八年级数学第十四章一次函数与二元一次方程1课教案全国通用.DOC

《一次函数与二元一次方程（组）》教学案
单位： 城南中学 年级： 八年级 设计者： 刘生 时间：

课 题
一次函数与二元一次方程（组）
课型
新授课
案 序
第1课时
教学目标
知识技能
理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组。
数学思考
经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去认识问题。
解决问题
能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决相关实际问题。
情感态度
在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心。
教学重点
一次函数与二元一次方程（组）关系的探索。
教学难点
综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决实际问题。
课前准备（教具、活动准备等）
多媒体播放一段发生在电信公司里的情景的视频，将本节课中的引用的题目制成电子幻灯片。
教 学 过 程
教学步骤
教 师 活 动
学 生 活 动
设 计 意 图
一、感知身边数学

二、享受探究乐趣

三、乘坐智慧快车

四、体验成功喜悦

五、分享你我收获

布置作业
多媒体播放一段发生在电信公司里的情景：一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。顾客说他每月上网的费用按这两种收费方式计算都是一样多。求这位顾客打算每月上网多长时间？多少费用？
学生已经学习过列方程（组）解应用题,因此可能列出一元一次方程 或二元一次方程组，用方程模型解决问题。结合前面对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的探究，我自然地提出问题：“一次函数与二元一次方程组之间是否也有联系呢？”，从而揭示课题。

1、探究一次函数与二元一次方程的关系
填空：二元一次方程可以转化为________。
思考：（1）直线上任意一点一定是方程的解吗？
（2）是否任意的二元一次方程都可以转化为这种一次函数的形式？
（3）是否直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解？

2、探究一次函数与二元一次方程组的关系
（1）在同一坐标系中画出一次函数和的图象，观察两直线的交点坐标是否是方程组的解？并探索：是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？
此时教师留给学生充分探索交流的时间与空间，对学生可能出现的疑问给予帮助，师生共同归纳出：从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。

（2）当自变量取何值时，函数与的值相等？这个函数值是什么？这一问题与解方程组是同一问题吗？
进一步归纳出：从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值。

例题：我市一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式Ａ以每分０.１元的价格按上网时间计费；方式Ｂ除收月基费20元外再以每分0 .05元的价格按上网时间计费。如何选择收费方式能使上网者更合算？
解法１：设上网时间为分，若按方式Ａ则收元；若按方式Ｂ则收元。然后在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象，计算出交点坐标，结合图象，利用直线上点位置的高低直观地比较函数值的大小，得到当一个月内上网时间少于400分时，选择方式A省钱；当上网时间等于400分时，选择方式A、B没有区别；当上网时间多于400分时，选择方式B省钱。
解法2：设上网时间为分，方式B与方式A两种计费的差额为元，得到一次函数：，即，然后画出函数的图象，计算出直线与轴的交点坐标，类似地用点位置的高低直观地找到答案。
注意：所画的函数图象都是射线。

1、抢答题
（1）、以方程的解为坐标的所有点都在一次函数_____的图象上。
（2）、方程组

的解是________,由此可知,一次函数与的图象必有一个交点,且交点坐标是________。

2、旅游问题
古城荆州历史悠久，文化灿烂。
今年，大型历史剧《万历首辅张居正》在荆州封镜后，来荆州的游客更是络绎不绝。据悉，张居正纪念馆门票标价20元/张，近期正在进行优惠活动，购买时有两种方式：方式A是团队中每位游客按8折购买；方式B是团队中除5张按标价购买外，其余按7折购买。如果你是团队的负责人，你会如何选择购买方式使整个团队更合算？

在课堂临近尾声时，向学生提出：通过今天的学习，你有什么收获？你印象最深的是什么？

（1）、当自变量取何值时，函数与的值相等？这个函数值是什么？ （必做）
（2）、北京2008奥运的理念是“科技奥运、人文奥运、绿色奥运”。为了响应号召，某校甲、乙两班同学参加植树活动。已知甲班每小时植树20棵，乙班每小时植树24棵。由于某些原因，甲班植完8棵后，乙班才开始。你认为哪个班植树棵数多？（必做）
（3）、结合一次函数，就“如何选择最佳方案”这一话题写一份调查报告。（选做）

学生思考、交流，回答问题．

学生思考、议论后在全班交流．
学生归纳出以下要
点：
①函数图象上任一点的坐标都是它所对应方程的解；②二元一次方程与一次函数形式可以互换；③直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解。

学生思考、议论后在全班交流．
学生归纳得出：二
元一次方程组的解
就是两直线交点坐
标。

学生思考、讨论归
纳得出方程组的解
可以看作当函数自
变量为何值时两函
数值相等。

先独立思考，然后
与其它学生讨论，
通过教师引导，得
出正确的解决方案

自方独立思考练习
回答问题
建构主义认为，在实际情境中学习可以激发学生的学习兴趣。因此，用“上网收费”这一生活实际创设情境，并用问题启发学生去思、鼓励学生去探、激励学生去说，努力给学生造成“心求通而未能得，口欲言而不能说”的情势，从而唤起学生强烈的求知欲，使他们以跃跃欲试的姿态投入到探索活动中来。

