九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数yax2的图象和性质教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质
01　　教学目标
1．能够用描点法画函数y＝ax2的图象，并能根据图象认识和理解其性质．
2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数与形的结合与转化．

02　　预习反馈
阅读教材P30～32，自学“例1”“思考”“探究”“归纳”，掌握用描点法画函数y＝ax2图象的方法，理解其性质，完成下列内容．
1．一般地，当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小．
2．一般地，当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小．
3．从二次函数y＝ax2的图象可以看出：如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小．
4．(1)抛物线y＝2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；
(2)抛物线y＝－3x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；
(3)在抛物线y＝2x2对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
(4)在抛物线y＝－3x2对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．

03　　新课导入
回顾：一次函数的图象是一条直线．
思考：二次函数的图象是什么形状呢？还记得如何用描点法画一个函数的图象吗？
画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
导入：你能画出二次函数y＝x2的图象吗？
第一步：列表：

x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
　　第二步：描点，在平面直角坐标系中描出表中各点，如图1.
图1
　　图2

第三步：连线，用平滑的曲线顺次连接各点，就得到二次函数y＝x2的图象，如图2.
思考：观察函数y＝x2的图象，它有什么特点？
总结：(1)二次函数的图象是一条曲线，它的开口向上，这条曲线叫做抛物线；
(2)抛物线y＝x2的对称轴是y轴，抛物线与它的对称轴的交点是(0，0)，它是图象的最低点，叫做抛物线的顶点；
(3)在对称轴的左侧，抛物线y＝x2从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线y＝x2从左到右上升．也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．

04　　新课讲授
例1　(教材P30例1)在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．
【解答】　分别列表，画出它们的图象，如图．

x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…

x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y＝2x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…

思考：函数y＝x2，y＝2x2的图象与函数y＝x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
总结：共同点是开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点；不同点是开口大小不同，x2的系数越大，抛物线的开口越小．

例2　(教材P30例1的变式)在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？
【解答】　画出图象如图．

思考：当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象有什么特点？
【点拨】　可从开口方向、对称轴、顶点、开口大小去比较和寻找规律．

【跟踪训练1】　(1)函数y＝－x2的图象是抛物线，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴，开口方向是向下；
(2)函数y＝x2，y＝x2和y＝－2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．

解：根据抛物线y＝ax2中a的值来判断，上面最外面的抛物线为y＝x2，中间为y＝x2，在x轴下方的为y＝－2x2.
【点拨】　抛物线y＝ax2，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，|a|越大，开口越小．

例3　(补充例题)已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)当m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？当x为何值时，y随x的增大而减小？
【解答】　(1)由题意，得
解得
∴当m＝2或m＝－3时，函数为二次函数．
(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，
∴m＋2>0，即m>－2.∴m＝2.
这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，
(3)当x>0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小．
【点拨】　也可结合图象来分析完成此题．

【跟踪训练2】　已知函数y＝(m－1)xm2－2m＋2＋(m－2)x是二次函数，且开口向上．求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律．
解：由题意有
解得m＝0(舍去)，m＝2.
所以二次函数的解析式为y＝x2.
所以当x<0时，y随x的增大而减小，
当x>0时，y随x的增大而增大．

05　　巩固训练
1．抛物线y＝－x2的开口向下，顶点坐标是(0，0)，顶点是抛物线的最高(填“低”或“高”)点．

2．在同一直角坐标系中，抛物线y＝x2与抛物线y＝－x2的形状相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称．
3．当m＝－2时，抛物线y＝(m－1)xm2＋m开口向下，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小．
4．二次函数y＝－6x2，当x1>x2>0时，y1与y2的大小关系是y1<y2．
5．一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点(－1，)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)画出这个二次函数的图象；
(3)根据图象指出，当x＞0时，若x增大，y怎样变化？当x＜0时，若x增大，y怎样变化？

解：(1)由题意，设二次函数解析式为y＝ax2，
将(－1，)代入，得y＝x2。
(2)画出这个二次函数的图象如图．
(3)当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时，y随x增大而减小．

06　　课堂小结
1．画二次函数y＝ax2的图象时，应注意些什么？
2．你是如何理解并熟记抛物线y＝ax2的性质的？

抛物线
y＝ax2(a>0)
y＝ax2(a<0)
顶点坐标
(0，0)
(0，0)
对称轴
y轴
y轴
位置
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方(除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
开口大小
越大，开口越小
越大，开口越小