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第21章 二次函数与反比例函数
21.1 二次函数
教学目标
【知识与技能】
以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点.
【过程与方法】
能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
【情感、态度与价值观】
联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想.
重点难点
【重点】
二次函数的概念.
【难点】
能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
教学过程
一、问题引入
1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的?
[一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)]
2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系?
(正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体自由下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?
(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.)
上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系?
这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题)
二、新课教授
师:我们再来看几个问题.
问题1 某水产养殖户用长40 m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米?
这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为S m2,则有S=x(20-x)=-x2+20x.
问题2 有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少?
设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为
y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850.
这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的.
二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项.
二次函数的自变量的取值范围一般都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0<x<20,因为矩形的两边之和是20 m.
三、典型例题
【例1】 判断下列函数是否为二次函数?如果是,指出其中常数a、b、c的值.
(1)y=1-3x2; (2)y=x(x-5);
(3)y=x-x+1; (4)y=3x(2-x)+3x2;
(5)y=; (6)y=;
(7)y=x4+2x2-1.
解:(1)、(2)是二次函数.(1)中,a=-3,b=0,c=1;(2)中,a=1,b=-5,c=0.
【例2】 当k为何值时,函数y=(k-1)+1为二次函数?
解:令k2+k=2,得k1=-2,k2=1.
当k1=-2时,k-1=-2-1=-3≠0;
当k2=1时,k-1=1-1=0.
所以当k=-2时,函数y=-3x2+1为二次函数.
【例3】 写出下列各题的函数关系式,并判断它们是什么类型的函数.
(1)正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系式;
(2)圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系式;
(3)菱形的两条对角线长的和为26 cm,求菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式.
解:(1)S=6a2,是二次函数;(2)y=,是二次函数;(3)S=x(26-x),是二次函数.
四、巩固练习
1.(口答)下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x2-1;(2)y=5x2-2x;(3)y=-2x2+x-1;(4)y=4-x3;(5)y=;(6)y=3x2+;(7)y=x2.
【答案】(1)(2)(3)(7)是二次函数
2.y=(m+1)-3x+1是二次函数,则m的值为 .
【答案】2
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与底面半径r之间的关系式.
【答案】S=4πr2
五、课堂小结
本节课主要学习了以下内容:
1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.
2.能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
教学反思
本节课从实际问题入手,结合学生已有的知识经验,观察、归纳出二次函数的概念以及二次函数的一般表达式y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),并使学生从中体会函数的思想.在本节课的教学过程中,学生经常列不出二次函数关系式,对于实际问题会忘记给出自变量的取值范围,这些问题要通过加强训练来解决.
21.2 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.
【过程与方法】
使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.
重点难点
【重点】
使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.
【难点】
用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.
教学过程
一、问题引入
1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?
(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)
2.画函数图象的一般步骤是什么?
一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).
3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?
(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)
二、新课教授
【例1】 画出二次函数y=x2的图象.
解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).
(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.
思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:
(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?
(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.
学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.
函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.
由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.
【例2】 在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.
解:分别填表,再画出它们的图象.
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.
学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.
抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.
探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
师生活动:
学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨.
学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形.
抛物线y=-x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大.
探究2:对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗?抛物线y=ax2和y=-ax2呢?
师生活动:
学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨.
学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形.
抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称.
教师引导学生小结(知识点、规律和方法).
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.
从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.
三、巩固练习
1.抛物线y=-4x2-4的开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 ,当x= 时,y有最 值,是 .
【答案】下 (0,-4) x=0 0 大 -4
2.当m≠ 时,y=(m-1)x2-3m是关于x的二次函数.
【答案】1
3.已知抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),则x= ,y= .
【答案】-3或3 -12
4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点坐标为(2,b),则k= ,b= .
【答案】 12
5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式为 .
【答案】y=-2x2
6.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是( )
A.y=x2 B.y=x2
C.y=-2x2 D.y=-x2
【答案】C
7.抛物线y=4x2、y=-2x2、y=x2的图象,开口最大的是( )
A.y=x2 B.y=4x2
C.y=-2x2 D.无法确定
【答案】A
8.对于抛物线y=x2和y=-x2在同一坐标系中的位置,下列说法错误的是( )
A.两条抛物线关于x轴对称
B.两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线关于y轴对称
D.两条抛物线的交点为原点
【答案】C
四、课堂小结
1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数.
2.二次函数y=ax2的性质:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.
3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.
教学反思
本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:(1)例1是基础;(2)在例1的基础之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;(3)例2及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影响;(4)最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结.
第2课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(1)
教学目标
【知识与技能】
使学生能利用描点法作出函数y=ax2+k的图象.