用一连串的问题引导学生发现一次函数与二元一次方程在数与形两个方面的关系，为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。

学生经过自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识一次函数与二元一次方程组的关系，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为一种再创造的过程。此时教师及时对学生进行鼓励，充分肯定学生的探究成果，关注学生的情感体验。

为培养学生的发散思维和规范解题的习惯，引导学生将上网问题延伸为例题，并用问题：“你家选择的上网收费方式好吗？”再次激起学生强烈的求知欲望和主人翁的学习姿态。通过此问题的探究，使学生有效地理解本节课的难点，体会数形结合这一思想方法的应用。
．

抓住学生对竞争充满兴趣的心理特征，用抢答题使学生的眼、耳、脑、口得到充分的调动，并在抢答中品味成功的快乐，提高思维的速度。在学生感兴趣的旅游问题中，进一步培养学生应用数学的意识，更好地促进学生对本节课难点的理解和应用，帮助学生不断完善新的认知结构。

[设计意图]培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价。

新课程强调发展学生数学交流的能力，用数学日记给学生提供一种表达数学思想方法和情感的方式，以体现评价体系的多元化，并使学生尝试用数学的眼睛观察事物，体验数学的价值。作业由必做题和选做题组成，体现分层教学，让“不同的人在数学上得到不同的发展”。

附板书设计：
课题：一次函数与二元一次方程（组）
一次函数与二元一次方程的关系？
一次函数图象上任意一点的坐标所对应的数值就是二元一次方程的所对应的解。
一次函数与二元一次方程组的关系？
二元一次方程组的解就是当自变量为何值时两函数的函数值相等，或两函数图象交点的坐标所对应的值。

