资源描述
课案（教师用）
勾股定理及其逆定理
（复习课）
【理论支持】
课堂教学的重要任务之一就是要使教学过程成为学生获取知识 发展能力的活动过程，成为科学知识内化为学生精神财富的过程．知识的获得与内化必须符合学生的认知规律，并借助学生已有的经验对知识进行自主性地构建．因此，教师在课堂教学过程中需要运用一定的教学策略，帮助学生打开知识之窗，重现知识的形成过程；引导学生体验知识，感受知识的存在；指导学生应用知识，增强对知识的记忆与理解；帮助学生回归知识，促使教材知识活化．
勾股定理及其逆定理是通过代数计算的方法来证明的．而运用勾股定理求直角三角形的边长和运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形时，经常要用到数式变形和方程等知识．同时，作为一种数学模型，勾股定理及其逆定理在日常生活中也有着广泛的应用．所以在本节课，既要注重勾股定理及其逆定理的应用，又要关注“数形结合．方程”等数学思想方法和数学建模能力．
教学对象分析：
前面学生已经学习了勾股定理及逆定理，学生容易把勾股定理及逆定理使用的条件混淆，在本节课中，为学生提供多种题型，创造自主学习，合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手，从而乐于探究，让学生体会到数学与实际生活的密切联系．
【教学目标】
知识技能
勾股定理及其逆定理．长为无理数的线段的画法．互逆命题（定理）及勾股数的概念．能灵活运用勾股定理及逆定理
数学思考
通过对勾股定理及逆定理的复习巩固，进一步掌握数形结合的思想方法，提高解决几何问题的能力．
解决问题
长为无理数的线段的画法．互逆命题（定理）及勾股数的概念．能灵活运用勾股定理及逆定理解决直角三角形相关问题
情感态度
1．通过勾股定理及逆定理综合运用体验数与形的内在联系，感受勾股定理及逆定理之间的和谐及辨证统一的关系．
2．通过小组活动培养学生合作交流的意识和探索精神．
【教学重难点】
重点：勾股定理及逆定理的应用．
难点：灵活运用勾股定理及逆定理．
【教学方法】启发引导．分讨论组
【课时安排】一课时
【教学设计】
课前延伸
1．在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，b=8，则c= ；
(2)已知a=b，c=4，则a= ；
2．在△ABC中，a、b为两边，c为另一边；若a=6，b=8，则c的范围是______；
3．已知两条线的长为5cm和4cm，当第三条线段的长为_________㎝时，这三条线段能组成一个直角三角形； 补充勾股数10．26．
4．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6．8，那么这个直角三角形斜边上的高为 ；
5．写出“等角的补角相等”的逆命题 ______ ；
6．在数轴上表示数的点．
〖答案〗1．(1)4 (2)2 2． 3． 3或 ；24 4． 5．如果两个角的补角相等，那么这两个角相等． 6．略
【设计说明】通过习题的练习加强对前面所学知识巩固，进一步加深对勾股定理及逆定理的认识，从而使学生有着很愉悦的心情进入本节课的学习．
课内探究
导入新课：
创设情境，回顾勾股定理及其逆定理．
如果知道一个三角形是直角三角形，你可以得到哪些结论？
有什么方法可以判断一个三角形是直角三角形？
【设计说明】为本节课综合应用，做好知识准备及理论支持．
2．揭示课题，整理概念，板书
勾股定理： 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果两条直角边长为a．b，斜边长为c ，则c2＝a2＋b2．
运用：已知直角三角形任意两边可求第三边．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a．b．c有下列关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形为直角三角形．
运用：勾股定理的逆定理可用来判定直角三角形或用来确定直角．
二．检查预习情况：明确检查方法
学生口答后论证．
三．布置学生自学：
1．学生自主探究题：
（1）若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积．
【设计说明】前面学生已经学习了勾股定理，直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解，用代数方法解决几何问题是常用的方法，这里进一步加以复习巩固，学生有能力自己完成．
〖参考答案〗设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：
（3x）2+（4x）2=202
化简得x2=16；
∴直角三角形的面积=×3x×4x=6x2=96
(2)等边三角形的边长为2，求它的面积．
A
B
C
D
【设计说明】作高是常用的辅助线，要利用等边三角形的高又是底边上的中线的性质解决．
〖参考答案〗作AD⊥BC于D．
则：BD=BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）
∴BD=1
在直角三角形ABD中AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2－BD2=4－1=3
∴AD=
S△ABC=BC·AD=
等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为
〖讲评策略〗以上两题直接由两位学生板演，其余在座位上完成，然后由学生点评板演的同学的解题过程．
（3）．直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积．
〖点拨方法〗这个问题中的直角三角形有一条边是已知的，另外两边的和可以由已知条件求出是7，所以需要设两个未知数
〖参考答案〗设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：
由（1）得：x+y=7，
（x+y）2=49，x2+2xy+y2=49 (3)
(3)－(2)，得：xy=12
∴直角三角形的面积是xy=×12=6（cm2）
（4）在锐角△ABC中，已知其两边a=1，b=3，求第三边的变化范围．
