初三数学第一学期一元二次方程的概念及一元二次方程的解法 华东师大版.doc

初三数学第一学期一元二次方程的概念及一元二次方程的解法
一. 本周教学内容：
一元二次方程的概念及一元二次方程的解法

二. 本周教学难点及重点：
重点：一元二次方程的解法。
难点：配方法解一元二次方程。

三. 知识精讲
［知识梳理］
1. 一元二次方程的定义。
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
[注]：
（1）整式方程：方程两边都是关于未知数的整式。
（2）只含一个未知数。
（3）未知数的最高次数是2。
2. 一元二次方程的一般形式。
一般形式是：（a≠0，a，b，c为常数）
其中a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项。
[注]：a≠0
3. 一元二次方程的解
如果一个数能使一元二次方程左右两边的值相等，那么这个数就是一元二次方程的解。
4. 一元二次方程的解法
（1）直接开平方法
形如①，或②，方程可以利用平方根的定义，用直接开平方法解得其根。其中①的解是，②的解是。
［注意］
因为正数a的平方根有两个，即，所以利用直接开平方法时要避免丢解。
（2）配方法解一元二次方程
把方程变为左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解。
［注意］
配方的关键是，在二次项系数为1的条件下，方程的两边都加上一次项系数一半的平方。

【典型例题】
考查一元二次方程的概念
例1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：要看一个方程是否为一元二次方程，就要严格按概念来对照，因此解答的关键是理解一元二次方程的概念，在二次项系数不等于零上常会出现错误。
解：A中最高次项为ax2，因无法判定a是否不为零，所以不能确定该方程是否为一元二次方程；B中最高次项为k2x，显然不是关于x的一元二次方程；C中方程是一元二次方程；D中分母含有未知数，所以不是整式方程，从而也一定不是一元二次方程。
答案：C
点评：本题考查一元二次方程的概念，所给方程要想是一元二次方程，必须符合一元二次方程的三个本质特征。

例2. 方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A. m＝±2 B. m＝2
C. m＝－2 D. m≠±2
分析：本题考查一元二次方程的概念，要使方程是一元二次方程，则必须含有二次项，且二次项系数不能为零。
解：由题意得，
∴m＝2
答案：B
点评：m满足的条件有二，即二次项的未知数指数是2，系数不等于零，特别注意条件二的系数不等于零，此处易忽略。

例3. 若是一元二次方程，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
分析：由方程是一元二次方程，可得a≠0，再解不等式。
解：∵是一元二次方程，∴a≠0
又∵，∴，即且a≠0
答案：C
点评：在不等式的解集中附加第一个条件。

例4. 若是关于x的一元二次方程，则m＝_____________。
分析：方程是一元二次方程，则其最高次项是二次，它可能是与，也可能只有，所以本题应分类讨论。
解：∵方程是一元二次方程，
∴
∴
点评：的指数是2或1或0，均可保证方程是一元二次方程。

例5. 已知是关于x的一元二次方程，求不等式的解集。
分析：方程是一元二次方程，限制了k的一个范围，求出不等式的解的集合，应将此解集与前面k的范围加以整合。
解：∵是关于x的一元二次方程，
∴

∴
∴不等式的解集是。
点评：求不等式的解集时，不要忽略了这个前提条件。

考查一元二次方程的一般形式
例6. 把方程化成一般形式，并指出其二次项系数，一次项系数及常数项。
分析：本题考查对一元二次方程一般形式的认识，任何一个一元二次方程经过变形整理，都可化为一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项都是对一般形式而言的。
解：移项得，
二次项系数是，一次项系数是，常数项是
点评：此方程中未知数是x，π是一个常数，不是未知数。

例7. 把方程化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A. B.
C. D. 0
分析：本题考查了一元二次方程一般形式的同时，还考查了平方差公式和完全平方公式。
解：

