资源描述
二次函数与一元二次方程
课题：22.2 二次函数与一元二次方程．
课时
1 课 时
教学设计
课 标
要 求
从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质，了解二次函数与二次方程的相互关系．
教
材
及
学
情
分
析
1、教材分析：本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
2、学情分析
知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系，因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系，利用类比的方法让学生进行交流合作学习应该不是难题；学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。
课
时
教
学
目
标
1. 从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质，了解二次函数与二次方程的相互关系．
2. 探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值（或最小值）及函数的增减性的概念．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
3. 通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点．
重点
二次函数的最大值，最小值及增减性的理解和求法．
难点
二次函数的性质的应用．
教法学法
指导
启发法 归纳法 练习法
教具
准备
课件
教学过程提要
环节
学生要解决的问
题或完成的任务
师生活动
设计意图
引
入
新
课
一、复习导入
一、导入新课
我们以前学习了一次函数，并从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系．今天节我们学习二次函数，并从二次函数的角度看一元二次方程，从而认识二次函数与一元二次方程的联系．
复习上节内容，为本节课的学习奠定基础
教
学
过
程
二、二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系
1、从数的角度看
二、新课教学 1．问题讲解．
如下图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系
h＝20t－5t2．
考虑以下问题：
（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
解：（1）解方程
15＝20t－5t2， t2－4t＋3＝0， t1＝1，t2＝3．
当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m．
（2） 解方程
20＝20t－5t2， t2－4t＋4＝0， t1＝t2＝2．
当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m．
（3）解方程
20.5＝20t－5t2， t2－4t＋4.1＝0，
因为(－4)2－4×4.1＜0，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m．
（4）解方程
0＝20t－5t2， t2－4t＝0， t1＝0，t2＝4．
当小球飞行0 s和4s时，它的高度为0 m．这表明小球从飞行到落地要用4s．从上图来看，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面．
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．
通过实例来反应二者之间的关系
教
学
过
程
2、从形的角度看
3、判断抛物线与坐标轴的交点个数的方法
2、问题2 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y＝x2＋x－2； （2）y＝x2－6x＋9； （3）y＝x2－x＋1．
教师引导学生画出函数的图象（下图），然后说说有什么特点和性质．
（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1．当x取公共点的横坐标时，函数值是0．由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1．
（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3．
（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．
四、巩固练习
例 利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）．
解：画出函数y＝x2－2x－2的图象（下图），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7．
所以方程x2－2x－2＝0的实数根为
x1≈－0.7，x2≈2.7．
我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．
数形结合，让学生建立起二者之间的关系
巩固前面所学的知识
小
结
从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出如下结论：
（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．
板
书
设
计
22.2 二次函数与一元二次方程．
一、丛数的角度看：
求一元二次方程ax2+bx+c=0的根，已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0时，求自变量x的值。
二、从形的角度看：
一元二次方程ax2+bx+c=0的根，就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标
作
业
设
计
达标测评：p47页
1、必做题：1———8
2、选做题：9题
教
学
反
思
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