资源描述
19.2.1.1 正比例函数
一、教学目标
（1）理解正比例函数的概念；
（2）会用正比例函数表示实际问题中的数量关系，会解决简单的实际问题和相关的数学问题
二、课时安排：1课时
三、教学重点：经历正比例函数概念的形成过程，理解正比例函数的概念；
四、教学难点：能根据已知条件确定正比例函数的解析式，体会函数建模思想．
五、教学过程
（一）导入新课
上一节我们已经学习了关于函数的最基础的知识，知道了变量与函数、函数的图象及函数的三种表示方法，从这节课开始，我们将重点研究一种最基本的具体函数——一次函数，本节课先研究特殊的一次函数——正比例函数.
（二）讲授新课
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
(1)1318÷300≈4.4（h）
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？
y=300t ( 0≤t≤4.4）
（3）这个问题中两个变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，试说明理由．
是.因为对于t的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应.
（4）对于自变量t和函数y的每一对对应值，y与t的比值是多少？这个比值会发生变化吗？
300.比值不会改变.
（5）如果从小学学习过的比例观点看，列车在运行过程中，行程 y（单位：km）和运行时间 t（单位：h）是什么关系？
正比例关系
（6）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1 100km的南京南站？
对于函数,当时,
师生活动:教师引导学生分析问题中的数量关系，这是典型的行程问题，数量关系是学生熟悉的“路程=速度×时间”．
设计意图：让学生真切感受数学与实际的联系，即数学理论来源于实际又服务于实际．帮助学生逐步提高将实际问题抽象为函数模型的能力，初步体会函数建模思想．
对问题（1）学生解答后可追问：在京沪高速铁路上以平均速度300km/h运行的列车，其运行时间在什么范围内？
设计意图：由于自变量t是列车运行时间，作为实际问题，自变量的取值是受限制的，应对其取值范围作出说明．
对问题（2）的分析解答过程让学生回答下列问题：
追问1 这个问题中两个变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，试说明理由．
设计意图：让学生感受量与量之间的函数关系，体会函数关系蕴涵在实际问题中，激发学生探究兴趣．对理由的说明学生可能有障碍，此时教师要引导学生回顾函数概念的学习过程，用函数的概念来回答：问题中的两个变量，当其中的变量t变化时，另一个变量y随着t的变化而变化，并且对于变量t的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应．
追问2 请你写出y与t之间的函数解析式，并分析解析式在结构上是什么形式？
追问3 对于自变量t和函数y的每一对对应值，y与t的比值是多少？这个比值会发生变化吗？
师生活动: 追问2学生独立完成写出解析式，观察解析式的结构形式后发表意见与同学交流；追问3分小组分别取不同的对应值，求出比值后先小组内统一意见，然后全班交流．
设计意图：让学生初步感知正比例函数解析式的结构形式为：左边是表示函数的字母，右边是常数（量）与自变量的积的形式．正比例函数的基本特征是：对于自变量和函数的每一对对应值，函数值与自变量的比值是一定的，都等于自变量前的那个常数．
对问题（3）的分析解答后可追问：我们是怎样确认列车是否已经过了南京南站的？
师生活动:教师引导学生分析，根据函数解析式，求自变量t=2.5时的函数值，得出列车出发2.5小时的行程，再与两站的实际距离比较，对实际问题的作出解答．
设计意图：让学生初步体会用函数建模思想解决实际问题的方法．
2.类比思考，概括共性
问题2 思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．
（1）圆的周长l随半径的变化而变化．
（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化．
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间（单位：min）的变化而变化．
师生活动：学生根据每个问题中蕴涵的数量关系和已知条件，运用函数建模思想独立写出每个问题中变量间的函数解析式．
设计意图：让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数关系，体会并运用函数建模思想，提高将实际问题抽象为函数模型的能力．
追问：这些函数解析式有哪些共同特征？
师生活动：引导学生类比问题1的分析方法，对4个解析式从结构形式上分析它们的共同特征，学生分组讨论，教师参与讨论并组织交流．
设计意图：通过对实际问题抽象出的函数模型观察比较，找出它们具有的共同特征，为归纳抽象正比例函数的概念作准备．
3.归纳抽象，建立概念
问题3 你能否根据上面这些函数的共同特征归纳出这种函数的一般形式？一般形式中各字母的意义是什么？
师生活动：教师引导学生归纳出这些函数的一般形式，即都可以写成y=kx（k是常数，k≠0）的形式．
设计意图：让学生根据共同特征归纳抽象出正比例函数的一般形式，培养学生从具体问题中抽象出共同具有的本质属性的能力．知道一般形式中各字母的意义．知道自变量系数的限制条件为k≠0．
追问1：函数y=kx（k是常数，k≠0）中，对于自变量x和函数y的每一组对应值，函数值与对应自变量的比值等于多少？这说明这两个变量之间有怎样的关系？
设计意图：强化学生对正比例函数基本特征的认识，知道正比例函数的两个变量具有正比例关系，为给正比例函数下定义埋下伏笔．
追问2：如果给这样的函数取一个名称，你觉得应该叫什么函数比较合适？
师生活动：师生共同归纳出正比例函数的概念．
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
设计意图：引导学生根据函数解析式的形式和变量间具有的正比例关系，得出正比例函数的定义．
（三）重难点精讲
问题4 （1）请你举出几个y是x的正比例函数的解析式；
（2）完成教科书第87页练习1，补充问题：如果是，请指出比例系数是多少？
（3）完成教科书第87页练习2．
师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论后交流，教师予以激励性评价．
设计意图：引导学生根据概念辨析正比例函数，能够从实际问题中根据已知条件抽象出函数模型并辨析是否是正比例函数．
（四）归纳小结：
（1）本节课我们学习了哪些知识？
（2）正比例函数概念中对比例系数k有怎样的限制条件？
（3）请举一个生活中正比例函数的实例.
（五）随堂小测:
1、函数 是正比例函数， 则m的取值范围是___________.
答案：
2、函数 是正比例函数， 则m的取值范围是___________.
答案:
3、 已知：y=(k+1)x+k-1是正比例函数，则 k=____
答案：1
4、已知一个正比例函数的比例系数是-5， 则它的解析式为___________。
答案：
六、板书设计
正比例函数
概念： 例1：
注意：
七、作业布置：
家庭作业：完成本节的同步练习
预习作业：预习下一讲导学案中的“探究案”
八、教学反思：
对正比例函数概念的学习，既要借助具体的函数进一步加深对函数概念的理解，即实际问题的两个变量中，当一个变量变化时，另一个变量随着它的变化而变化，而且对于这个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，这是理解正比例函数的核心；也要加强对正比例函数基本特征的认识，即根据实际问题构建的函数模型中，函数和自变量每一对对应值的比值是一定的，等于比例系数，反映在函数解析式上，这些函数都是常数与自变量的积的形式，这是正比例函数的基本特征.
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