北师大版八年级数学勾股定理.doc

第一章 勾股定理
第一节探索勾股定理
教学目标：
1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
重点难点：
重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
难点：勾股定理的发现
教学过程
掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：
c=a+b(c为斜边)。
它反映了直角三角形三边之间的数量关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角形的主要依据之一。
一、问题的提出：
小明放学回家要经过一块长方形的麦地。如图：
1、 小明本来应走大路从A经B到C可是他却直接从A到C，为什么？
2、 为什么近、近多少？
3、用数学知识如何解答？
二、量一量，算一算：
1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3㎝，4㎝和5㎝，12㎝请你量出斜边的长度。

2、进行有关的计算。
3、得出结论：
三、证明结论：
利用拼合三角形的方法，如下：（1）

由（1）
由（2）

（2）如图：

练习：
1、判断：
（1）已知a、b、c是三角形的三边，则 （ ）
（2）在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。 （ ）
（3）在 （ ）
2、填空：在中，
（1）如果a=3，b=4，则c=
（2）如果a=6，b=8，则c=
（3）如果a=5，b=12，则c=
(4) 如果a=15，b=20，则c=
3、 解决新课开始提出的问题
第2节 能得到直角三角形吗
教学目标：
1． 经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2． 掌握勾股定理逆定理和他的简单应用
重点难点：
重点： 能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题
难点：用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题
1．把握勾股定理的逆定理；
2，用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。
教学过程
1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：
a+b= c，那么这个三角形是直角三角形。
注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
1．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：
（1）首先求出最大边（如c）；
（2）验证a+b与c是否具有相等关系；
若c2=a2+b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形。
若c2 ≠a2+b，则△ABC不是直角三角形。
2．直角三角形的判定方法小结：
（1）三角形中有两个角互余；
（2）勾股定理的逆定理；
3．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、5；5、12、13；6、8、10；12、16、20等。
四、典型例题
例1. 在中，，于D，求证：
（1）
（2）
分析：在图中有与三个直角三角形，利用勾股定理可以求证。
证明：
（1）

（2）又

即
例2、 已知中，，求AC边上的高线的长。
分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。
解：
为，且
作于D
设，则

答：AC边上的高线长为。
例3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，

求证：AB2－AD2=BD·DC
思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。本例首先作AE⊥BC于E，便出现两个全等的直角三角形。
由AB=ACBE=EC
结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在Rt△ABE，Rt△ADE中，由勾股定理，得
AB2－AD2=BE2－DE2
AB2=AE2+BE2
AD2=AE2+DE2
由于BE、DE均在一条直线BC上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是
AB2－AD2=BD·CD
AB2－AD2=(BE+DE)(BE－DE)
结合图形知：BE+DE=BD
BE－DE=CE－DE=CD
例4.如图，已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12，∠CBA=90°,求S四边形ABCD
思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC为佳，因∠CBA=90°，便出现了直角三角形ABC，由勾股定理可求
AC2=AB2+BC2=32+42=25
在△CAD中，我们又可发现：
AC2+AD2=25+122=169
DC2=132=169
∴AC2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理知
∴△ACD为Rt△，且∠DAC=90°
此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD

例5、在正方形ABCD中, F为DC的中点, E为BC上一点, 且EC = , 求证: ÐEFA = 90°
分析: 通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找Rt, 那就是要通过勾股定理逆定理来完成。
证明: 设正方形ABCD的边长为4a
则EC = a, BE = 3a, CF = DF = 2a
在RtABE中
在RtADF中
在RtECF中
由上述结果可得
由勾股定理逆定理可知AEF为Rt, 且AE是最大边, 即ÐAFE = 90°

例6、 已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别AB，AD上的点，又AB=12，EF=10，△AEF的面积等于五边形EBCDF面积的，求AE，AF的长。
思路分析：依题意知△AEF为Rt△用勾股定理，立马而定，于是有
EF2=AE2+AF2
设AE=x,AF=y,又EF2=100,则x2+y2=100 ①

本例未告知AF,AE谁大,所以应取两解.
五、专题检测：
1、如图在ABC中, ÐBAC = 90°, AD^BC于D, 则图中互余的角有
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
2、如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为

3、 已知：四边形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求证：。
4. 已知：钝角，CD垂直BA延长线于D，求证：
。
5. 已知：，且，D在BC上，求证：。
6. 已知：，求证：。

7 已知：中，AD为BC中线，求证：。

8、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
9.如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知：AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。

10：已知：如图，DABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A。
求：BD的长。
分析：因为DABC中，AB=AC，可作AE⊥BC于E，构造直角三角形，由已知条件，AE，CE，可求。根据勾股定理可列方程式求解。
解：作AE⊥BC于E ∵AB=AC，BC=16
∴BE=CE= （等腰三角形的性质）
在中 （勾股定理）
设DE=x
在中
在中
∴
∴
答案部分： 2. 在中，
在中，
在中，
在中，

3 在中， 在中，

4. 作于E，

5. 作于E，

6. 作于E，