【过程与方法】
让学生经历二次函数y=ax2+k的性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+k的性质及它与函数y=ax2的关系,培养学生观察、分析、猜测并归纳、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
重点难点
【重点】
会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象,理解二次函数y=ax2+k的性质,理解函数y=ax2+k与函数y=ax2的相互关系.
【难点】
正确理解二次函数y=ax2+k的性质,理解抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系.
教学过程
一、问题引入
1.二次函数y=2x2的图象是 ,它的开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 ;在对称轴的右侧,y随x的增大而 .函数y=ax2在x= 时,取最 值,其最 值是 .
2.抛物线y=x2+1,y=x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么?
3.抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系?
二、新课教授
问题1:对于前面提出的第2、3个问题,你将采取什么方法加以研究?
(画出函数y=x2+1、y=x2-1和函数y=x2的图象,并加以比较.)
问题2:你能在同一直角坐标系中画出函数y=x2+1与y=x2的图象吗?
师生活动:
学生回顾画二次函数图象的三个步骤,按照画图的步骤画出函数y=x2+1、y=x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师写出解题过程,与学生所画的图象进行比较,帮助学生纠正错误.
解:(1)列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=x2+1
…
10
5
2
1
2
5
10
…
(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点.
(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=x2和y=x2+1的图象.
问题3:当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?
师生活动:
教师引导学生观察上表并思考,当x依次取-3、-2、-1、0、1、2、3时,两个函数的函数值之间有什么关系?
学生观察、讨论、归纳得:当自变量x取同一数值时,函数y=x2+1的函数值比函数y=x2的函数值大1.
教师引导学生观察函数y=x2和函数y=x2+1的图象,先研究点(-1,1)和点(-1,2)、点(0,0)和点(0,1)、点(1,1)和点(1,2)的位置关系.
学生观察、讨论、归纳得:反映在图象上,函数y=x2+1的图象上的点都是由函数y=x2的图象上的相应点向上移动了一个单位.
问题4:函数y=x2+1和y=x2的图象有什么联系?
学生由问题3的探索可以得到结论:函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.
问题5:现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?
生:函数y=x2+1与函数y=x2的图象开口方向相同、对称轴相同,但顶点坐标不同,函数y=x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=x2+1的图象的顶点坐标是(0,1).
问题6:你能由函数y=x2+1的图象得到函数y=x2+1的一些性质吗?
生:当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大;当x=0时,函数取得最小值,最小值是y=1.
问题7:先在同一直角坐标系中画出函数y=2x2+1与函数y=2x2-1的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别.
师生活动:
教师在学生画函数图象的同时,巡视指导.
学生动手画图,观察、讨论、归纳.
解:先列表:
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2+1
…
9
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
9
…
y=2x2-1
…
7
3.5
1
-0.5
-1
-0.5
1
3.5
7
…
然后描点画图,得y=2x2+1,y=2x2-1的图象.
教师让学生发表意见,归纳为:函数y=2x2+1与函数y=2x2-1的图象的开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同.函数y=2x2-1的图象可以看成是将函数y=2x2+1的图象向下平移两个单位得到的.
问题8:你能说出函数y=x2-1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及这个函数的性质吗?
师生活动:
教师让学生观察y=x2-1的图象.
学生动手画图,观察、讨论、归纳.
学生分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言.最后归纳总结:函数y=x2-1的图象的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标是(0,-1);当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大;当x=0时,函数取得最小值,最小值为y=-1.
三、巩固练习
1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2、y=x2+2、y=x2-2的图象.
(1)填表:
x
…
…
y=x2
…
…
y=x2+2
…
…
y=x2-2
…
…
(2)描点,连线:
【答案】略
2.观察第1题中所画的图象,并填空:
(1)抛物线y=x2+2的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ;抛物线y=x2+2是由抛物线y=x2向 平移 个单位长度得到的;
(2)对于y=x2-2,当x>0时,函数值y随x的增大而 ;当x<0时,函数值y随x的增大而 ;
(3)对于函数y=x2,当x= 时,函数取最 值,为 .
对于函数y=x2+2,当x= 时,函数取最 值,为 .
对于函数y=x2-2,当x= 时,函数取最 值,为 .
【答案】(1)向上 x=0 (0,2) 上 2 (2)增大 减小 (3)0 小 0 0 小 2 0 小 -2
四、课堂小结
1.函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿y轴向上(当k>0时)或向下(当k<0时)平移|k|个单位就得到函数y=ax2+k的图象.
2.抛物线y=ax2+k(a≠0)的性质.
(1)抛物线y=ax2+k(a≠0)的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,k).
(2)当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限伸展;
当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限伸展.
