初三数学第一学期 圆中的计算问题 华东师大版.doc

初三数学第一学期 圆中的计算问题一. 本周教学内容： 1. 圆中的计算问题 2. 全章复习二. 重点、难点： 重点： 1. 弧长公式、扇形面积公式的应用。 2. 圆柱、圆锥侧面积、全面积的应用。 3. 圆的认识、与圆有关的位置关系复习。 难点： 1. 添加辅助线的规律。 2. 数学思想、方法渗透。 3. 最新中考题题型及解题方法剖析。【典型例题】一. 圆中的计算问题 例1. 一个小孩荡秋千，如图1所示，秋千链子的长OA为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角BOD恰好为60，并且两边摆动角度相同。求： （1）秋千摆至最高位置时与其摆到最低位置时的高度之差； （2）秋千从B点摆到至D点所走过的路程（结果都精确到0.01m）。（2004年新疆乌鲁木齐中考题） 解析：由实例可抽象出如图2的扇形，从而（1）可用垂径定理解答。而第（2）问即是求的弧长，可用弧长公式求解。 答案：（1）如图2，连接BD交OA于点C 于是BOA=DOA=30，AOBD 在RtOCD中， 答：（1）最高点与最低点的高度差约0.33米，（2）从B摆到D所走过的路程约为2.62米。 例2. 若一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且它们的面积相等，则这个扇形的圆心角为_度。 解析：设圆的半径为r 则扇形的半径为3r，圆的面积为，扇形的面积为。 于是，所以n=40，即圆心角为40o。 答案：40 例3. 如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，若OA=4cm，以AB为直径作半圆，求图中阴影部分的面积。 解析：欲求图形中阴影部分的面积，必须分析阴影部分的面积的组成是否有直接的公式计算，如果是不规则的图形，则应分割为可求图形面积的和或差或倍数来解决。 图中阴影部分面积等于以AB为直径的半圆面积减去弓形AmB的面积，其弓形面积。 答案：因为OA=4cm，O=90，OB=4cm 所以 又AB=（cm） 所以 而 故 例4. 一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。 解析：画出如图的示意图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长L，底面圆半径。由圆锥定义可知，圆锥的高、母线和底面圆半径构成直角三角形即RtSOA，且SO=10，SA=L，OA=r，可找到L与r的关系。再由侧面展开图是半圆，可得关系，即L=2r。 答案：设圆锥底面圆半径为r，扇形弧长为C，母线长为L。由题意，得，又，所以，即L=2r。 在RtSOA中，。 由、解得， 故所求圆锥侧面积为 例5. 如图所示，一个圆柱体的高为20厘米，底面半径为6.7cm，在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁，想吃到与A点相对的上底面B点的一颗砂糖，这只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱形的曲面爬到B点，最短路线多长（精确到0.1cm）？ 解析：蚂蚁的爬行路线我们难以想像，但当我们将圆柱的侧面展开后，得到一个矩形，由两点间距离最短，易得结论。 答案：圆柱的侧面展开图为矩形AMNP。如图，从A到B的最短路线，即是从A到NP的中点间的距离的长。 在中，AP=20cm 由勾股定理得 答：最短路线长为29.0cm。二. 全章复习 例1. （2003年黑龙江中考题）如图，O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有（ ） A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 解析：过点O作ODAB于D，由垂径定理，有，连结OB，在RtBOD中，所以OP只能为3、4、5三个数，再由P点的位置知，这样的点有5个。 答案：D 例2. （2002年呼和浩特中考题）如图，AB是O的直径，弦AC、BD相交于点P，则等于（ ） A. sinBPCB. cosBPCC. tanBPCD. cotBPC 解析：连结BC，因为AB是O的直径，所以ACB=90，由A=D，ABP=DCP，得ABPDCP，故。 答案：B 例3. （2003年浙江金华市、衢州市中考题）如图，、交于A、B两点，点在上，两圆的连心线交于E、D，交于F，交AB于点C。