初三数学第一学期可化为一元一次方程的分式方程 华东师大版.doc

初三数学第一学期可化为一元一次方程的分式方程
一. 本周教学内容：
可化为一元一次方程的分式方程

二. 教学重点及难点
重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法及应用。
难点：分式方程产生增根的原因和可化为一元一次方程的分式方程的应用问题。

三. 知识精讲及例题分析
（一）知识梳理
1. 分式方程
分母里含有未知数的方程叫分式方程，判断一个方程是否是分式方程，关键是看其分母是否含有未知数，不要把类似的方程看做分式方程。
2. 分式方程的解法
解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是：
（1）在分式方程的两边都乘以方程中各分母的最简公分母，约去分母，化为整式方程；
（2）解这个整式方程，得出整式方程的根；
（3）把整式方程的根代入最简公分母或分式方程中的各个分母中，看其结果是否为零，若是零，这就是原分式方程的增根，要舍去。
解分式方程比分式运算更具有技巧性，它是方程知识与分式知识的有机结合，如解分式方程，一种方法可以在方程两边同乘以，约去分母，转化为整式方程求解，另一种方法可在方程两边同时加上，转化为最简方程。这种方法显然比第一种方法要简单，但是要注意观察题目的结构特点，才有可能找到技巧，另外，不管用什么方法，解分式方程都要检验。
3. 增根与验根
解分式方程比解整式方程的步骤多一步检验，这种检验不是检查过程是否有失误，而是检验是否会出现增根。
解分式方程产生增根的原因就是解分式方程的第一步去分母造成的。根据等式性质，等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），所得结果仍是等式。这就是说，方程两边不能乘以（或除以）零。解方程的过程中，如果在方程两边同时乘以的整式有可能为零，就有可能产生增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根。
检验时只需代入最简公分母检验即可。使最简公分母为零的根就是原方程的增根。
4. 列可化为一元一次方程的分式方程解应用题
列分式方程解应用题，关键要审清题意，合理地设未知数，然后正确地用分式表示一些基本数量关系，再找出等量关系，列出方程。求出方程的解后，一定要验根，并且还要看是否有实际意义。
设未知数对后面列方程起着关键作用，对于一道应用题，首先考虑设直接未知数。如果设直接未知数不奏效，就应考虑设间接未知数：就是把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数，求出该数后，再求出要求的数。如果设一个未知数其等量关系不好确定，还可多设几个未知数，即辅助未知数。一般来说，几个未知数就决定几个等量关系、几个方程。如果上面两种方法都不容易列出方程（组），就应采取辅助未知数。

【典型例题】
命题方向1：考查分式方程的意义
例1. 下列方程中，是分式方程的是（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：A方程、C方程尽管有分母，但都是常数；D方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义，这三个都不是分式方程，只有B符合分式方程的条件。
答案：B
点评：要看一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数。

命题方向2：考查解分式方程
例2. 解下列分式方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
分析：（1）题两边同乘以时不要漏了方程的右边；（2）题将其中一个的分母改变符合即可；（4）题则要同时乘以三项。
解：（1）
两边同乘以得，
解此方程得：
检验：把代入得
是原方程的增根
∴原方程无解
（2）
两边同乘以得，
解此方程得
检验：把代入得
是原方程的解
（3）
两边同乘以
解此方程得：
检验：把代入得：

（4）
方程两边同乘以得：

解此方程得：
检验：把代入得：

是原方程的解。
点评：严格按解分式方程的步骤进行，千万不能忘了检验。

命题方向3：考查分式方程的增根
例3. a为何值时，关于x的方程会产生增根。
分析：分式方程中公分母为，方程要能产生增根，公分母必须为零，即或，因此可以通过或来讨论a的值。
解：方程两边都乘以得：即（※）
如方程产生增根，则增根为或，而增根又一定是整式方程的解，所以将代入（※）式可得，将代入（※）式可得。
或6时，原方程会产生增根。
点评：先将分式方程化为整式方程，再将增根（即使分式方程的分母为零的未知数的值）代入化简后的整式方程，可得分式方程中未知的系数的值。

例4. 当k=__________时，分式方程无解。
分析：首先把分式方程化为整式方程，然后考查分式方程的特征。
解：方程两边同乘以得，
即
显然当时，方程为此时方程无解。
又原方程的增根为，所以将代入得。
综上时，分式方程无解。
点评：分式方程无解的情况有和有增根两种情况。

命题方向4：考查列分式方程解应用题
例5. 两名教师带若干名学生去旅游，联系了甲乙两家旅游公司，甲公司给的优惠条件是：1名教师按行业统一规定收全票，其余按7.5折收费，乙公司给的优惠条件是：全部按8折收费，经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜，那么参加旅游的学生人数是多少？
分析：首先理解题目叙述的情境，要求学生人数，可设为x，而旅游的票价也是未知的，也需设置未知数，不过这个未知数会在解题中消去，属设而不求，在帮助我们解决问题后它会悄然隐去。
解：设参加旅游的学生人数是x人，全票价为a元，由题意得：

消去a可得：
解此方程得：
经检验，是原方程的解且符合题意。
答：参加旅游的学生是8人。
点评：7.5折即全票价的75%，注意辅助未知数的利用。

例6. 甲乙两人各自安装10台仪器，甲比乙每小时多安装2台，结果甲比乙少用1小时完成了安装任务，如果设乙每小时安装x台，可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：本题考查了工作量÷工作效率=工作时间，列式时注意搞清是甲用时比乙少1时。
解：设乙每小时安装x台，则甲每小时安装（x+2）台，所以安装10台所用的时间甲为小时，乙为小时，由甲比乙少1小时可得
答案：A
点评：列方程时应准确理解数量之间的关系。