《一次函数与二元一次方程（组）》课堂教学实录
课题：人教版初中数学八年级上册《一次函数》
执教时间：2008-11-2
执教班级：城南中学八年级12班
执教老师：刘生
教学过程：
一、 回顾交流，情境导入，感知身边数学
师：同学们，随着科技的不断进步，电脑的普及，上网在生活中再平常不过了，这是一段发生在电信公司里的情景：一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。顾客说他每月上网的费用按这两种收费方式计算都是一样多。求这位顾客打算每月上网多长时间？多少费用？（多媒体播放这段视频）
师：同学们看过后，可以商量一下，你打算如何来解决视频中的问题呢？
生1：我觉得可以列二元一次方程组来做．
师：非常好，那边有没有其它的解决方案呢？
生2：根据前面所学一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系，我想可能也可以用函数的方法来做吧？
师：很好！你这个思考非常有创意！我们这节课就来探讨一次函数与二元一次方程组之间是否也有联系呢？（教师揭示课题）
(评：建构主义认为，在实际情境中学习可以激发学生的学习兴趣。因此，用“上网收费”这一生活实际创设情境，并用问题启发学生去思、鼓励学生去探、激励学生去说，努力给学生造成“心求通而未能得，口欲言而不能说”的情势，从而唤起学生强烈的求知欲，使他们以跃跃欲试的姿态投入到探索活动中来。)
（二）享受探究乐趣
师：请同学们思考投影仪上的题目（出示幻灯片2）
1、探究一次函数与二元一次方程的关系
填空：二元一次方程可以转化为________。
思考：（1）直线上任意一点一定是方程的解吗？（2）是否任意的二元一次方程都可以转化为这种一次函数的形式？
（3）是否直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解？
生3：可以转化为的形式
师：在这里解题上有没有何窍门呢？
生4：可以把题中的看作已知数，另一字母可以未知数
师：很好，直线上任意一点一定是方程的解吗？
生5：是的，二元一次方程有无数个解，而函数图像中也有元数个点，它们是对应的。
师：是否任意的二元一次方程都可以转化为这种一次函数的形式？
生6：是的，与我们七年级时用代入法解二元一次方程组是类似的。
师：是否直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解？
生7：是的，它们的道理是一样的。
（评：用一连串的问题引导学生发现一次函数与二元一次方程在数与形两个方面的关系，为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。）
师：刚才同学们回答很不错，请同学继续思考下列问题（出示幻灯片3）
2、探究一次函数与二元一次方程组的关系
（1）在同一坐标系中画出一次函数和的图象，观察两直线的交点坐标是否是方程组的解？并探索：是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？
（此时教师留给学生充分探索交流的时间与空间，对学生可能出现的疑问给予帮助，师生共同归纳出：从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。）
生8：通过解方程组和画图象，我发现方程组的解与图象中交点坐标是一样的，看样子我们今后对于简单的二元一次方程组也可以用图来解了。
生9：除了幻灯片中的题外我还自己找了一个二元一次方程组，做了相同的事件，结果发现方程组的解与图象的交点坐标也是一致的。
师：还有没有同学也找其它的方程组来验证这种现象？
生10：我做了，方程组的解与图象的交点坐标也是一致的。
生11：我做了，方程组的解与图象的交点坐标也是一致的。
生12：我做了，方程组的解与图象的交点坐标也是一致的。
师：通过我们的实践，可以得到什么结论呢？
生13：方程组的解就是相应的两条直线的交点坐标。
生14：也以说成两直线的交点坐标就是二元一次方程组的解
师：很好，求二元一次方程组的解可以直接画图看交点坐标，当然由于画图会产生误差，在解题中的慎用，反之如果要求两直线交点坐标也可以不画图，直接解二元一次方程组，希望同学们在解题中要灵活运用。
师：请同学们思考（出示幻灯片4）：
（2）当自变量取何值时，函数与的值相等？这个函数值是什么？这一问题与解方程组是同一问题吗？
生15：是的，方程组中的问题竟然还可以用图形表示出来，数学真是奇妙。
（评：进一步归纳出：从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；学生经过自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识一次函数与二元一次方程组的关系，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为一种再创造的过程。此时教师及时对学生进行鼓励，充分肯定学生的探究成果，关注学生的情感体验。）
（三）乘坐智慧快车
师：请同学们应用我们刚才所学知识，解答下题（出示幻灯片5）
例题：我市一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式Ａ以每分０.１元的价格按上网时间计费；方式Ｂ除收月基费20元外再以每分0 .05元的价格按上网时间计费。如何选择收费方式能使上网者更合算？
生16：设上网时间为分，若按方式Ａ则收元；若按方式Ｂ则收元。然后在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象，计算出交点坐标，结合图象，利用直线上点位置的高低直观地比较函数值的大小，得到当一个月内上网时间少于400分时，选择方式A省钱；当上网时间等于400分时，选择方式A、B没有区别；当上网时间多于400分时，选择方式B省钱。（学生板书在黑板上）
生17：设上网时间为分，方式B与方式A两种计费的差额为元，得到一次函数：，即，然后画出函数的图象，计算出直线与轴的交点坐标，类似地用点位置的高低直观地找到答案。（学生板书在黑板上）
师：你家选择的上网收费方式好吗？并提醒学生：所画的函数图象都是射线。
（评：为培养学生的发散思维和规范解题的习惯，引导学生将上网问题延伸为例题，并用问题：“你家选择的上网收费方式好吗？”再次激起学生强烈的求知欲望和主人翁的学习姿态。通过此问题的探究，使学生有效地理解本节课的难点，体会数形结合这一思想方法的应用。）
（四）体验成功喜悦
师：请同学们再来看两题：（出示幻灯片5、6）
1、抢答题
（1）以方程的解为坐标的所有点都在一次函数_____的图象上。
（2）方程组的解是________,由此可知,一次函数与的图象必有一个交点,且交点坐标是________。
2、旅游问题
古城荆州历史悠久，文化灿烂。
今年，大型历史剧《万历首辅张居正》在荆州封镜后，来荆州的游客更是络绎不绝。据悉，张居正纪念馆门票标价20元/张，近期正在进行优惠活动，购买时有两种方式：方式A是团队中每位游客按8折购买；方式B是团队中除5张按标价购买外，其余按7折购买。如果你是团队的负责人，你会如何选择购买方式使整个团队更合算？
生18：
生19：方程组的解是，交点坐标为：（1，0）
师：第二题请两个学生做在黑板上，其余学生做在课堂练习本上。
生20：题做在黑板上
生21：题做在黑板上
师：两个学生做得都很对，通过画图及计算很清楚地得到当人数少于15人时选择方式A，若人数恰好为15人时方式A、B是一些样的，若人数多于15人，则选择方式B。（学生做时，在行间对在下面做的学生进行适当指导，结合学生所做情况进行讲评）
（评：学生对竞争充满兴趣的心理特征，用抢答题使学生的眼、耳、脑、口得到充分的调动，并在抢答中品味成功的快乐，提高思维的速度。在学生感兴趣的旅游问题中，进一步培养学生应用数学的意识，更好地促进学生对本节课难点的理解和应用，帮助学生不断完善新的认知结构。）
（五）分享你我收获
师：通过今天的学习，你有什么收获？你印象最深的是什么？
生22：任何一个二元一次方程都可以化成一次函数的形式
生23：一次函数图象上任一点的坐标都是相应二元一次方程组的解。
生24：两直线的交点坐标与二元一次方程组的解是一致的
生25：。。。。。。。。。
师：同学们这堂课学得很认真，希望你们能够把学到的知识更多地运用到生活中去。
（评：培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价。）
（六）作业布置，专题突破
师：今天请同学们做下面的作业（出示幻灯片7）
七、课后反思：
一次函数这一章在整个初中阶段数学中占有很重要的位置，如何充分调动学生的学习积极性，让学生体会到学习的乐趣，数学的价值显得很重要，在一次函数的授课中让学生建立数形结合的意识，让学生切实领悟二元一次方程（组）与一次函数的关系，知道两直线的交点就是它们组成的二元一次方程组的解，以及在方案问题中可以结合方程组的求解及函数图象的比对，使看起来复杂的问题，变得一目了然，使得学生能够迅速地对新学知识有了很好的理解，通过实际生活中的上网问题让学生感受到数学并不完全是抽象的符号，由于一次函数中的题型多变，下节课还须在题目的表现形式和难易上做适当的变换。