请根据图中所给出的已知条件（不再标注其他字母，不再添加任何辅助线），写出两个线段间的关系式：（1）_；（2）_。（半径相等除外） 解析：由圆的轴对称性知：AC=BC；由是直径，=90，而AC，易得FAC，故可得，等。 答案：如AC=BC，等。 例4. （2004年湖北武汉市中考题）如图所示，AC为O的直径，PA是O的切线，切点为A，PBC是O的割线，BAC的平分线交BC于D，PF交AC于F，交AB于E，要使AE=AF，则PF应满足的条件是_（只需填一个条件）。 解析：若AE=AF，则AEF为等腰三角形。又因AD平分EAF，所以PFAD。因填条件PFAD即可。若继续探究，可得另一个条件PF平分APC。 答案：PFAD，或PF平分APC。 例5. （2003年河南省中考题）如图，某燃料公司的院内堆放着10个外径为1米的空油桶，为了防雨，而搭建简单防雨棚，这个防雨棚的高度最低应为_米（取1.73，结果精确到0.1米）。 解析：先求圆心组成的等边三角形的角，其高为，再求雨棚的高度，其高至少为米。 答案：3.6 例6. 2004年四省区国家基础教育课程改革实验区（灵武）中考题如图，当半径为30cm的转动轮转过120角时，传送带上的物体A平行移动的距离为_cm。 解析：传送带上的物体平行移动的距离等于半径为30cm，圆心角为120的扇形的弧长，其长为。 答案： 例7. 2004年辽宁大连市（实验区）中考题如图1，O的直径DF与弦AB交于点E，C为O外一点，CBAB，G是直线CD上一点，ADG=ABD。求证：。 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来（要求至少写3步）。（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。 CDB=CEB； AD/EC； DEC=ADF，且CDE=90。 答案：证明：如图2，连结AF，则ABD=F ADG=ABD，ADG=F DF为O的直径，DAF=90 ADF+F=90 ADG+ADF=FDG=90 DAF=CDE=90 CBAB CBE=90 取EC中点M，连结DM、BM，则DM=BM=CM=EM 即D、E、B、C在以EC为直径的圆上 ABD=DCE DCE=F DAFEDC （一）没有直接解答问题写出探究过程。 思路一：如图1，连结AF DF为O的直径，DAF=90 ADF+F=90 ADG=ABD，ABD=F ADG=F ADF+ADG=90，DFCG 思路二：如图2，连结AF DF为O的直径，DAF=90 ADF+F=90 CBAB，CBD+ABD=90 ABD=F，ADF=CBD 思路三：如图3，连结BF DF为O的直径，DBF=90 ABD+ABF=90 ADG=ABD，ADF=ABF ADG+ADF=90，即GDF=90 CG切O于D 思路四：如图4，连结AF 要证 需证DAFEDC 需证F=DCE，ADE=DEC 要证ADE=DEC，需证AD/CE 要证F=DCE，需证DCE=DBA （二）选取。 如图3，连结AF，则ABD=F ADG=ABD，ADG=F DF为O的直径，DAF=90 ADF+F=90 ADG+ADF=FDG=90 DAF=CDE=90 CD是O的切线 BAD=BDC BDC=CEB，BAD=CEB AD/EC，ADF=DEC DAFEDC （3）选取。 如图5，连结AF，BF ADG=DBA，ADF=ABF ADG+ADF=DBA+ABF 即GDF=DBF DF是O的直径 DBF=DAF=90 GDF=90，DAF=EDC=90 AD/CE，ADE=DEC ADFDEC， （四）选取。 证明：如图5 DF是O的直径，DAF=90 CDE=90，DAF=COE 又ADF=DEC，ADFDEC 【模拟试题】（答题时间：80分钟）一. 填空题（3分12=36分） 1. 一个点到一个圆的最短距离为4cm，最长距离为8cm，则这个圆的半径为_。 2. 已知O的半径为5cm，点P在圆内，且OP=3cm，则过P点的最大弦为_，最短弦为_。 3. 如图，在O中，AB是O的直径，AOC=130，则D的度数为_。 4. 在RtABC中，C=90，AB=10，AC=6，以C为圆心，以5为半径作C，则C与AB的位置关系是_。 5. 如图，已知O的弦AC、BD相交于点E，点A在运动，当点A的位置在_时，ABEACB。 6. 扇形的圆心角为150，半径为4cm，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为_。 