资源描述
课题：第12讲 二次函数的实际应用
教学目标：
1．会运用配方法或公式法求出二次函数的最值．
2．利用二次函数求几何图形的最大面积．
3．利用二次函数求解最大利润问题．
教学重、难点：
重点：会运用配方法或公式法求出二次函数的最值，运用二次函数及其性质解决几何问题和最大利润问题．
难点：；运用二次函数图像及其性质解决几何问题和最大利润问题．
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、课前热身，知识回现
活动内容：题组训练（多媒体出示）
1.抛物线的开口方向是 ( ) ，顶点坐标是（ ） ，对称轴是（ ），当x>1时，函数y随x的增大而（ ），当x<1时，函数y随x的增大而（ ）；当x=1时，函数有最( )值，为（ ）。
2.抛物线的开口方向是 ( ) ，顶点坐标是（ ） ，对称轴是（ ），当x（ ）时，函数y随x的增大而增大，当x( )时，函数y随x的增大而减小；当x=（ ）时，函数有最( )值，为（ ）。
3.抛物线顶点坐标是（ ），当x=（ ）时，函数有最( )值，为（ ）。
4.抛物线顶点坐标是（ ），当x=（ ）时，函数有最( )值，为（ ）。
处理方式：课前利用3~5分钟时间结合导学案让学生独立完成，然后教师公布答案，对上节课复习的二次函数的基本内容巩固．第1、2两题找学生口答，第3、4两题让两位学生板演或回答理由．最后，师生共同总结求二次函数最值的方法共有两种：配方法和公式法。
设计意图：主要有以下两个作用：一复习上节课二次函数的图像和性质，二为本节课利用求二次函数最值解决有关问题扫清障碍．
二、目标引领，考纲解读
1．会运用配方法或公式法求出二次函数的最值．
2．利用二次函数求几何图形的最大面积的一般步骤：
（1）引入自变量x
（2）用含（ ）的代数式分别表示与所求几何图形相关的量。
（3）根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积。
（4）运用配方法或公式法求出二次函数的最值，并回答问题。
3．利用二次函数求解最大利润问题的一般步骤：
（1）引入自变量x
（2）用含（ ）的代数式分别表示销售单价或销售收入及销售量。
（3）用含（ ）的代数式表示销售商品的单件利润。
（4）用函数及含（ ）的代数式表示销售利润，即可得函数表达式。
（5）根据( )，求出最大值及取得最大值时（ ）的值。
处理方式：多媒体显示，找学生朗读并填空．其余学生明确目标.
设计意图：让学生明确本课的考试要求，这样复习既有针对性，又有实效性。
三、考点解析，抢分培训
活动内容1：建立二次函数模型
导入语：你能用二次函数解决实际问题吗？请你完成下面的问题：（多媒体出示）
【例1】(聊城中考)徒骇河大桥是我市第一座特大型桥梁，大桥桥体造型新颖，气势恢宏，两条拱肋如长虹卧波，极具时代气息(如图①).大桥为中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋ACB是抛物线的一部分(如图②)，跨径AB为100m，拱高OC为25m，抛物线顶点C到桥面的距离为17m.
（1)请建立适当的坐标系，求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)七月份汛期来临，河水水位上涨，假设水位比AB所在直线高出1.96 m，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？在不计桥面厚度的情况下，一条高出水面4.6 m的游船是否能够顺利通过大桥？
建立坐标系解决二次函数问题的关键是坐标系要建立适当，能使问题简单明了.如：抛物线的对称轴为y轴，顶点为原点，则其表达式可设为的形式，若抛物线的对称轴为y轴，则其表达式可设为的形式，然后解决这类题时把相关的线段长转化为抛物线上点的坐标，确定出抛物线的表达式，然后再把问题转化为已知抛物线上点的横坐标(或纵坐标)，求其纵坐标(或横坐标)，再转化为线段长回答实际问题
如图①是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米.若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？(图②是备用图)
处理方式：师生共同分析解题思路：如何建立平面直角坐标系使解题更简单。也可以让学生在导学案中独立完成，然后用实物展台出示，比较哪位同学解题方法更简单，进而对此类题目方法总结。最后学生独立完成跟踪训练。
设计意图：通过学生动手操作画出二次函数的图像，让学生进一步熟悉二次函数图像的方法，为下面研究二次函数的图像作准备.
