资源描述
18.1 勾股定理（四）
教学时间 第四课时
三维目标
一、知识与技能
1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
二、过程与方法
1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．
2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的动手操作能力和创新精神．
3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．
三、情感态度与价值观
1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．
教学重点
在数轴上寻找表示，，，，……这样的表示无理数的点．
教学难点 利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．
教具准备 多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
【例1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？
【例2】如右图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，已知物体A到平面镜的距离为6米，向B点到物体A的像A′的距离是多少？
【例3】在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？
设计意图：
让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．
师生行为：
先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生是否自主完成上面三个例题；
②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中的方程的思想．
师生共析：
例1：分析：根据题意，可以画出右图，A点表示男孩头顶的位置，C、B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．
解：根据题意，得Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5 000米，AC=4 800米．由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．即5 0002=BC2+4 8002，所以BC=1 400米．
飞机飞行1 400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1 400×6×60=50 400米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时．
评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．
例2：分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．
解：如例2图，由题意知△ABA′是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：
AA′=2×6=12米，AB=5米；
在Rt△A′AB中，A′B2=AA′2+AB2=122+52=169=132米．
所以A′B=13米，即B点到物体A的像A′的距离为13米．
评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．
例3：分析：在此问题中，要注意水草的长度与水深的关系，还要注意水草站立时和吹到一边，它的长度是不变的．
解：根据题意，得到右图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD．
所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，
AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5，所以这里的水深为4.5分米．
评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．
二、讲授新课
活动2
问题：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出的点吗？的点呢？
设计意图：
上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点，而对于象，，……这样的无理数的数点却找不到，学习了勾股定理后，我们把，，……可以当直角三角形的斜边，只要找到长为，的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用．
师生行为：
学生小组交流讨论
教师可指导学生寻找象，，……这样的包含在直角三角形中的线段．
此活动，教师应重点关注：
①学生能否找到含长为，这样的线段所在的直角三角形；
②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；
③学生能否积极主动地交流合作．
师：由于在数轴上表示的点到原点的距离为，所以只需画出长为的线段即可．
我们不妨先来画出长为的线段．
生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边．
师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？
生：设c=，两直角边为a，b，根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a2=4，b2=9，则a=2，b=3．所以长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．
师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点．
生：步骤如下：
1．在数轴上找到点A，使OA=3；
2．作直线L垂直于OA，在L上取一点B，使AB=2；
3．以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点．
活动3
练习：在数轴上作出表示的点．
设计意图：
进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用．
师生行为：
由学生独立思考完成，教师巡视．
此活动中，教师应重点关注：
①学生能否积极主动地思考问题；
②能否找到斜边为，另外两个角直边为整数的直角三角形．
生：是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点如右图：
三、巩固提高
活动4
问题：（1）根据勾股定理，还可以作出长为无理数线段，你能做出哪些长为无理数的线段呢？
（2）欣赏下图，你会得到什么启示？
设计意图：
进一步熟悉直角三角形的三边关系，让学生在学习的过程中欣赏和创造美．
师生行为：
学生分组活动，交流讨论．
教师参与于学生的小组活动中去．
本活动教师应重点关注：
①能否将无理数转化为某个直角三角形的斜边长．
