(　　)
A．P＞Q B．P＜Q
C．P＝Q D．无法确定
解析：由等比知识，得Q＝＝，而P＝，且a3＞0，a9＞0，a3≠a9.
从而＞，即P＞Q.
答案：A
7．函数y＝x2＋(x＞0)的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：y＝x2＋＝x2＋＋≥3 ＝3 ＝，当x2＝，即x＝时，取等号．
答案：A
8．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a等于(　　)
A．8 B．2
C．－4 D．－8
解析：由|ax＋2|＜6⇒－8＜ax＜4.
当a＞0时，－＜x＜.
∵解集是(－1,2)，∴解得两值矛盾．
当a＜0时，＜x＜－.由⇒a＝－4.
答案：C
9．当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：f(x)＝＝
＝4tanx＋≥4，
这里tanx＞0，且当tanx＝时取等号，故选C.
答案：C
10．下列四个命题：
①若a＞b，c＞1，则algc＞blgc；②若a＞b，c＞0，则algc＞blgc；③若a＞b，则a·2c＞b·2c；④若a＜b＜0，c＞0，则＞.
其中正确命题的个数为(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①正确，c＞1，lgc＞0；②不正确；当0＜c＜1时，lgc＜0；③正确，2c＞0；④正确，a＜b＜0⇒0＞＞.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．不等式|x|＞的解集为__________．
解析：方法一：当x＜1时，＜0，不等式成立．
当x＞1时，原不等式化为x＞，
即x－＞0，＞0，＞0，
解得－1＜x＜1，或x＞2.
故原不等式的解集为{x|x＜1，或x＞2}．
方法二：|x|＞⇒或解得x＜1，或x＞2.
答案：{x|x＜1，或x＞2}
12．若不等式|x－3|＋|x＋1|＞a恒成立，则a的取值范围为__________．
解析：|x－3|＋|x＋1|＝|3－x|＋|x＋1|≥|3－x＋x＋1|＝4，当且仅当(3－x)(x＋1)≥0，即－1≤x≤3时取“＝”，
∴a＜4.
答案：(－∞，4)
13．已知不等式|x－3|＜(x＋a)的解集为A，且A≠∅，则a的取值范围是__________．
解析：∵A≠∅，∴|x－3|＜(x＋a)⇒－(x＋a)＜x－3＜(x＋a)⇒＜x＜6＋a.从而＜6＋a，解得a＞－3.
答案：(－3，＋∞)
14．已知α、β是实数，给出下列四个论断：
①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α－β|≤|α＋β|；③|α|＞2，|β|＞2；④|α＋β|＞5.
以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________．
解析：∵①③成立时，|α＋β|＝|α|＋|β|＞4＞5，
∴④成立．
又由①，知αβ＞0，于是|α－β|≤|α＋β|成立，即②成立．
同理②③⇒①④.
答案：①③⇒②④或②③⇒①④(写一个即可)
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)解不等式|x2－3x－4|＞x＋2.
解：方法一(分类讨论求解)：
①当x＋2＜0时，不等式显然成立．
从而x＜－2是不等式的解．
②当x＋2＝0，即x＝－2时，|(－2)2－3(－2)－4|＝6＞0，
得x＝－2是不等式的解．
③当x＋2＞0即x＞－2时，
|x2－3x－4|＞x＋2⇔x2－3x－4＞x＋2或x2－3x－4＜－(x＋2)⇔x2－4x－6＞0或x2－2x－2＜0⇔x＜2－或x＞2＋或1－＜x＜1＋.
故－2＜x＜2－，或x＞2＋或1－＜x＜1＋.(10分)
综合①②③知，原不等式的解集为(－∞，2－)∪(1－，1＋)∪(2＋，＋∞)．(12分)
方法二(化归为|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式求解)：
原不等式等价于x2－3x－4＞x＋2或x2－3x－4＜－(x＋2)⇔x2－4x－6＞0或x2－2x－2＜0⇔x∈(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)∪(1－，1＋)．(12分)
16．(12分)已知a＞0，b＞0，a＋b＝3.
求证： ＋ ≤3.
证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝3，
＝ ≤＝＋，
＝ ≤＝＋，
从而 ＋ ≤＋＋(a＋b)＝3.
(12分)
17．(12分)设关于x的不等式lg(|x＋3|＋|x－7|)＞a.
(1)当a＝1时，解这个不等式；
(2)当a为何值时，这个不等式的解集为R.
解：(1)当a＝1时，原不等式变为|x＋3|＋|x－7|＞10，其解集为{x|x＜－3或x＞7}．(4分)
(2)∵|x＋3|＋|x－7|≥|x＋3－(x－7)|＝10对任意x∈R都成立，∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥lg10＝1对任何x∈R都成立，即lg(|x＋3|＋|x－7|)＞a，当且仅当a＜1时，对任何x∈R都成立．(12分)
18．(14分)围建一个面积为360 m2的矩形场地、要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口：已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m，

则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a
＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝，
∴y＝225x＋－360(x＞0)．(7分)
(2)∵x＞0，
∴225x＋≥2＝10 800.当且仅当225x＝，即x＝24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用为10 800－360＝10 440元．(14分)

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