初三数学第一学期分式的概念及基本性质 华东师大版.doc

初三数学第一学期分式的概念及基本性质
一. 本周教学内容：
1. 分式的概念及基本性质
2. 分式的运算

二. 重点、难点
重点：分式的基本性质、分式的运算
难点：分式的运算

三. 知识精讲及例题分析
（一）知识梳理
1. 分式的概念
形如（A、B是整式，且B中含有字母，）的式子叫做分式。其中A叫分式的分子，B叫分式的分母。
注：
（1）分式的分母中必须含有字母
（2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义

2. 有理式的分类

3. 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
，（M为整式，且）

4. 分式的约分与通分
（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
步骤：
①分式的分子、分母都是单项式时
②分子、分母是多项式时
（2）通分：把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定基础。
通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。
求最简公分母的步骤：
①各分母是单项式时
②各分母是多项式时

5. 分式的运算
（1）乘除运算
（2）分式的乘方
（3）分式的加减运算
（4）分式的混合运算

【典型例题】
例1. 下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。
，，，，，，，
分析：本例主要考查的知识点是分式的概念。正确地理解与区分整式和分式的概念是解题的关键。整式包括单项式和多项式，分式是指形如，其中A，B都是整式，且B中含有字母的式子，所以，判断一个有理式是否为分式就是看分母中是否含有字母，若有，则为分式；若无，则为整式。
解：整式有：；
分式有：。
点拨：
（1）为圆周率，是一个常数，不能看作字母。
（2）判断是否是分式，只看形式，不能看化简后的结果。

例2. 下列分式何时有意义
（1） （2） （3） （4）
分析：只有当分式的分母不等于零时，分式才有意义。
解：（1）由得，当时，分式有意义。
（2）由可得，当且时，分式有意义。
（3）由得，当且，分式有意义。
（4）由得，，当且时，分式有意义。
点评：首先求出使分母等于零的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义。

例3. 下列分式何时值为零
下列各式中x为何值时，分式的值为零？
（1） （2） （3）
分析：分式的值为零，要求分子等于零且分母不等于零。
解：（1）当，即时，分式的值为零。
（2）当，即时，分式的值为零。
（3）当，即时，分式的值为零。
点评：（3）题中分母为，要使其不为0，则且，所以有且。

例4. 考查分式基本性质
1. 填空。
（1） （2）
（3） （4）
分析：填入的式子应使等式左右两边相等，如（1）式右边分子是左边的分子乘了y，所以由分式的基本性质，分母也要乘以y，才能使其值不发生变化。
解：（1）
（2）
（3）
（4）
点评：分子分母乘的数必须是同一个，其中（3）式分子变形后是，应写成。

2. 不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数。
（1） （2）
分析：（1）式的分子、分母要同乘以50；（2）中的分子分母要同乘以12。即分子分母同乘各分母的最小公倍数。
解：（1）
（2）
点评：乘以同一个数时要兼顾各项，不要漏项，如果扩大倍数化为整系数之后能约分，则要进行约分。

例5. 约分
（1） （2）
（3） （4）
分析：本例所考查的知识点是约分的方法。（1）（2）两式的分子、分母都是单项式或几个因式乘积的形式，所以可以直接约去分子、分母的系数的最大公约数和分子、分母中相同因式的最低次幂；（3）式的分子、分母是多项式，应该先分解因式再约分；而（4）题的分子、分母看似没有公因式，实质应进一步分解因式，且要把每一个因式的最高次系数化为正数。
解：（1）
（2）
（3）
（4）

点拨：分式运算的结果一般把分子和分母均按照字母降幂排列，且尽量使最高次项的系数为正。

例6. 通分：
（1）
（2）
分析：本例所考查的知识点是通分的方法。通分的关键是确定最简公分母，如果分母是单项式，应从系数、相同字母、不同字母三个方面确定最简公分母；如果分母是多项式，应先分解因式，然后把每个因式当作一个因数（或字母），再按照单项式求最简公分母的方法，确定最简公分母。
解：（1）最简公分母是

（2）最简公分母是

点拨：
（1）通分时所取的公分母必须是最简公分母，否则会使计算繁琐。
（2）当两个分式的分母中某个因式只差一个符号时，应提取负号，变成相同的因式。

例7. 分式运算
1. 计算：
（1）；
（2）
（3）
（4）
分析：本例考查的知识点是分式的乘除运算。当分式运算中有乘除运算时，应把乘除运算都转化为乘法运算来进行，在运算过程中要注意正确确定结果的符号。当分子、分母中出现多项式时，应先分解因式再计算，整式可看作分母是1的分式。
解：（1）
（2）
（3）
（4）
点拨：分式的除法运算，常常转化为乘法运算。根据乘法法则应先把分子、分母分别相乘，化成一个分式后再约分，但在实际演算时，可根据情况先约分，再相乘，这样做既简单易行，又不易出错。

2. 计算：
（1）；
（2）
分析：本例所考查的知识点是分式乘除、乘方混合运算。在计算过程中，如果既有乘除运算，又有乘方运算时，要先对分式进行乘方，再把除法转化为乘法来进行运算。运算的顺序是先乘方，后乘除。
解：（1）

