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课题：第二十讲 圆的有关性质
复习目标：
1.理解圆与圆的有关概念,了解弧、弦、圆心角之间的关系.
2.掌握圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.
3.理解垂径定理及逆定理的内容，并能够简单应用．
教学重、难点：
重点：
1. 圆与圆的有关概念,弧、弦、圆心角之间的关系. 圆的性质，圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征及垂径定理及逆定理的内容.
2. 会利用圆的相关性质进行说理与证明，并会进行简单的应用．
难点：利用相关性质进行说理与证明，并进行简单的应用．
课前准备：多媒体课件、《新课程初中复习指导丛书》、学案
教学过程：
一、构建知识网络结构
处理方式：学生举手回答，畅所欲言，其他同学互相讨论补充.在学生充分交流的基础上，共同构建知识结构图
设计意图：在学生充分思考、交流的基础上构建知识网络图,让学生将零散、孤立的知识形成网络，完成知识脉络的梳理，让学生在小组交流讨论中完成建构并从中感受到知识间的内在联系．
二、基础知识点回顾
知识点一：圆的有关概念
1．圆的定义
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做___ ____；
(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．
2．与圆有关概念
(1)连接圆上任意两点的____ ___叫做弦；
(2)圆上任意两点间的_____ ___叫做圆弧，简称弧；
(3)______ __相等的两个圆是等圆；
(4)在同圆或等圆中，能够互相____ ____的弧叫做等弧．
知识点二：圆的对称性与垂径定理
1．圆的对称性
(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
2．垂径定理及推论
（1）垂径定理：垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．
（2）推论：平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．
2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．
知识点四：圆心角与圆周角
1．定义：顶点在________上的角叫做圆心角；
顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．
2．性质
(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．
(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．
(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．
(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．
知识点五：确定圆的条件
1．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的___________、这个三角形是圆的___________.
2．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
处理方式：一体机逐一展示知识点，并给学生5分钟的思考时间，然后让学生口答，师生共同评价矫正.同时老师用一体机出示答案．
设计意图：通过“导学稿”形式让学生在填空的过程中回顾圆的有关概念和性质相关知识,如有遗忘，再用课本或同学间交流进行补充,让学生在数学学习活动中完成圆的有关概念和性质的知识要点复习．
二、例题分析：
【例1】（2014•梧州）已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O上 B． 点A在⊙O内
C．点A在⊙O外 D． 点A与圆心O重合
【思路点拨】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
【例2】（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（ ）
A． 直径相等的两个圆是等圆
B． 长度相等的两条弧是等弧
C． 圆中最长的弦是直径
D． 一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
【思路点拨】利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案
【例3】（2014•毕节市）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，
则点O到AB的距离是（ ）
A． 6 B． 5
C． 4 D． 3
【思路点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，过O作OC⊥AB于C，
根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
【例4】（2014•北京）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，
OC=4，CD的长为（ ）
A． 2 B． 4
C． 4 D． 8
【思路点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．
【例5】（2014•无锡）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
【思路点拨】本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
【例6】（2014•天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，
求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
【思路点拨】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．
【例7】（2014•绥化）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
【思路点拨】（1）根据圆周角定理和已知求出∠D=∠BCD，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据垂径定理求出弧BC=弧BD，推出∠A=∠P，解直角三角形求出即可．
处理方式：通过多媒体逐一展示例题，让学生根据知识点进行分析解答，根据回答，并再进一步由学生进行补充说明，最后再由老师进行个别指导。
设计意图：通过例题紧扣知识点，避免了“走马观花”，使“知识点”与“问题”脱离。这样的设计使课堂更加高效而实用．同时进一步提高了学生对知识的应用能力和解决实际问题能力。
三、巩固训练
1．（14•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
2．（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．cm B． cm C．cm或cm D．cm或cm
第3题图
第5题图
第4题图
第1题图
3．（2014•重庆）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 70°
4．（2014•湖州）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（ ）
A． 35° B． 45° C． 55° D． 65°
5．（2014•南通）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 度．
6．（2014•黑龙江）直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是 ．
第7题图
7．（2014•南通）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
处理方式：；首先让学生独立完成练习，然后由个别学生展示自己的答案，同学间相互核对答案，小组合作讨论，订正纠错，共同完成错题，最后进行兵教兵．
设计意图：进一步让学生从不同角度、不同方法中体会这部分知识的应用，同时适时引导学生总结解决问题的方法，同时加强学生对知识的应用能力与理解能力，提高学生的解决问题的能力．
四、回顾反思，总结提升
谈一谈：请同学们回顾这节课，在实数的复习中你有哪些收获？还有哪些困惑？想一想，说一说．
处理方式：引导学生对复习过程进行提炼、反思，从知识、方法和数学思想上进行总结．互相交流，畅所欲言谈论自己的复习感受和实际收获。
设计意图：复习课是让学生自主探究、合作交流、自我提高的过程，因此让学生的自我感悟、体会，以便教师更好的了解学生学习经验的获得情况.让学生在与同学交流的过程中，增强与他人合作的意识.
五、达标检测，反馈提高
1．（2014•黑龙江）直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是 ．
2．（2014•汕头）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为 ．
第5题图
3．（2014•衡阳）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为 ．
第4题图
第3题图
第2题图
4．（2014•陕西）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是 ．
5．（2014•宁夏）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ．
6．（2014•湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
第6题图
处理方式：首先让学生独立完成，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对实数知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高．
六、布置作业，课堂延伸
《复习指导丛书》 第二十讲 圆的有关性质 强化训练
板书设计：
第二十讲 圆的有关性质
多
媒
体
展
示
区
知识回顾区
例题展示区
学生活动区
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