八年级数学等腰三角形的性质（2）浙教版.doc

等腰三角形的性质（2）
教学目标
1.进一步巩固并掌握等腰三角形的性质定理及其推论
2.会熟练运用等腰三角形的性质定理及其推论，求等腰三角形有关角的度数,
证明等腰三角形中有关的角相等或线段相等.
3.会灵活地运用性质添加恰当的辅助线
4.通过性质定理和推论的运用，进一步培养学生分析问题、解决问题和逻辑推
理的能力，并渗透在几何问题中用代数方法转化为代数问题并解决的数学思想
教材分析
教学重点：等腰三角形性质定理及推论的运用
教学难点：添加恰当的辅助线
教学过程
问题１：等腰三角形的性质定理是什么？
A
图3.12(1)
B
C
结合图形回答：如图3.12（1），在△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C具有怎样的数量关系？

问题２：等腰三角形的性质定理的推论是什么？
结合图形3.12(2)填空：如图3.12(2)，在△ABC中，AB＝AC，
（１）若AD⊥BC,则　
（２）若AD平分∠BAC,则
（３）若BD＝CD,则 　　　

问题３：等腰三角形一个角为70°，求其它的角的度数？
（70°为锐角，它既可能为顶角，也可能为底角。当它为顶角时，其它两角为55°，55°；当它为底角时，其它两角为70°，40°）
问题４：等腰三角形一个外角为50°，求三角形三个内角的度数。
（已知的外角为50°，则与它相邻的内角为180°－50°＝130°，130°为钝角，它只可能为顶角，故底角为25°，25°。三角形的三个内角分别为25°，25°，130°）
问题５：等腰三角形顶角是底角的4倍，求三个内角的度数。
解：设底角为X°，则顶角为4X°，根据三角形内角和定理得
　　　　 X＋X＋4X＝180
X＝30
∴三角形三个内角分别为30°，30°，120°。
（说明：第5题是通过列方程用代数式方法来解的。像这样用代数方法解几何题是我们以后常用的方法。今天我们进一步学习等腰三角形的性质的应用）
例１.已知：如图3.12(3)，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD
图3.12(3)
（１） 指出图中共有几个等腰三角形？
△ABC　△BCD　△ABD
（２） 指图中相等的角？
　 ∠ABC＝∠C＝BDC　　∠A＝∠ABD
(３)求△ABC各角的度数。
解：∵AB＝AC，BD＝BC　　（已知）
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC　（等边对等角）
∵AD＝BD　　（已知）
∴∠A=∠ABD （等边对等角）
∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A　　（三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和）
∴∠C＝∠ABC＝2∠A
设∠A＝Xº，则∠C＝∠ABC＝2Xº，
根据三角形内角和定理有
X＋2X＋2X＝180
　　　　X＝36
图3.12(4)
∴∠A＝36º，∠ABC＝∠C＝72º
例２.已知：如图3.12(3)，点D、E在△ABC的边上，
AB＝AC，AD＝AE
求证：（１）BD＝CE
　　　　　（２）∠BAD＝∠CAD
分析：
（１）如何证明两线段相等？
（２）如何通过三角形全等来证明两条线段相等？ 有几种证明方法？
　　　 （△ABD≌△ACE，△ABE≌△ACD）
（３）观察图中有几个等腰三角形？它们的顶点和底边各有什么特征？
图3.12(5)
F
（４）除了通过三角形全等来证明两线段相等外，还通否运用等腰三角形性质来证明？结合图形的特征应如何添加辅助线？有几种方法？
　 （有三种方法： 1º作DE（或BC）边上的高AF　
2º作DE（或BC）边上的中线AF　
3º作∠BAC（或∠DAE）的角平分线AF）
（５）比较你所添加辅助线的方法中，哪种辅助线最简单？
证明:(1)作AF⊥BC，垂足为F,如图3.12（5），
∵AB=AC，AD=AE，
AF⊥BC，AF⊥DE，
∵AF=BF，DF=EF
∴BD=CE
(2) ∵AB=AC，AD=AE，
AF⊥BC，AF⊥DE，
∴∠BAF＝∠CAF, ∠DAF＝∠EAF
∴∠BAD＝∠CAD
例3.关于撑伞的数学问题
　　已知：如图3.12(6)，AB＝AC，DB＝DC
　　问：图中可以得到哪些结论？
　　　引导学生已知完成
　　解答：（1）∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠DCB
　　　　　（2）AD平分∠BAC、∠BDC，AD⊥BC，AD平分BC
图3.12(7)
图3.12(6)

练习:
已知：如图3.12(7)，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
求证：EF⊥AD
（先利用三角形全等证明AE＝AF，再利用“三线合一”的性质证明EF⊥AD）
课堂小结
1.通过列方程（组）用代数方法解决几何计算题是几何中常用的方法，要善于将几何的定理、关系式转化为方程。
2.研究等腰三角形的问题，常添加的辅助线是顶角的平分线，底边上的中线和高线，虽然三线合一，有时三种均可，有时只能其一，但添辅助线要根据具体情况选择最恰当的添画方式。
3.要灵活地应用等腰三角形的性质及推论证明线段相等、角相等及两线垂直问题。
课堂检测
　1.已知：如图3.12(8)，D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，∠ DBP＝∠ DBC
图3.12(8)
　　求证：∠P＝ 30º
　 证明：在△BPD和△BCD中

　　　在△ADC和△BCD中

　　 ∴∠ P＝30º
2．已知：如图3.12（9）,在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE.
　　求证：EF⊥BC
图3.12(9)
　　证明：作BC边上的高AM，M为垂足
　　　 ∵AM⊥BC
　　　∴∠BAM=∠CAM
　　　又∵∠BAC为△AEF的外角
　　　∴∠BAC =∠E+∠EFA
　　　即∠BAM+∠CAM=∠E=∠EFA
　　　∵∠AEF=∠AFE
　　　∴∠CAM=∠E
图3.12(10)
　　　∴EF∥AM
　　　∵AM⊥BC
　　　∴EF⊥BC
3 ．已知：如图3.12(10)，在△ABC 中，AB=AC， CD⊥AB于D，
求证：∠BAC=2∠DCB
分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意、图形，观察已知角、边间的特殊性. ∠BAC是等腰三角形的顶角，因此较容易找到它的半角. 从而转化为两角间的相等关系.
证明：过点A作AE⊥BC于E.
　　　 ∵AB=AC
∴ ∠1=∠2=∠BAC
　　∵∠1+∠2=90º
∴CD⊥AB
∴∠CDB=90º
∴∠3+∠B=90º
∴∠1=∠3
即∠BAC=2∠DCB