陕西省靖边四中九年级数学下册 28.2 与圆有关的位置关系（第4课时）教案 华东师大版.doc

28.2 与圆有关的位置关系(第4课时)

教学内容
1．两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两个圆相交等概念．
2．设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．
外离d>r1+r2
外切d=r1+r2
相交│r1-r2│<d<r1+r2
内切d=│r1-r2│
内含0≤d<│r1-r2│（其中d=0，两圆同心）
教学目标
了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两圆相交、圆心距等概念．
理解两圆的互解关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．
通知复习直线和圆的位置关系和结合操作几何，迁移到圆与圆之间的五种关系并运用它们解决一些具体的题目．
重难点、关键
1．重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．
2．难点与关键：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．
教学过程
一、复习引入
请同学们独立完成下题．
在你的随堂练习本上，画出直线L和圆的三种位置关系，并写出等价关系．
老师点评：直线L和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，如图（a）～（c）所示．（其中d表示圆心到直线L的距离，r是⊙O的半径）

(a) 相交 d<r (b) 相切 d=r (3) 相离 d>r
二、探索新知
请每位同学完成下面一段话的操作几何，四人一组讨论你能得到什么结论．
（1）在一张透明纸上作一个⊙O1，再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2，把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系？
（2）设两圆的半径分别为r1和r2（r1<r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，你又能得到什么结论？
老师用两圆在黑板上运动并点评：
可以发现，可以会出现以下五种情况：

（1）图（a）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离；
（2）图（b）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．
（3）图（c）中，两个圆有两个公共点，那么就说两个圆相交．
（4）图（d）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．为了区分（e）和（d）图，把（b）图叫做外切，把（d）图叫做内切．
（5）图（e）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，为了区分图（e）和图（e），把图（a）叫做外离，把图（e）叫做内含．
图（f）是（e）甲的一种特殊情况──圆心相同，我们把它称为同心圆．
问题（分组讨论）如果两圆的半径分别为r1和r2（r1<r2），圆心距（两圆圆心的距离为d，请你们结合直线和圆位置关系中的等价关系和刚才五种情况的讨论，填完下列空格：
两圆的位置关系 d与r1和r2之间的关系
外离
外切
相交
内切
内含
老师分析点评：外离没有交点，因此d>r1+r2；
外切只有一个交点，结合图（a），也很明显d=r1+r2；
相交有两个交点，如图两圆相交于A、B两点，连接O1A和O2A，很明显r2-r1<d<r1+r2；内切是内含加相切，因此d=r2-r1；内含是0≤d<r2-r1（其中d=0，两圆同心）反之，同样成立，因此，我们就有一组等价关系（老师填完表格）．
例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

（1） (2)
分析：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．
解：∵PO=OO′=PO′
∴△PO′O是一个等边三角形
∴∠OPO′=60°
又∵TP与NP分别为两圆的切线，
∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°
∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°
例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，
求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？

(1) (2)
（2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．
分析：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA；（2）作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA-rO．
解：如图2所示，（1）作法：以A为圆心，rA=15-7=8为半径作圆，则⊙A的半径为8cm
（2）作法：以A点为圆心，rA′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm

三、巩固练习
教材P109 练习．
四、应用拓展
例3．如图1所示，半径不等的⊙O1、⊙O2外离，线段O1O2分别交⊙O1、⊙O2于点A、B，MN为两圆的内公切线，分别切⊙O1、⊙O2于点M、N，连结MA、NB．
（1）试判断∠AMN与∠BNM的数量关系？并证明你的结论．
（2）若将“MN”为两圆的内公切线改为“MN为两圆的外公切线”，其余条件不变，∠AMN与∠BNM是否一定满足某种等量关系？完成下图并写出你的结论．

(1) (2)
分析：（1）要说明∠AMN与∠BNM的数量关系，只要说明∠MAB和∠NBA的数量关系，只要说明∠O2BN和∠O1AM的数量关系，又因为∠O2BN=∠O1NB，∠O1MA=∠O1AM，因此，只要连结O1M，O2N，再说明∠MO1A=∠NO2B，这两个角相等是显然的．
（2）画出图形，从上题的解答我们可以得到一个思路，连结O1M、O2N，则∠O1MN+∠O2NM=180°，∴∠MO1A+∠NO2B=180°，∴∠O2NB+∠O1MA=90°，∴∠AMN+∠BNM=90°．
解：（1）∠AMN=∠BNM
证明：连结O1M、O2N，如图2所示
∵MN为两圆的内公切线，
∴O1M⊥MN，O2N⊥MN
∴O1M∥O2N
∴∠MO1A=∠NO2B
∵O1M=O1A，O2N=O2B
∴∠O1MA=∠O2NB
∴∠AMN=∠BNM
（2）∵∠AMN+∠BNM=90°
证明：连结O1M、O2N
∵MN为两圆的外公切线．
∴O1M⊥MN，O2N⊥MN
∴O1M∥O2N
∴∠MO1A+∠NO2B=180°
∵O1M=O1A，O2N=O2B
∴∠O1MA+∠O2NB=×180°=90°
∴∠AMN+∠BNM=180°-90°=90°
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆和圆位置关系的概念：两个圆相离（外离、内含），相切（外切、内切），相交．
2．设两圆的半径为r1，r2，圆心距为d（r1<r2）
则有：外离d>r1+r2
外切d=r1+r2
相交r2-r1<d<r1+r2
内切d=r2-r1
内含0≤d<r2-r1（当d=0时，两圆同心）