∴
答案：A
点评：巧妙运用公式来简化运算，注意各项的符号。

例8. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m＝___________。
分析：方程是一元二次方程，须满足最高次数是二次，二次项系数不为零。
解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴
易错点：一元二次方程的一般形式中二次项系数a≠0在解决问题中容易出错，这是极易被忽略的一点。

考查一元二次方程的解
例9. 若是一元二次方程（a≠0）的根，，B＝，试比较A与B的大小。
分析：x0是方程的解，代入方程应该能使方程成立，之后利用式子的特征进行适当变形即可。
解：∵是方程的根
∴
∴

点评：将B展开后，要用上，就要对式子变形，构造出，同时顾及到A中的，已有，故需添上，于是利用添项法即可解决问题，这是数学中常见的式子变形方法。

例10. 如果关于x的方程的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p的值是（ ）
A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2
分析：倒数恰为本身的数有1和－1两个，于是将1和－1代入方程可得p的值。
解：∵倒数恰是本身的数是1和－1，
∴1和－1都可以是方程的根
∴当x＝1时，，∴
当时，，∴p＝2
答案：D
点评：利用根的定义代入即可得p的值，应注意的是其解有二。

［一元二次方程的解法］
（一）考查直接开平方法
例1. 用直接开平方法解下列方程。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
分析：所给五个问题都可经适当变形化成一个含未知数的式子的平方等于一个正的常数的形式，于是可用直接开平方法求解。
解：（1）移项得，，两边同除以2得，
由平方根的定义得，x＝±4，∴。
（2）移项得，，两边同除以4得，，
由平方根的定义得，，∴
（3）原方程可化为，，移项得，
由平方根的定义得，，∴
（4）两边同乘以6得，，由平方根的定义得，
∴
（5）移项得，，两边同乘以2得，
由平方根的定义得，。
点评：根据式子的特征，将左边化成完全平方，右边是正的常数的形式，再两边开平方，从而获得其解。应用时注意开平方后各系数符号的变化。

（二）考查配方法解一元二次方程
例2. 用配方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
分析：根据要求，首先将二次项系数化为1，之后配方再开平方得解。
解：（1）

（2）

（3）

（4）

（三）配方法的应用
例3. 用配方法解关于x的方程：
分析：因为是关于x的方程，所以x作为未知数，m、n就认为是已知数。
解：移项得，
配方得，
即
∴
点评：含未知数的项移到左边进行配方，常数项移到另一边，配方时两边同加一次项系数一半的平方。

例4. 用配方法证明：的值恒大于零。
分析：将原式按x进行配方，化成一个数的平方与一个正数和的形式，即可表明其值为正数。
解：

∵
即的值恒大于零。
点评：因二次项系数不为1，故应首先提取5，将二次项系数化为1，之后再配方。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 下列方程中，一元二次方程有（ ）个。
① ②
③ ④
⑤ ⑥
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 把方程化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A. a≠2 B. a≥0
C. a≥0且a≠2 D. a为任意实数
4. 已知2是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.

二、填空题
5. 把方程化为一元二次方程的一般形式是____________，它的二次项是____________，一次项是____________，二次项系数是____________，一次项系数是____________，常数项是____________。
6. 关于x的方程，当k____________时，它是一元二次方程，当k____________时，它是一元一次方程。
7. 如果关于x的方程有一个解是2，那么m＝____________。
8. 某市财政收入连续三年以8%的速度递增，若第一年的财政收入为a亿元，则第三年的财政收入为____________。

三、用直接开平方法解下列方程。
（1） （2）
（3） （4）

四、用配方法解下列方程
（1） （2）
（3） （4）

[参考答案]

一、选择题：
1. C 2. A 3. C 4. C

二、填空题：
5. ；；4x；1；4；－4
6. ≠－3且k≠1；＝－3
7.
8.

三、用直接开平方法解下列方程
1.
2.
3.
4.

四、用配方法解下列方程
1.
2.
3.
4. 当时，

，无实数根。