江苏省丹阳市八中九年级数学《第13课时 课题：根的判别式》教学案.doc

江苏省丹阳市八中九年级数学《第13课时 课题：根的判别式》教学案
知识点的应用
① 不解一元二次方程，判断根的情况。
例1. 不解方程,判别2x2-7x+3＝0根的情况

练习：x2+4x＝2

说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△，然后对△进行计算，
使△的符号明朗化，进而说明△的符号情况，得出结论。
②  根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
例2.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目
中待定字母的取值范围.
练习：
1.已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 有两个实数根,求m的取值范围.

2.关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，求a的范围

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
③  证明字母系数方程有实数根或无实数根。
例3．求证方程x2-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实数根。

说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出△，如果不能直接判断△情况，就
利用配方法把△配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断△的情况，从
而证明出方程根的情况
练习：1.已知关于的一元二次方程（为常数）．
求证：方程有两个不相等的实数根；

2：求证：关于x的方程x－kx＋k－5＝0有两个不相等的实数根.

知识点的迁移：
1.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。

2.一元二次方程 (m-1)x2+2mx+m+2=0 有两个实数根，求m的取值范围。

改：（1）方程 (m-1)x2+2mx+m+2=0 有实数根,则m的取值范围是

 （2）二次三项式 (m-1)x2+2mx+m+2在实数范围内能因式分解,求m的取值范围

小结：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
Δ＞0 方程有两个不等实数根.Δ=0 方程有两个相等实数根.Δ＜0 方程没有实数根.
判别式的的应用：
(1)不解方程，判别方程的根的情况；
(2)根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围；
(3)证明方程的根的性质

第13课时 根的判别式 学案
（一）复习旧知，提出问题
 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=___________
Δ＞0 方程有________________.Δ=0 方程有________________.Δ＜0 方程______________
反之也成立
即方程有两个不等实数根 Δ＞0.方程有两个相等实数根 Δ＝0.方程没有实数根 Δ＜0.

（二）讲授新知
①不解一元二次方程，判断根的情况。
例1：不解方程,判别2x2-7x+3＝0根的情况

练习：x2+4x＝2

说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△，然后对△进行计算，
使△的符号明朗化，进而说明△的符号情况，得出结论。
②  根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
例2.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目
中待定字母的取值范围.
练习：
1.已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 有两个实数根,求m的取值范围.

2.关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，求a的范围

③  证明字母系数方程有实数根或无实数根。
例3．求证方程x2-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实数根。

说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出△，如果不能直接判断△情况，就
利用配方法把△配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断△的情况，从
而证明出方程根的情况
练习：1.已知关于的一元二次方程（为常数）．
求证：方程有两个不相等的实数根；

2：求证：关于x的方程x－kx＋k－5＝0有两个不相等的实数根.

(三)拓展与延伸
1.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。

2.一元二次方程 (m-1)x2+2mx+m+2=0 有两个实数根，求m的取值范围。

改：（1）方程 (m-1)x2+2mx+m+2=0 有实数根,则m的取值范围是

 （2）二次三项式 (m-1)x2+2mx+m+2在实数范围内能因式分解,求m的取值范围

小结：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
Δ＞0 方程有两个不等实数根.Δ=0 方程有两个相等实数根.Δ＜0 方程没有实数根.
判别式的的应用：
(1)不解方程，判别方程的根的情况；
(2)根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围；
(3)证明方程的根的性质