7. 在ABC中，I是内切圆圆心，如果A=80，那么BIC=_。 8. 如图，P是O直径BC反向延长线上一点，PA是O的切线，P=20，则ACP=_。 9. 若与的半径分别为2和1，圆心坐标分别是（1，2），（2，1），则两圆的位置关系是_。 10. 如图，A、B、C、D是圆周上四点，且弦AB=8，弦CD=4，则图中两个弓形（阴影）的面积和是_。 11. 如图，半圆O的圆心在梯形ABCD的下底AB上，且另外三边AD、DC、CB均与半圆O相切。已知，则AB的长为_。 12. 内切两圆的半径长分别是方程的两根，已知两圆圆心距为1，其中一圆半径等于3，则p+q=_。二. 选择题（3分10=30分） 13. 在半径为12的圆中，垂直且平分半径的弦的长为（ ） A. B. C. 24D. 14. 如图，已知PA切O于A，PB切O于B，OP交AB于C，则图中能用字母表示的直角共有（ ） A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 15. 在半径为6cm的圆中，75的圆周角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 16. 已知O的直径AB=12cm，P为OB的中点，过P作CD，与AB成30角，则弦CD的长为（ ） A. B. C. D. 17. 用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆形（ ） 18. 如果圆锥的高为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 19. 直角三角形的两条直角边的和为8，斜边为6，则内切圆的半径为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 20. 两圆的半径分别为R，r（Rr），圆心距为d，且满足等式，则这两圆的位置关系是（ ） A. 相交B. 外切C. 内切D. 内切或外切 21. 如图，AB是O直径，P是BA延长线上一点，PC切半O于C，AD切O于A，交PC于D，若AD=2，CD：DP=1：2，则O直径AB长为（ ） A. B. C. 2D. 4 22. 如图，有一张180160cm（长为180cm，宽为160cm）的矩形木板，木工师傅要用它锯出直径为40cm的小圆面，用于制作花盆架，请你设计一下这张木材最多可以锯成这样的小圆面（ ） A. 16个B. 18个C. 19个D. 20个三. 解答题（2326题每题8分，27题10分，共42分） 23. 如图所示，AB是O的直径，C为圆上一点，CDAD于D，且AC平分DAB，连结OC，那么DC是O的切线吗？为什么？ 24. 如图，O的割线PAB与PCD的夹角为40，的度数为142，求AEB的度数。 25. 如图，AB是O的直径，OEAC于E，OFAD于F，OE=OF，且AB是AC与AD的比例中项，试说明：BC是O的切线。 26. 如图，EB是O的直径，A是BE延长线上一点，过A、B分别作O的切线相交于C，B、D为切点，且BE=BC=6，求AD的长。 27. 如图，AB是O的直径，点P在BA的延长线上，弦CDAB于E，POC=PCE，（1）求证：PC是O的切线；（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求O的半径。四. 探究题（12分）（选做） 28. 如图1，和内切于点P，C是上任一点（与点P不重合）。 实验操作：将直角三角形的直角顶点放在点C上，一条直角边经过点，另一条直角边所在直线交于点A、B，直线PA、PB分别交于点E、F，连结CE（图2是实验操作备用图）。 探究：（1）你发现有什么关系？用你学过的数学知识证明你的发现； （2）你发现线段CE、PE、BF有怎样的比例关系？证明你的发现。 附加题：如图3，若将上述问题的和由内切变为外切，其他条件不变，请你探究线段CE、PE、BF有怎样的比例关系，并证明。参考答案 1. 6cm或2cm 提示：若点在圆内，则直径为4+8=12cm，故半径为6cm；若点在圆外，则直径为，半径为2cm。 2. 10cm，8cm 提示：圆内最大弦为直径，最短弦为垂直于这条直径且过P点的弦。 3. 25 提示：因AOC=130，所以BOC=50，于是D 4. 相交 提示：由勾股定理知BC=8，过C作CDAB于D，则，所以CD=4.85，即dr。 5. 