山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 3.6 圆和圆的位置关系教案 北师大版.doc

3.6圆和圆的位置关系教案

教学目标
1．掌握圆和圆的五种位置关系．
2．观察两圆位置关系的变化过程，感受在两圆和各种关系中两圆的半径与圆心距之间的数量关系，从而得到图形的“位置关系”与“数量关系”之间的联系．
3．从运用数量关系来刻画图形位置关系的活动中，进一步增强数感，发展空间观念，同时提高学生用运动变化的观点观察和分析问题的能力．
教学重点与难点
重点：两圆相交、相切、相离的概念、性质与判定.
难点：通过一系列的探究活动培养学生解决问题的思想方法能力 .
教法与学法指导：根据本节课的内容特点及学生的实际水平，我采用启发式教学、循序渐进的原则、采取类比、观察、讨论、归纳等方法，注重创设问题情景，充分暴露思维过程，发展学生的思维能力.教学形式上充分利用电脑多媒体优化数学课堂教学，从生活实际出发，让学生亲身感受数学是大自然最奇妙的语言，激发学生学习的兴趣，提高课堂效率. 为培养学生类比、观察、分析、归纳能力，教学中以生活中的一些例子为中心，安排教学程序，强调学生自己发现，强调发现的过程，强调学生自己获得知识的方法.培养学生收集、处理信息能力和获取新知识的能力.
教学准备：多媒体课件
教学过程
一、设疑激趣，导入新课
师：今天这节课我们从一段视频开始，聆听美妙的音乐，感受生活中多姿多彩的世界.（古筝云水禅心）
【百度视频】

引导学生注意观察水中的涟漪
师：在这一串串美丽的涟漪中有我们熟悉的几何图形—--圆，大家想一下在我们生活的丰富多彩的图形世界里，圆与圆组成的图形还有哪些？
生：自行车的两个轮子、奥运会的会标、皮带轮、日环食照片、红绿灯、齿轮、奥迪车标、叠放的水泥管、滑轮组等等
（多媒体展示部分学生提到的图形）

师：在这些美丽的图形中，都反映了圆和圆的哪些位置关系呢？我们今天就来研究一下.
（板书课题）
设计意图：展现生活中圆与圆组成的图形并由学生举出实例，丰富学生对客观世界中两个圆之间多种不同位置关系的感受，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维，为学生自主探索提供可能.
二、师生合作，探究新知
（一）圆和圆的五种位置关系
师：在学习直线与圆的位置关系时，我们通过观察直线与圆的公共点的个数，可以分为哪些情况？
生：相离，没有公共点；相切，有一个公共点；相交，有两个公共点.
师：在大屏幕显示的这些图片中，圆和圆的公共点各有几个？
生：自行车的两个轮子没有公共点，日环食两个圆也没有公共点，奥运五环和奥迪车标圆比较多，有的没有公共点，有的有两个公共点；叠放的水泥管相邻的两个可以看做只有一个公共点.
活动效果：教师应重点关注：（1）学生能否用自己的语言描述清楚图片中圆和圆的位置关系；学生叙述主要还是从公共点的个数没有考虑到内外之分，随着教学的主见展开学生应该能发现其他不同之处.（2）学生能否把图片中圆和圆的位置关系的几种情况都看出来.学生基本上能找全.
师：我们再来观看一段视频，进一步去体会我们刚才的发现.
【百度视频】日食现象

师：日食形成过程中两圆的位置关系发生了哪些变化？
生：没有公共点→一个公共点→两个公共点→一个公共点→没有公共点→一个公共点→两个公共点→一个公共点→没有公共点
设计意图：引导学生观察视频，联想现实生活中的例子，引起学生对圆和圆的几种位置关系的注意，激起学生对探索两圆位置关系的兴趣．也许学生不能准确地用数学语言表述圆和圆的位置关系，但心中已有形象了.
师：大家观察的很仔细，我准备了一些圆，现在我找一位电脑技术比较好的同学来拖动其中的一些圆，来尝试拼出刚才大家发现的不同的圆和圆的位置关系.
（指定学生操作，其他同学观察，并适当的补充）

（同学指出同心圆是第五种情况的特例）
师：如果只通过公共点的个数两圆的位置关系可以分为几类？
生：三类.
师：刚才电脑操作反映出五种不同的情况，又给如何解释呢？
生：两圆没有交点的时候出现两种情况：两个圆都在另一个圆的外部，一个圆在另一个圆的内部；两圆只有一个交点时也有类似现象.
师：很好，分析时除了看公共点的个数还要看一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
（结合图形分别指出）
师：分别找学生结合图形尝试下定义.
（教师重点关注学生的语言表述能力即表达的准确性）
生1：外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．

图（1） 图（2）

生2：外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．
生3：相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．
图（3） 图（4）

生4：内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．

生5： 内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含．
O1
O2

图（5）

设计意图：创设一种活动情境让学生依照两圆公共点个数，将两圆的位置进行分类，得到相离、相切、相交，然后引导学生讨论，如何准确的描述两圆更具体的位置关系，学生观察讨论，（1）与（5）、（2）与（4）的区别，从面得出两圆的五种位置关系.
大屏幕展示圆和圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含.
同心圆是含的特例

两圆相交连接两个交点的弦叫两圆的公共弦，两个圆相交也有两种情况：
即两圆的圆心在公共弦的两侧，两个圆的圆心在公共弦的同侧.

