八年级数学下册 第一章《三角形的证明》1.3《线段的垂直平分线》教案5 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中八年级下册数学教案.doc

《线段的垂直平分线》
教学目标
1、通过实际操作观察并体验线段垂直平分线的定理和逆定理的内容．
2、会用定理和逆定理进行简单证明和计算．
3、会利用圆规、直尺作出线段AB的垂直平分线．
教学重难点
教学重点：线段垂直平分线的定理和逆定理．
教学难点：线段垂直平分线的定理和逆定理的应用．
教学过程
1、操作一
（1）画线段AB的垂直平分线MN．

（2）取MN上任意一点P，连结PA、PB．

（3）线段PA、PB在数量上有什么关系？你会证明吗？
证明：∵MN⊥AB（已知），
∴∠PCA=∠PCB=90°（垂直定义）
在△PCA和△PCB中，
∵AC=BC（已知），
∠PCA=∠PCB（已证），
PC=PC（公共边），
∴△PCA≌△PCB（S.A.S）
∴PA=PB（全等三角形对应边相等）
于是，我们得到：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
数学表达式：
∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等）．
2、练习
（1）已知：如图，线段AB垂直平分线段CD，则AC＝_________．
若线段AB，CD互相垂直平分，则AC=____________．

（2）已知：如图，∠O=34°，BD垂直平分AO，求∠ABC的度数．

3、操作二
（1）画线段AB．
（2）找五个点使它们到点A、B的距离相等．

可以发现这些点都在一条线上，这条线就是线段AB的垂直平分线．

证明：在△MAN和△MBN中，
∵MA=MB（已知），
NA=NB（已知），
MN=MN（公共边），
∴△MAN≌△MBN（S.S.S）
∴∠AMN=∠BMN（全等三角形对应角相等）
又∵MA=MB，
∴AC=BC，MC⊥AB（等腰三角形顶角平分线垂直平分底边）
∴直线MC就是线段AB的垂直平分线．
∴点M、N在线段AB的垂直平分线上．
这也就是说：和线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
数学表达式：
∵PA＝PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上（和线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
观察这两个定理的题设和结论，分析它们的特点，会发现前一个定理的题设和结论正好是后一个定理的结论和题设，我们把这两个定理称为线段垂直平分线的性质定理和逆定理．性质定理的条件是已知了线段的垂直平分线，逆定理的条件是有公共端点的两条线段相等．
例1、已知：如图，在△ABC中AB，AC的垂直平分线相交于点O．
求证：点O在BC的垂直平分线上．

证明：连结OA、OB、OC，
∵点O在AB的垂直平分线上（已知），
∴OA=OB（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等）
同理可得OA=OC．
∴OB=OC（等量代换）
∴点O在BC的垂直平分线上．（和线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
4、练习
已知：如图，AC=BC，AD=BD．
求证：AE=BE．

例2、石油公司计划修建一加油站，到长沙、株洲、湘潭三地的距离相等．你认为该加油站应建于何处？

学生讨论，将题目转化为建立三角形模型．利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，解决问题．

结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等．
5、利用尺规作垂直平分线
小组讨论利用圆规找到线段两端距离相等的点，并学会尺规作图画线段的垂直平分线．
已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线．
作法：（1）分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．
（2）作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．

6、小结
1、学习了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理．
2、学习了尺规作图画线段的垂直平分线．