②能否积极参与，欣赏数学美．
生：在上述方程找到了长度为，、、、，……的线段，因此在数轴上便可以表示出来，．教学时可以先画出，，……之后，再画，画法不唯一，如下图：
四、课时小结
活动5
问题：你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应．
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，从而使小结活动不流于形式而具有实效性，为学生提供了更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．
小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化又要从能力、情态态度等方面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：
学生小组内交流、反思．
教师巡视指导．
在活动5中教师应重点关注：
①不同层次学生对本节知识的认知程度；
②学生独立面对困难，克服困难的能力．
板书设计
18．1 勾股定理（四）
1．在数轴上画出表示的点，分以下四步完成；
（1）将在数轴上画出表示的点的问题转化为画出长为的线段的问题。
（2）由长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，联想到长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边．
（3）通过尝试发现，长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．
（4）画出长为的线段，从而在数轴上画出表示的点．
活动与探究
河海滨馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设红地毯，主楼梯宽4米，购货员在市场中选中一种宽度合适的地毯，每平方米50元，帮他计算一下，购买铺这段楼梯的地毯，大约需多少钱？
过程：此题看似是在一个直角三角形中求斜边，其实不然，由于楼梯的水平方向和竖直方向都需要铺，所以水平方向长度和即为6.4m，竖直方向长度和即为4.8m．
结果：地毯共需：4.8+6.4=11.2（m）．
面积为11.2×4=44.8（m2）．
44.8×50=2 400（元）．
所以购买地毯共需2 440元．
习题详解
习题18．1
1．AC==17．
2．解：设旗杆折断之前有xm，根据勾股定理，得
（x-6）2=62+82，
（x-6）2=100．
因为x-6>0，所以x-6=10，
∴x=16．
所以旗杆折断之前的高度为16m．
3．解：根据勾股定理，得
AB==2.5，
即AB的长为2.5cm．
4．解：AC=40-21=19cm，BC=60-21=39（cm）．
根据勾股定理，得
AB=≈43.4（mm）．
即两孔中心距离为43.4mm．
5．解：根据勾股定理，得
=2（m）．
所以地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离是2m．
6．解：根据勾股定理可知：两直角边的长分别为4，2时，斜边的长为，如下图所示：
7．解：（1）∠A=30°，AB=10，所以BC=5，因为∠C=90°，根据勾股定理，得
AC==5≈8.66．
（2）∠A=45°，所以△ABC为等腰直角三角形，即BC=AC．
根据勾股定理，得2BC2=2AC2=100，
所以BC=AC=5≈7.07．
8．解：在△ABC中，∠C=90°．
（1）△ABC的面积=×2.1×2.8=2.94（cm2）；
（2）根据勾股定理：AB==3.5（cm）；
（3）因为CD×AB=AC×BC，
所以CD==1.68（cm）．
即高CD为1.68cm．
9．解：根据题意，得
L=≈82（mm）．
10．解：设水的深度为x尺，这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据题意，设：
（x+1）2=x2+（10÷2）2．
解这个方程得x=12．
x+1=13．
所以水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺．
11．解；以AB为直径的半圆的面积为××（）2=AB2；以BC为直径的半圆的面积为××（）2=BC2；
以AC为直径的半圆的面积为×（）2=AC2．
因为∠C=90°，所以AB2=BC2+AC2
AB2=BC2+AC2
即以直角三角形斜边为直径的半圆的面积等于两直角边为直径的半圆的面积和．
12．解：阴影部分的面积=以AC为直径的半圆的面积+以BC为直径的半圆的面积+Rt△ABC的面积-以AB为直径的半圆的面积，根据11题的结论可知：
阴影部分的面积=Rt△ABC的面积=20cm2．
13．解：根据题意，可知：OB=1.6÷2=0.8m，OA=2÷2=1m，
在Rt△OAB中，AB==0.6（m），
1-0.6=0.4≥0. 2，
所以这辆卡车能通过厂门．
备课资料
参考例题
【例1】如右图所示，△ABC中，AB=15cm，AC=24cm，∠A=60°，求BC的长．
分析：△ABC是一般三角形，若要求出BC的长，只能将BC置于一个直角三角形中．
解：过点C作CD⊥AB于点D．
在Rt△ACD中，∠A=60°，
∠ACD=90°-60°=30°，
AD=AC=12（cm）．
CD2=AC2-AD2=242-122=432，
DB=AB-AD=15-12=3．
在Rt△BCD中，
BC2=DB2+CD2=32+432=441，
BC=21cm．
评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解．
【例2】如右图，A、B两点都与平面镜相距6米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点，求B点到入射点的距离．
分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识．
解：作出B点关于CD的对称点B′，连结AB′，交CD于点O，则O点就是光的入射点．
因为B′D=DB．
所以B′D=AC．
∠B′DO=∠OCA=90°，∠B′=∠CAO
所以△B′DO≌△ACO（SSS）
则OC=OD=AB=×6=3米．
连结OB，在Rt△ODB中，
OD2+BD2=OB2．
所以OB2=32+42=52，
即OB=5（米）．
所以点B到入射点的距离为5米．
评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础．
【例3】如下图，一艘船在A处要到达灯塔C处，可由于A、C之间有一座小岛，船就先向北行驶400海里，再向东行驶300海里便可到达C处，请你计算A与C之间的直线距离有多远？
分析：由方位可知，正北方向与正东方向的夹角为90°，因此，由题意可画出一个直角△ABC，∠B=90°，如上图所示，AB=400，BC=300，可由勾股定理求AC的长．
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理，得
AB2+BC2=AC2．
∴4002+3002=AC2，
∴AC2=250 000．
∴AC=500（海里）．
所以A、C之间的直线距离为500海里．
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