（2）

点拨：在对分式进行乘方时，除了注意把分式的分子、分母分别乘方外，还要注意乘方中的符号问题。

3. 计算：
分析：本例所考查的知识点是异分母分子的加减运算。根据法则，应先通分，化为同分母分式再计算，但本例如果一次通分，计算比较复杂，注意到各分母可逐次运用平方差公式，因而可采用逐步合并的方法。
解：

4. 计算：
错解：
错解分析：上述解法错在第一步，应该把看作分母是1的式子，写成或，而不是。
正解：
考点：分式的运算是中考的必考内容。分式的混合运算及化简求值是历年来中考的热点，每年的中考题对该类题目都有考查，特别是与二次根式、三角函数等相联系的有关化简，求值的题目更是频繁出现。另外，灵活运用各种运算技巧进行分式运算也是不容忽视的一个方面。

5. 计算：
分析：本例所要考查的是分式的加减乘除混合运算，分式的混合运算一般先算乘除，后算加减，有括号先算括号内的。分子或分母如果出现多项式应先分解因式。
解：

点拨：
（1）分式运算过程中应特别注意符号。如运算过程中不能漏掉负号。
（2）在运算过程中，如果分式分解因式后自身就能约分，可先约分，这样可以简化运算过程。

6. 计算：
错解：原式

错解分析：这道题的做法有两处错误：一是未按运算顺序运算，不应该把和先约分，而应该把除法转化成乘法后，按从左到右的顺序运算；二是出现了符号错误，和约分后的结果不是1，而是。
正解：原式

忽视运算顺序，错用乘法分配律。
7. 计算：
错解：

错解分析：解错此题的原因是自造所谓的除法分配律。事实上，。
正解：

例8. 能力提高题
1. 已知，求的值。
分析：本例所考知识点是分式和完全平方公式。根据现有知识，不可能直接求出x的值。根据完全平方公式知。若能求出的值则问题即可解决。由，可知，则，，从而问题得解。
解：
两边同除以x，得，即
，即
点拨：准确把握乘法公式，灵活对乘法公式进行变形是解决本题的关键。另外，，，，……具有对称性及与，与，与的互为倒数性，都可以用或表示。如：
，；

2. 已知，求的值
分析：首先应排除一种错误的想法，若试图从已知条件中求出x以及y的具体值，然后代入求值，显然是行不通的。那么如何求呢？待求的分式也不能化简。所以应该着眼于找已知与未知之间的“桥梁”，即共同点，这就需要利用分式的基本性质把已知条件变形。
解法一：由，可知，故在等式两边同乘以xy
得
故
解法二：，将所求分式的分子分母同除以xy，得

点拨：
（1）利用分式基本性质变形时，必须注意所乘的（或所除的）整式不能为零。
（2）运用整体代入法求值是解决本题的关键。
（3）交待很重要。一方面，这是应用分式基本性质的要求，另一方面，它是以后解分式方程检验增根的理论依据。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 填空
1. 分式有意义，则x_____________
2. 若分式的值为零，则x＝___________
3. 计算：__________
4. ____________
5. 化简的结果为____________
6. 已知，则分式_________
7. 不改变分式的值，使它的分子、分母的最高次项的系数都是正数，则_________
8. 若，则的值为__________
9. 已知与互为相反数，则式子的值是_________
10. 如果，则m与n的关系是____________

二. 选择题
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列等式中不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 化简的结果是（ ）
A. 0 B. C. D.
4. 计算的正确结果是（ ）
A. －1 B. 1 C. D.
5. 下列各式与相等的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 分式中x、y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A. 变为原来的2倍 B. 不变
C. 变为原来的4倍 D. 无法确定
7. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如果分式的值为零，那么x等于（ ）
A. －1或1 B. 1 C. 1 D. 1或2
9. 小明从家到学校每小时走a千米，从学校返回家里每小时走b千米，则他往返家里和学校的平均速度是每小时走（ ）
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
10. 若代数式的值为零，则x的取值应为（ ）
A. 或 B.
C. D.

三. 解答题
1. 已知，求的值。
2. 计算：
（1）
（2）
（3）
3. 先化简再求值
（1），其中
（2），其中
（3），其中

四. 阅读理解题
1. 请你阅读下列计算过程，再回答所提出的问题。

A
B
C
D
（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误：__________
（2）从B到C是否正确：_________
（3）请你写出正确的解题过程。
2. 先阅读，然后回答问题。
若，求的值。
解：因为，所以（第一步）
所以

（第二步）
（1）回答问题：
①第一步运用了____________的基本性质；
②第二步的解题过程运用了__________的方法，由得，是对分式进行了_______。
（2）模仿运用，已知，求的值。

[参考答案]

一. 填空
1. 2. 2 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.

二. 选择题
1. C 2. B 3. D 4. C 5. C 6. A 7. A
8. A 9. B 10. D

三. 解答题
1.
2. （1）原式
（2）原式
（3）原式
3. （1） （2） （3）0

四. 阅读理解题
1. （1）C （2）否
（3）解：

2. （1）①分式；②等量代换；约分
（2）设
，