活动内容2：几何图形的最大面积
提出问题：你能求出图形的最大面积吗？（多媒体出示）
【例2】（2015.东西湖区模拟）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围。
（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
本题主要考查利用函数模型解决几何图形最大值的能力．要先根据题意列出二次函数关系式，然后利用配方法求出二次函数的最大值，最后要注意实际问题中自变量x的取值范围．
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿边AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒，四边形APQC的面积最小？
处理方式：学生自己独立完成例题，学生完成后可自由讨论．教师也可根据实际情况适时指导．完成后学生可投影展示并讲解，教师补充、纠错，完善答案．
设计意图：通过例题帮助学生复习利用二次函数求解几何图形面积最大值的方法和步骤，了解和发现学生解题中的不足。
活动内容3：最大利润问题
提出问题：生意上常常想让自己的利润最大化，请看下面的问题：（多媒体出示）
【例3】（2014.徐州）某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足的关系式：，其图像如图所示：
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
本题主要考查利用函数模型解决最大利润问题的能力．要先根据题意建立二次函数模型，或者利用待定系数法求出二次函数的表达式，然后利用配方法求出二次函数的最大值，回答问题时要注意实际问题中自变量x的取值范围．
（2014•莆田）某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数关系式y2=mx2﹣8mx+n，其变化趋势如图2．
（1）求y2的解析式；
（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？
处理方式：
学生自己先独立完成例题，然后再自由讨论、交流解题方法和技巧．教师根据实际情况适时指导．最后让学生投影展示并讲解，教师补充、纠错，完善答案．
设计意图：通过例题帮助学生复习利用二次函数求解最大利润问题的方法和步骤，提升学生综合利用二次函数的相关知识解决实际问题的能力。
四、归纳小结，思维升华
提出问题：问题1：在本节课的学习中，你对二次函数有什么新的认识？
问题2：应用二次函数解决问题中你还有什么疑惑？（多媒体出示）
处理方式：学生交流，教师点拨，达成共识在发挥学生的主观能动性的同时，不要忽略教师的主导作用．
设计意图:培养学生的语言表达能力，让学生理解数学来源于生活，服务于生活的道理，能应用数学解决生活的问题．
五、课堂检测，当堂达标
达标检测，反馈提高
活动内容：通过本节课的学习，同学们的收获一定很多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）
1.（14•咸宁）用一条长40厘米的绳子围成一个面积为a平方厘米的长方形，a的值不可能为（ ）
A、20 B、40 C、100 D、120
2．（13•崇左）崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 米．
第2题图
3.（14•沈阳）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为 元．
4. (14▪牡丹江)某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．
第4题图
5. （2014▪武汉）九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x＋40
90
每天销量（件）
200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元
(1) 求出y与x的函数关系式
(2) 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
(3) 该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果。
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：利用检测题让学生巩固本节课强调的知识，并让学生掌握突破难点的方法与技巧，达到熟练应用知识的目的.同时培养学生快速准确解答问题的习惯,提高解题能力和技巧.
六、布置作业，课堂延伸
必做题：数学复习指导丛书第62至65页“强化训练” 1——7题．
选做题：数学复习指导丛书第61至62页“典例分析” 例1和例2。
设计意图：进行适当的课后练习，巩固知识点，同时训练学生的解题能力和体验中考.
板书设计：
第十二讲 二次函数（3）
考点梳理：
典例剖析：
例1：
例2：
例3：
板演区：
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