(3)当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.这时,当x=0时,y有最小值k.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.这时,当x=0时,y有最大值k.
教学反思
通过本节课的学习,学生做到了以下三个方面:首先,掌握函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿y轴向上(当k>0时)或向下(当k<0时)平移|k|个单位就得到y=ax2+k的图象;其次,能够理解a、k对函数图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础;最后,形成严谨的学习态度和求简的数学精神.
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(2)
教学目标
【知识与技能】
使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象.
【过程与方法】
让学生经历探究二次函数y=a(x-h)2性质的过程,理解函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系,培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
重点难点
【重点】
会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象,理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.
【难点】
理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系.
教学过程
一、问题引入
1.抛物线y=2x2+1、y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么?
2.二次函数y=-(x+1)2的图象与二次函数y=-x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?
二、新课教授
问题1:你将用什么方法来研究问题引入2提出的问题?
(画出二次函数y=-(x+1)2和二次函数y=-x2的图象,并加以观察.)
问题2:你能在同一直角坐标系中画出二次函数y=-x2与y=-(x+1)2的图象吗?
师生活动:
教师引导学生作图,巡视、指导.
学生在直角坐标系中画出图形.
教师对学生的作图情况作出评价,指正错误,出示正确的图形.
解:(1)列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
-
-2
-
0
-
-2
-
…
y=-(x+1)2
…
-2
-
0
-
-2
-
-8
…
(2)描点:用表格中的各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;
(3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2和y=-(x+1)2的图象.
问题3:当函数值y取同一数值时,这两个函数的自变量之间有什么关系?反映在图象上,相应的两点之间的位置又有什么关系?
师生活动:
教师引导学生观察上表,当y依次取0、-、-2、-时,两个函数的自变量之间有什么关系?
学生归纳得到,当函数值取同一数值时,函数y=-(x+1)2的自变量比函数y=-x2的自变量小1.
教师引导学生观察函数y=-(x+1)2和函数y=-x2的图象,先研究点(-1,-)和点(0,-)、点(-1,0)和点(0,0)、点(1,-2)和点(2,-2)的位置关系.
学生归纳得到:反映在图象上,函数y=-(x+1)2的图象上的点都是由函数y=-x2的图象上的相应点向左移动了一个单位.
问题4:函数y=-(x+1)2和y=-x2的图象有什么联系?
学生由问题3的探索,可以得到结论:函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.
问题5:现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?
学生观察两个函数的图象得:函数y=-(x+1)2的图象开口方向向下,对称轴是直线x=-1,顶点坐标是(-1,0);函数y=-x2的图象开口方向向下,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0).
问题6:你能由函数y=-(x+1)2的图象得到函数y=-(x+1)2的一些性质吗?
生:当x>-1时,函数值y随x的增大而减小;当x<-1时,函数值y随x的增大而增大;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=0.
问题7:先在同一直角坐标系中画出函数y=-(x-1)2与函数y=-x2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别.
师生活动:
教师在学生画函数图象的同时,巡视指导.
学生画图并仔细观察,细心研究.
教师让学生发表意见,归纳为:函数y=-(x-1)2与函数y=-x2的图象的开口方向相同,对称轴、顶点坐标不同.函数y=-(x-1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位得到的.
问题8:你能说出函数y=-(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及这个函数的性质吗?
师生活动:
教师引导学生观察y=-(x-1)2的图象,并引导学生思考其性质.
学生分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言,达成共识:函数y=-(x-1)2的图象的开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,0).当x<1时,函数值y随x的增大而增大;当x>1时,函数值y随x的增大而减小;当x=1时,函数取得最大值,最大值y=0.
三、巩固练习
1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2的图象.
(1)填表:
x
y=x2
y=(x+1)2
y=(x-1)2
……
…
…
…
……
…
…
…
(2)描点,连线:
【答案】略
2.观察第1题中所画的图象,并填空:
(1)抛物线y=(x+1)2的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ;抛物线y=(x+1)2是由抛物线y=x2向 平移 个单位长度得到的;
(2)对于y=(x-1)2,当x>1时,函数值y随x的增大而 ;当x<1时,函数值y随x的增大而 ;
(3)对于函数y=x2,当x= 时,函数取得最 值,为 ;
对于函数y=(x+1)2,当x= 时,函数取得最 值,为 ;
对于函数y=(x-1)2,当x= 时,函数取得最 值,为 .
【答案】(1)向上 x=-1 (-1,0) 左 1 (2)增大 减小 (3)0 小 0 -1 小 0 1 小 0
四、课堂小结
结论如下:
1.函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿x轴向左(当h<0时)或向右(当h>0时)平移|h|个单位就得到y=a(x-h)2的图象.
