八年级数学等腰三角形的判定（3）浙教版.doc

等腰三角形的判定（3）
教学目标
1.灵活地运用等腰三角形的判定定理进行有关证明．
2. 通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.
教材分析
教学重点：运用等腰三角形的判定定理进行有关证明
教学难点：将文字语言转换为数学语言.
教学过程
A
图3.13(1)
D
C
B
E
1
2
O
提问: 等腰三角形的判定定理及推论.
例1.求证: 等腰三角形两底角的平分线的交点到底边的两端点距离相等.
已知：如图3.13(1)，在△ABC 中,AB＝AC，BD、CE是△ABC的角平分线,且BD、CE交于点O.
　　求证：OB=OC
证明:  ∵AB=AC
∴ ∠BAC=∠ACB
又∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB
∴ ∠1=∠2
A
图3.13(2)
E
C
B
D
∴OB=OC
例2. 已知：如图3.13(2)，△ABC 是等边三角形,DE∥BC,交AB、AC于D、E.
　　 求证：△ADE 是等边三角形.
证明： ∵△ABC 是等边三角形
∴ ∠A=∠B=∠C
∵DE∥BC
∴ ∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
∴∠A= ∠ADE= ∠AED
A
B
C
G
E
D
图3.13（3）
∴△ADE 是等边三角形.
例3．如图3.13(3)，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且CE=BD，
　　求证：DF=EF

分析：要证DF=EF，其中DF在△BDF中，EF在△CEF中，而△BDF与△CEF不可能全等，这样需添加辅助线，由于辅助线的作法有多种情况，致使本题有多种解法。

图3.13(4)
证法1：过D点作DG∥AE交BC于G，如图3.13(4)
　　　则∠4＝∠5， ∠1＝∠E，∠3＝∠2
∵AB＝AC　
∴∠B＝∠4　
∴∠B＝∠5　
∴BD＝DG
∵BD＝CE　
∴DG＝CE
　　　在△DFG与△EFC中

　　　∴△DFG≌△EFC
　　 ∴DF=EF
图3.13(5)
　　证法2：过E点作EG∥AB交BC的延长线于G，如图3.13(5)
　　　 ∠B=∠G
∵AB=AC　
∴∠B=∠ACB
∵∠ACB=∠ECG　
∴∠ECG＝∠G
∴EG＝EC　
∵BD＝EC　
∴BD=EG
　　　在△BDF与△GEF中

　　　∴△BDF≌△GEF
　　　∴DF=EF
　　证法3：过D点作DG⊥BC垂足为G，过E作EH⊥BC，垂足为H.如图3.13(6).
图3.13(4)
　　 则∠DGB＝∠EHC=90°，
图3.13(6)
∵AB＝AC　
∴∠B＝∠1　
∵∠1＝∠2
　　　∴∠B＝∠1
在△BDG与△CEH中，

　　　∴△BDG≌△CEH（AAS）
　　　∴DG=EH
在△DGF和△EHF中，

∴△DGF≌△EHF（AAS）
∴DF=FE

课堂小结
1． 用等腰三角形的判定定理进行有关证明，会把文字命题转化为数学命题。
2．在证明的过程中，要注意添加辅助线，不同的添加法会得到不同的解法，有助于培养发散思维和创新思维能力。
课堂检测
1． 已知：如图3.13（7）,△ABC中∠A=2∠B、CD平分∠ACB。

　　求证：BC=AC+AD
　　分析：等量关系通常在三角形中寻找，因此经常需要构造三角形。对于线段和或差的问题通常通过截长或补短转化为线段间的等量关系。
图3.13(8)
　　证法1：（截长法）如图3.13（8）
　　　在BC上截取CE=CA连结DE。
　　　∵CD平分∠ACB
　　　∴∠1=∠2
　　　在△ACD和△ECD中

　　　 ，AD=DE

　　　 BE=DE
　　　 AD=BE
图3.13(9)
　　　 BC=BE+EC
　　　  BC=AC+AD
　　证法2：延长CA到E，使AE=BD连结DE,如图3.13(9).
　　　由条件推出△CED≌△CBD(SAS)
　　　∴CE=CB  ∠E=∠B
　　　∵∠3=2∠B
　　　∴∠3=2∠E
　　　∴∠4=∠E
　　　∴AE=AD
　　　∵EC=AC+AE
　　　∴BC=AC+AD
　　小结：对于线段之间倍半关系，常采用“截长补短”等辅助线的添加方法，或构造“倍”，或构造“半”，从而转化为线段间的等量关系.
图3.13(10)
　2．一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75° ，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行有无触礁的危险。
　　分析：本题是特殊的实际问题，首先根据题意画出符合实际条件的图形，然后用数学知识来解决。因为小岛周围3.8海里内有暗礁，这样要求出小船距小岛的最短距离是大于3.8海里还是小于3.8海里。如图所示也就是求出PC的长度即可。
　　解：由题可画图3.13(10)，则AB＝7海里
　　过点P作PC⊥AB，垂足为C.由题中分别在A、B两测得P的方位角可知：
　　　∠PAB＝15° ，∠PBC＝30°
　　　∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝15°
　　　∴∠PAB＝∠APB
　　　∴PB＝AB＝7
　　　在Rt△PBC中，∵∠PBC＝30°
　　　∴PC＝ PB＝×7＝3.5
　　就是说C点距P只有3.5海里，而小岛P周围3.8海里内有暗礁，所以该船一直向东航行有触礁的危险.
　　小结：在平面上用角度表示方向的问题，是常见的问题.虽然在第一册中已见过一些，在这里还要进一步讲清怎样用角度表示平面内的方向问题。
3、如图3.13(11)，AD∥BC，AB=AD+BC　E为CD的中点.
求证：AE平分∠BAD.