设计意图：随着学习的深入，知识拓展的宽度逐渐增大，一些问题同学们考虑相交的两种情况，才能全面正确的解决问题.
（二）例题讲解
师：我们生活中有很多由圆组成的图案，刚才同学们已经举出了不少例子，现在老师举个例子，大家小的时候是不是玩过吹肥皂泡的游戏？吹出来的肥皂泡也会出现许多种圆与圆的位置关系，比如会出现两个肥皂泡黏在一起的情形，我们接下来就看一个例题，请看题：
例：两个同样大小的肥皂泡融在一起，其剖面如图所示(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

师：这个问题如何解决呢？
学生分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP= P O′=OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT=∠O′PT=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO′即可．
生：解：∵OP= P O′=OO′
∴△POO′是一个等边三角形
∴∠OPO′=60°
又∵TP与NP分别为两圆的切线
∴∠TPO=∠NPO′=90°
∴∠TPN=360-2×90°－60°=120°
设计意图：通过这个例题说明，圆和圆的位置关系和以前学习的知识有密切的联系，学习要把知识系统化.
（三）内切和外切
师：在圆与圆的五种位置关系中，有两种是很特殊的，就是外切和内切.我们来探讨一下它们特殊在哪儿.
如图，⊙与⊙外切，这个图是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?切点与对称轴有什么位置关系？如果⊙与⊙内切呢?

学生讨论交流
生：圆是轴对称图形.对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢?这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上，可以反证法来证明．
假设切点T不在上．
因为圆是轴对称图形，所以T关于的对称点T′也是两圆的公共点，这与已知条件⊙和⊙相切矛盾.因此假设不成立．则T在上．
由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上．
在图(2)中应有同样的结论．
（学生发言，老师做适当的补充）
师：通过上面的讨论，我们可以得出结论：
两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点.
图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．
师：
(多媒体展示)
设两圆的半径分别为R和r．
(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系；反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗?

(2)当两圆内切时(R＞r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系?反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗?
学生小组讨论
教师课件演示

生1：在图(1)中，两圆相外切，切点是A,
因为切点A在连心线上，
所以=A+A＝R+r，
即d＝R+r；
反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和, 、A、在一条直线上，所以⊙与⊙只有个交点A，即⊙与⊙外切．
生2：在图(2)中，⊙与⊙相内切，切点是B
因为切点B在连心线上，
所以=B-B＝R-r，
即d＝R-r；
反之，当d＝R-r时，说明圆心距等于两圆半径之差, 、A、在一条直线上，所以⊙与⊙只有个交点A，即⊙与⊙内切．
总结：两圆外切d＝R+r 两圆内切d＝R－r (R＞r)
设计意图：让学生感知图形的“位置关系”与“数量关系”常常是相互联系的，“位置关系”决定“数量关系”.反之，“数量关系”又是刻画“位置关系”的一种简明的符号语言.　
三、随堂练习，巩固提高
1、如图是一个小熊的头像，图中反映出圆与圆的四种位置关系，但是其中有一种位置关系没有反映出来，它是两圆 .
2、⊙与⊙的半径分别为7和9，当两圆相切时，= .
3、相切两圆的圆心距为11，其中一个圆的半径为18，那么另一个圆的半径为 .
设计意图: 通过题组训练，巩固本节课所学的知识.通过图形的辨认进一步加深对圆和圆的位置关系的认知. 在练习2、3设计中，充分体现相切的两种形式，培养学生严谨缜密的思维品质，加强“分类讨论”数学思想的训练.
四、课堂小结，反思提高
师：好，我们今天对圆与圆的位置关系就探讨到这里.通过这堂课同学们有什么收货呢？
生： ① 探索圆和圆的五种位置关系；
② 讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系；
③ 重点探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系.
④ 学会分类讨论的解题方法.
设计意图: 组织学生小结，并作适当的补充，从知识、方法和情感三方面归纳，进行反思.有困惑的学生，课后和老师交流.
五、达标检测，反馈矫正
1、如图1，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长）．⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，那么⊙A由图示位置需向右平移_____个单位长．

2、已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10 cm，其中⊙A的半径为4 cm，⊙B的半径为 .
3、已知两圆的圆心距d=8,两圆的半径长是方程x2-8x+1=0的两根,则这两圆的位置关系是______.
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，课后促学
必做题：课本137页习题3.9的第1，2题.
选作题：课本138页习题3.9的第5题.
动手操作：课本137页习题3.9的第3题.
课后阅读：课本135页读一读“麦比乌斯带”
板书设计
§3.6 圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系

例题
外切

内切

学生板演区

教学反思：
在这节课里，学生经历了探索两个圆之间位置关系的过程，训练了学生的探索能力，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；并且通过电脑操作直观地探索圆和圆的位置关系，发展了学生的识图能力和动手操作能力，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维.基本上达到课前预想的目的.从课堂反映以及课后作业看来，学生在圆与圆的关系知识中，可以达到新课标的要求，能够了解圆与圆之间的几种位置关系；了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系，并解决一些简单的综合题.
本节课的失误，主要对于圆与圆位置关系的分类依据，根据新课标的要求，本人只引导学生考虑圆与圆的交点个数来进行分类，加上“内”“外”之分，有意回避圆心距与两圆半径关系的比较（只考虑外切、内切时的情况，新教材建议不做拓展），经过组内老师的点评，才了解实际教学不必循规蹈矩，可以进行适当补充，这种数学思想对学生高中的学习十分有益.本人决心深入研究教材，宏观上把握好教材的处理，同时学习其他老师的好经验，做到游刃有余，上好每一堂课.