创新应用题：
例7. 在一次军事演习中，红方装甲部队按原计划从A地向距离150千米的B地的蓝方一支部队直接发起攻击，但为了迷惑蓝方，红方先向蓝方另一支部队所在的C地前进，当蓝方在B地的部队向C地增援后，红方在到达D地后突然转向B地进发，一举拿下了B地。这样红方比原计划多行进90千米，而且实际行进速度每小时比原计划增加10千米，正好比原计划晚1小时到达B地，试求红方装甲部队的实际行进速度。（由于实际地形条件的限制，速度不能超过每小时50千米）
分析：本题需抓住时间的等量关系构造方程。
解：设红方装甲部队实际行进速度为每小时x千米，由题意得：

解这个方程得：
经检验都是原方程的解，但实际条件限制

答：红方装甲部队实际行进速度为40千米/小时。
点评：本题是典型的故事情境题，它将常见的路程、速度、时间三者的关系置于崭新的情境，是老题新做。

例8. 某文具用品店出售每册120元和80元的两种纪念册，且两种纪念册都有30%的利润，但每册120元的纪念册相对每册80元的纪念册不太好出售，现一顾客带了1080元现金欲购买一定数量的同品种的纪念册，商店经理经过计算，根据顾客的要求（购买同品种的纪念册）和120元的纪念册滞销的实际情况，优惠销售做成了这笔买卖，且使商店的获利和卖出同数量的每册80元的纪念册所获利润是一样的。
请根据以上材料，判断这位顾客共买了多少册纪念册？
分析：假设买了x册每册120元的，则每本的售价为元，而其成本价为120元，所以出售一册的获利为元，而出售另一种纪念册的获利为元，由此可列方程。
解：设买每册120元的纪念册x册，由题意得：

解此方程得：
经检验，是所列方程的解。
答：这位顾客共买了10册每册120元的纪念册。
点评：本题的等量关系是实际卖出的利润与卖出同样多每册80元的纪念册所获利润相等。

中考热点题：
本节在中考中的热点问题是分式方程的增根和分式方程的应用，选择、填空等小题和解答等大题，都是考查这部分问题的常见形式，估计今后还会继续保持，但问题的情境将不断地推陈出新。
例9. （2003年四川巴中）如果方程有增根，则_________。
分析：首先把分式方程去分母化为整式方程，再将增根代入整式方程，可得字母的值。
解：方程两边同乘以得，
因为原方程有增根，所以将代入上面的整式方程得：

命题目的：考查分式方程增根的意义

例10. （2003年江西）赵强同学借了一本书，共280页，要在两周的借期内读完。当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完。求他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：读前140页每天读x页，则要用天，读后140页时每天读页，则要用天，两者相加便是规定的两周借期。
解：由题
答案：C
命题目的：考查分式方程的应用

竞赛经典题：
例11. （2002年潍坊）甲沿着匀速向上移动的自动扶梯从顶部走到底部，共走了150级，乙沿着匀速向上的自动扶梯从底部走到顶部，共走了75级，如果甲行走的速度是乙的3倍，那么任何时间可以看到的自动扶梯的级数是多少？
分析：本题除了要设可以看到的自动扶梯的级数，还应该设单位时间内自动扶梯、甲、乙行走的级数，才便于表示题中的数量关系。
解：设在单位时间内，自动扶梯行走x级，乙行走y级，则甲行走了3y级，任何时间可以看到的自动扶梯的级数是n级，由题意得：

答：任何时间可以看到的自动扶梯的级数为120级。
命题目的：考查分式方程的应用及辅助未知数的应用

（二）易错点拨
易错点1. 解分式方程中去分母时漏乘不含分母的项，忘记检验。
易错点2. 解分式方程变形时不符合等式的性质。
例1. 解方程：
分析：在去分母时，因方程右边的4不含分母，故此项容易忘记乘，从而导致错误。
解：去分母得：
解此方程得：
检验：把代入得：
所以是原方程的解。

例2. 解方程：
分析：将原方程左右两边分别通分相加得：，此时注意坚决不能从两边除去，否则就会引起错误。
解：将原方程变形为
若，方程显然成立。
若，则方程两边都除以得：

经检验和都是原方程的解。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 选择题
1. 分式方程的解是（ ）
A. B.
C. D. 无解
2. 解分式方程时会产生增根，则m的值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
3. 已知，则的值为（ ）
A. B.
C. 1 D. 5
4. 将方程去分母并化简，能得到的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.

二. 填空题
5. 当x=___________时，的值互为倒数。
6. 方程有增根，则其增根是___________。
7. 解方程的结果为___________。
8. 已知____________。

三. 解答题
9. 解方程：
（1）
（2）
10. 完成一项工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做要超期3天完成，现甲乙合做2天，余下的由乙单独做，刚好按期完成，求甲、乙单独完成工程的天数。

[参考答案]

一. 选择题
1. D 2. C 3. B 4. A

二. 填空题
5. 3 6. 5和
7. 8. 23

三. 解答题
9. 解：（1）
两边同乘以得：
解此方程得：
检验：把代入得，
是增根
∴原方程无解。
（2）
原方程可化为
即
两边同乘以得：

检验：把代入得
是原方程的解。
点拨：（2）直接去分母也可，但不如将其如上变形，从而使运算简便。

10. 解：设甲单独完成要x天，则乙单独完成要天，由题意得：
，解此方程得：
经检验：是原方程的解并且符合题意

答：甲单独完成要6天，乙单独完成要9天。
点拨：用一个未知数表示甲、乙单独完成的天数，将总工作量看成1。