2.抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的性质.
(1)抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的对称轴是x=h,顶点坐标是(h,0).
(2)当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限伸展;
当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限伸展.
(3)当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当x=h时,y有最小值.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小;当x=h时,y有最大值.
教学反思
通过本节课的学习,要求大家理解并掌握函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿x轴向左(当h<0时)或向右(当h>0时)平移|h|个单位就得到y=a(x-h)2的图象;能够理解a、h对函数图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础.本节课的处理是在教师的引导下,学生进行观察、归纳、总结,充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想.这样有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.
第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(3)
教学目标
【知识与技能】
使学生理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【过程与方法】
让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的性质,培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
重点难点
【重点】
确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,理解函数y=a(x-h)2+k的性质.
【难点】
正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质.
教学过程
一、问题引入
1.函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象有什么关系?
(函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.)
2.函数y=-(x+1)2的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?
(函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.)
3.函数y=-(x+1)2-1的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?函数y=-(x+1)2-1有哪些性质?
(函数y=-(x+1)2-1的图象可以看作是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位得到的,开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标是(-1,-1).)
二、新课教授
问题1:你能画出函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象吗?
师生活动:
教师引导学生作图,巡视,指导.
学生在直角坐标系中画出图形.
教师对学生的作图情况作出评价,指正其错误,出示正确图形.
解:(1)列表:
x
y=-x2
y=-(x+1)2
y=-(x+1)2-1
…
…
…
…
-3
-
-2
-3
-2
-2
-
-
-1
-
0
-1
0
0
-
-
1
-
-2
-3
2
-2
-
-
3
-
-8
-9
…
…
…
…
(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;
(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象.
问题2:观察图象,回答下列问题.
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=-x2
向下
x=0
(0,0)
y=-(x+1)2
向下
x=-1
(-1,0)
y=-(x+1)2-1
向下
x=-1
(-1,-1)
问题3:从上表中,你能分别找到函数y=-(x+1)2-1,y=-(x+1)2与函数y=-x2的图象之间的关系吗?
师生活动:
教师引导学生认真观察上述图象.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
函数y=-(x+1)2-1的图象可以看成是将函数y=-(x+1)2的图象向下平移1个单位得到的.
函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移1个单位得到的.
故抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2沿x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y=-(x+1)2,再将抛物线y=-(x+1)2向下平移1个单位得到的.
除了上述平移方法外,你还有其他的平移方法吗?
师生活动:
教师引导学生积极思考,并适当提示.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2向下平移1个单位长度得到抛物线y=-x2-1,再将抛物线y=-x2-1向左平移1个单位得到的.
问题4:你能发现函数y=-(x+1)2-1有哪些性质吗?
师生活动:
教师组织学生讨论,互相交流.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
当x<-1时,函数值y随x的增大而增大;当x>-1时,函数值y随x的增大而减小;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=-1.
三、典型例题
【例】 要修建一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管应多长?
师生活动:
教师组织学生讨论、交流,如何将文字语言转化为数学语言.
学生积极思考、解答.
指名板演,教师讲评.
解:如图(2)建立的直角坐标系中,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点,因此可设这段抛物线对应的函数关系式是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3).
由这段抛物线经过点(3,0)可得0=a(3-1)2+3,
解得a=-,
因此y=-(x-1)2+3(0≤x≤3),
当x=0时,y=2.25,也就是说,水管的长应为2.25 m.
四、巩固练习
1.画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较.
【答案】函数y=2(x-1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移一个单位得到的,再将y=2(x-1)2的图象向下平移两个单位长度即得函数y=2(x-1)2-2的图象.
2.说出函数y=-(x-1)2+2的图象与函数y=-x2的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【答案】函数y=-(x-1)2+2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位,再向上平移两个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2).
五、课堂小结
本节知识点如下:
一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(或下)向左(或右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向和距离要根据h、k的值来确定.
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是x=h;
(3)顶点坐标是(h,k).
教学反思
本节内容主要研究二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质.在前两节课的基础上我们清楚地认识到y=a(x-h)2+k与y=ax2有密切的联系,我们只需对y=ax2的图象做适当的平移就可以得到y=a(x-h)2+k的图象.由y=ax2得到y=a(x-h)2+k有两种平移方法:
方法一:
y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k
方法二:
y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2+k
在课堂上演示平移的过程,让学生切身体会到两种平移方法的区别和联系,这里利用几何画板软件效果会更好.
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象的方法.
【过程与方法】
使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法;让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质.
【情感、态度与价值观】
鼓励学生思维多样性,发展学生的创新意识.
重点难点
【重点】
用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方法确定抛物线的
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