【设计说明】第三边为c,b－a<c<b+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形．为此，先求△ABC为直角三角形时第三边的值．注意△ABC为直角三角形时斜边可能是c或b，要 分两种情况．
3
A
B
C
3
1
A'
〖参考答案〗设第三边为c，并设△ABC是直角三角形
当第三边是斜边时，c2=b2+a2，∴c=
当第三边不是斜边时，则斜边一定是b，b2=a2+c2，∴c=2（即）
∵△ABC为锐角三角形
所以点A应当绕着点B旋转，使∠ABC成为锐角（如图），但当移动到点A2位置时∠ACB成为直角．故点A应当在A1和A2间移动，此时2< c <
（5）．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．4，5，6 C．5，8，10 D．8，39，40
【设计说明】此题是为复习勾股定理的逆定理设计的．
〖点拨方法〗此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2－a2=（c－a）（c+a）来判断．例如：对于选择支D，∵82≠（40+39）×（40－39），∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形．
〖参考答案〗答案：A
（6）．四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．
【设计说明】此题是为复习勾股定理及其逆定理设计的．
〖点拨方法〗要求四边形ABCD的面积，显然要把图形进行分割，需要连接AC,△ABC是直角三角形，△ADC呢？需要判断．
〖参考答案〗连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36．
2．小组合作探究题
(1)如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，恰与AE重合，则CD等于（ ）
A．2㎝ B．3㎝ C．4㎝ D．5㎝
A
C
D
B
E
〖点拨方法〗在直角三角形ABC中，由直角边AC=6㎝，BC=8㎝可知AB=10, AE是AC沿直线AD折叠的，AE=6，BE=4,设CD=x,则DE=X, DB=？,怎样求DE？
〖参考答案〗B
(2)如图所示，在中,,且,
,求的长．
答图
【设计说明】此题是一条综合题,为培养学生能灵活运用勾股定理及其逆定理其他所学知识解决实际问题的能力.
〖点拨方法〗因为为等腰直角三角形,所以．
所以把绕点旋转到,则，由于，为直角三角形． ，容易求出也就得到的长
〖参考答案〗:如图,因为为等腰直角三角形,所以．
所以把绕点旋转到,则．
所以．连结．
所以为直角三角形．
由勾股定理,得．所以．
因为所以．
所以．
所以．
图1 图2 图3
（3）中，，若，如图1，根据勾股定理，则，若不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．
〖点拨方法〗当是锐角三角形时，如图4设CD=x,则BD=a-x
图4
根据勾股定理，得
即
∴
∵ ， ∴
∴
当是钝角三角形时，图5,
证明：过点作，交的延长线于点
设为，则有
根据勾股定理，得
即
∴
∵ ，∴
∴
图5
〖参考答案〗若是锐角三角形，则有
若是钝角三角形，为钝角，则有
二、反馈练习
1．等腰三角形的两边长为4和2，则底边上的高是________，面积是_________．
2．四个三角形的边长分别是①3，4，5 ②4，7，8③7,24,25④3,4,5其中是直角三角形的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①②③
3．已知直角三角形中，两边的长为3．4，求第三边长．
4．△ABC中，∠C=90°，a=5，c－b=1，求b，c的长．
5．如图：△ABC中，AD是角平分线，AD=BD，AB=2AC．
A
B
C
D
求证：△ACB是直角三角形．
练习题解答
1．，
A
B
C
D
2．D
3．解：设第三边长为x,
当第三边是斜边时：x2=32+42=25，即x=5
当第三边不是斜边时，则斜边长为4：x2=42－32，即x=
4．此题类似于例3
解：根据题意得：∴∴
5．证明：作DE⊥AB于E
∵AD=BD,DE⊥AB
∴2AE=AB（等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合）
∠DEA=90°（垂直的定义）
又∵AB=2AC
A
B
C
D
E
∴AE=AC
∵AD是角平分线
∴∠1=∠2
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴∠C=∠AED=90°（全等三角形对应角相等）
∴△ACB是直角三角形
三．教师精讲点拨：
1．知识点辨析：
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关．
如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C）
（2）验证与是否具有相等关系，若=，则△ABC是以∠C为直角的三角形．（若>则△ABC是以∠C为钝角的三角形，若<则△ABC是以∠C为锐角三角形）
2．探究题评析：
（1）必须在直角三角形中才能应用勾股定理解决问题；必须在已知三角形三条边大小的情况下才能应用勾股定理的逆定理解决问题．
（2）体验并掌握勾股定理及逆定理在实际问题的应用；
3．规律总结：遇到直角三角形要求边长首先要想到勾股定理的运用；已知三边求角，利用勾股定理的逆定理．
4．方法指导：分类讨论和数形结合的思想方法．
课后提升
一、课后练习题
1．如图，有一块直角三角形的纸片，两直角边AB=6，BC=8，将直角边AB折叠，使它落在斜边AC上，折痕为AD，则AD的长为多少？
2．已知：△ABC中，AD是高，AB＋DC=AC+BD，
求证：AB=AC．
二、课后练习题情况反馈：
教师对课后练习题进行批改检查，然后将具体情况记录在教案上，主要包括整体完成情况．学生答题存在的主要问题及形成原因，同时设计适量的有针对性的变式训练及时纠偏．
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