中点 提示：若ABEACB，则C=ABE，于是需要。 6. 提示：圆锥的表面积等于侧面积与底面积的和，设底面半径为r，则，。底面圆面积为，侧面积为，故表面积为。 7. 130 提示：BIC=180ABCACB=180（ABC+ACB）=180（180A）=90+A=130。 8. 35 提示：连结OA，则OAPA，所以AOP=70，又OA=OC，C=OCA=AOP=35。 9. 相交 提示：易求 10. 提示：将弧顺时针旋转，使C点与A点重合，则旋转后的两个弓形组成的弧为半圆。 11. a+b 提示：连结OD，OC，则ADO=CDO，BCO=DCO，又因为AB/CD，所以CDO=AOD，DCO=BOC，从而AOD=ADO，BOC=BCO。 12. 1或5 提示：圆心距为1，一圆半径为3，两圆相切，则另一圆半径为2或4。当两圆半径为2和3时，当两圆半径为3和4时，。 13. B 提示：半径，圆心距和半弦构成直角三角形，由勾股定理可求解。 14. D 提示：直角有OAP，OBP，ACO，BCO，ACP，BCP，共6个。 15. B 提示：75圆周角对应的圆心角为752=150，其对应弧长为。 16. A 提示：过O作OECD于E，OP=3，OPE=30，所以，连结OC，则，。 17. B 提示：90的圆周角对应的是半圆（直径）。 18. B 提示：母线、高、半径构成直角三角形，故底面圆半径，侧面积。 19. A 提示：直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半。 20. D 提示：由得，即=0，从而或。 21. A 提示：连结OC，CD=AD=2，又CD：DP=1：2，所以PD=4，从而PA=，PC=6，易证PADPCO，从而，即，。 22. B 提示：沿一边宽并排锯四个，接着和锯下的圆面相切锯三个，共可锯出4+3+4+3+4=18个。 23. 因为OA=OC，所以OAC=OCA，又因为OAC=DAC，于是DAC=OCA，所以OC/AD，而ADCD，所以OCCD，故CD是O切线。 24. 因为的度数为142，所以BAD=71，又因为P=40，所以B=D=71o40=31，从而AEB=180BADB=78。 25. 连结BD，因为OE=OF，所以BAC=DAB，又因为，即，故ABDACB，所以ADB=ABC，由于AB是O的直径，所以ADB=90，从而ABC=90，BCAB，即得BC是O的切线。 26. 连结OD，则ODAD，BC是O的切线，所以ABBC，因为BC=BE=6，所以DC=6，BO=EO=DO=3，设AD为x，则在RtADO和RtABC中，所以，（舍去），故AD=4。 27. （1）在OCP与CEP中，因为PCO=PCE，OPC=CPE，所以OCP=CEP，又因为CDAB，所以CEP=90，OCP=90，PCOC，故PC是O的切线。 （2）设OE=x，则EA=2x，OC=OA=3x。因为COE=AOC，OEC=OCP=90o，所以OCEOPC，从而，即，解之得x=1，所以OA=3x=3。 28. 实验操作，图形正确。 （1）证法一：如图1，过P点作两圆外公切线MN，连结EF MN为两圆的外公切线 NPB=PEF=A，EF/AB。 又， 又为的半径，。 证法二：如图2过点P作两圆的外公切线MN，连结CP。 AB，的半径， AB切于C，BCP=CEP MN为两圆外公切线，MPA=B=PCE CPE=CPB， 证法三：如图3，连结PC并延长交于G，连结。 P为切点，则在上 ， 又，= ， AB，AB 探究（2）结论： 证法一：如图4，连结CF AB切于C，BCF=CPB CPB=CPE，BCF=CPE 是四边形ECFP的外接圆，CFB=CEP BCFCPE， 又 证法二：如图5，连结CF AB切于C PCB=PEC 又EPC=CPB PECPCB AB切于C， BCF=CPB 又B=B，CFBPCB 附加题： 图正确，结论： 证法一：如图6，过点P作两圆的内公切线MN，连结CF，EF，PC BC，为的半径 BC切于C MN是两圆的内公切线 MPE=EFP，NPA=B 又MPE=NPA，EFP=B EF/BC，EF B=EFP，EFP=ECP B=ECP 又PEC=PFC，EPCFCB 证法二：如图6，过点P作两圆的内公切线MN，连结CF，EF，CP MN是两圆的内公切线 MPE=EFB，NPA=B MPE=NPA，EFB=B CB，是的半径 BC切于C，PCB=PFC FEC=FPC=PCB+B，EFC=PFC+EFB FEC=EFC，CF=CE 余下同证法一