资源描述
22．2 二次函数与一元二次方程
01 教学目标
1．理解二次函数与一元二次方程的关系．
2．会判断抛物线与x轴的交点个数．
3．掌握方程与函数间的转化．
4．会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解．
02 预习反馈
阅读教材P43～46，完成下列问题．
1．画出二次函数y＝x2－3x＋2的图象如图，利用图象回答：
(1)当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝1或2．
(2)当y＞0时，二次函数y＝x2－3x＋2的图象在x轴的上方，此时对应的自变量x的取值范围是x＜1或x＞2；
(3)当y＜0时，二次函数y＝x2－3x＋2的图象在x轴的下方，此时对应的自变量x的取值范围是1＜x＜2．
2．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31.
(1)根据题意，可知y与x满足的二次函数关系式为y＝－0.1x2＋2.6x＋43；
(2)当提出概念20 min时，学生对概念的接受能力为55．
03 新课讲授
例1 (教材P43问题)如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2.请解答以下问题：
(1)小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？
【思路点拨】 求小球的飞行高度达到15 m，就是求当h＝15时，相对应的t的值．
【解答】 解方程15＝20t－5t2，t2－4t＋3＝0，t1＝1，t2＝3.
当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m.
【点拨】 小球在某一时间达到15 m，然后继续上升，达到最大高度后开始下落，经过一段时间，小球高度又回落到15 m．所以在两个时间球的高度为15 m.
(2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
【思路点拨】 求小球的飞行高度达到20 m，就是求当h＝20时，相对应的t的值．
【解答】 解方程20＝20t－5t2，t2－4t＋4＝0，t1＝t2＝2.
当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m.
【点拨】 小球在某一时间达到最大高度，所以只在一个时间球的高度为20 m.
(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
【思路点拨】 求小球能否达到某一高度，就是将h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
【解答】 解方程20.5＝20t－5t2，t2－4t＋4.1＝0.
因为(－4)2－4×4.1＜0，所以方程无实数根．
这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m.
(4)小球从飞出到落地要用多少时间？
【思路点拨】 求小球从飞出到落地要用多少时间，就是求当h＝0时，t的值．
【解答】 小球飞出时和落地时的高度都是0 m，解方程0＝20t－5t2，t2－4t＝0，t1＝0，t2＝4.
当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m．这表明小球从飞出到落地要用4 s．从图来看，0 s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面．
【点拨】 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m.反过来，解方程ax2＋bx＋c＝0又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为0，求自变量x的值．
例2 (教材P44思考的变式)(1)已知下列三个二次函数：①y＝x2＋x－2；②y＝x2－6x＋9；③y＝x2－x＋1，这些函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
【思路点拨】 先画出相应地二次函数的图象，再根据函数图象即可得出结论．
【解答】 (1)这些函数的图象如图所示．
①抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1.
②抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数值是0.由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根是3.
③抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．
【点拨】 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况有何联系？
【思路点拨】 如果一元二次方程有两个不等的实数根，那么相应的二次函数的图象与x轴有两个公共点；如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么相应的二次函数的图象与x轴有一个公共点；如果一元二次方程没有实数根，那么相应的二次函数的图象与x轴没有公共点．
【解答】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况；没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．
【跟踪训练】 已知抛物线y＝2x2＋8x＋m.
(1)若抛物线与x轴有两个公共点，则m的取值范围是m＜8；
(2)若抛物线与x轴只有一个公共点，则m的取值范围是m＝8；
(3)若抛物线与x轴没有公共点，则m的取值范围是m＞8．
例3 (教材P46例)利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根(结果保留小数点后一位)．
【解答】 画出函数y＝x2－2x－2的图象如图所示，它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7.
所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7.
【点拨】 根据二次函数的图象来求一元二次方程的根时，我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围来估计一元二次方程的根．
04 巩固训练
1．(22.2习题)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(D)
A．无解 B．x＝1
C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
2．二次函数y＝x2－2x＋1与x轴的交点个数是(C)
A．1个或2个 B．2个 C．1个 D．0个
3．(22.2习题)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(C)
A．x＜2 B．x＞－3
C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1
4．已知抛物线y＝kx2－4x－3与x轴有交点，则k的取值范围是k≥－且k≠0．
5．如图所示，你能直观看出哪些方程的根？
解：－x2＋2x＋3＝0的根为x1＝－1，x2＝3；－x2＋2x＋3＝4的根为x1＝x2＝1；－x2＋2x2＋3＝3的根为x1＝0，x2＝2.
【点拨】 此题充分体现二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y＝－x2＋2x＋3中，y为某一确定值m(如4、3、0)时，相应的x值是方程－x2＋2x＋3＝m(m＝4、3、0)的根．
05 课堂小结
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．
2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
3．有下列对应关系：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况
b2－4ac
的值
有两个公共点
有两个不相等的实数根
b2－4ac>0
只有一个公共点
有两个相等的实数根
b2－4ac＝0
无公共点
无实数根
b2－4ac<0
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
