资源描述
3.2.2圆的对称性教案
教学目标：
1．理解圆的旋转不变性；
2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．
教学重点与难点：
重点：1.利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．
2.理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件．
难点：利用所学知识解决问题时忽视“同圆”或“等圆”的条件.
教法与学法指导：分组活动、交流研讨并进行归纳.在老师的启发引导下,学生经过观察、操作、猜测、推理论证、归纳等方法探究出新知.
学生经过对圆的“轴对称美”的认知和学习后，教师引导学生进一步认识圆的“中心对称美”，通过实际操作体会圆的完美性，培养学生对美的感受，激发学习兴趣．
课前准备：多媒体课件、自制两张半径相等且透明的圆形卡片.
教学过程：
一、知识链接，导入新课
师：出示问题
1.圆是轴对称图形，其对称轴是什么？
2. 我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？
3.圆是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？
（学生回顾圆的轴对称性及中心对称图形的定义，并进行小组交流）
生1：圆是轴对称图形，过圆心的任一条直线都是它的对称轴.
生2：将一个图形绕某一个点旋转180°，如果能够和原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形.
生3：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
本节课我们继续利用圆的对称性探究圆的其它性质
教师板书课题：§3.2 圆的对称性（2）
设计意图：引导学生认识到圆是一个特殊的图形，既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，从而使学生较为自然地探讨圆的其他特性.
二、师生合作，探究新知
探究（一） 圆的旋转不变性
师：（出示问题）请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆.
它们能重合吗？如果能重合，将它们的圆心固定，将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 ?
（学生用自制的两张全等的圆形纸片进行探究并进行归纳）.
生：两个圆能重合；将它们的圆心固定在一起，将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆都能重合.
师：根据学生的回答进行强调.
圆的这一性质称作圆的旋转不变性，即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合. 圆的中心对称性是其旋转不变性的特例.
设计意图：引导学生在已有的认知基础上更深入理解圆的中心对称性是其旋转不变性的特例，激发学生的探究兴趣，为后面的探究学习做好铺垫.
探究（二） 通过师生共同实验，探究在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间相等关系.
师：出示问题
在⊙O 和⊙O′上分别作相等的圆心角 ∠AOB和∠A′O′B′,然后将两圆的圆心固定在一起.将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与O′A′重合.
你能发现哪些等量关系？由此你能等到什么结论？
AB = A′B′
⌒
⌒
学生观察后猜想：
AB= A′B′,
结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
学生用叠合法验证自己的猜想：
生：观察思考后动手操作验证自己的结论.
师：深入小组进行指导，特别是引导学生注意在旋转使∠AOB与∠A′O′B′重合时一定要使OB相对于O′B′的方向与OA相对于O′A′的方向一致.
（学生操作完成后教师出示定理）
师：（板书）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
（多媒体展示）
思考：命题“相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.”是真命题吗？若不是，举出反例.
（学生独立思考后小组交流.）
生1：不是真命题.
例如：如图，∠AOB=∠A′O′B′，则，AB≠A′B′.
生2：不是真命题.
例如：如图，∠AOB=∠A′O′B′，则，AB≠A′B′.
师：（强调）在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提.
设计意图：通过实验得到圆的旋转不变性后，引导和帮助学生用叠合法说明该定理，在旋转使∠AOB与∠A′O′B′重合时，一定要使OB相对于O′B′的方向与OA相对于
O′A′的方向一致,否则当OA与O′A′重合时, OB与O′B′不重合，同时借助举反例加深学生对“在同圆或等圆中”这一前提条件的重要性的认识，培养学生的数学严谨性，提高学生分析问题的能力.
探究（三） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
师：出示问题
1．在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗?你是怎么想的？
2．在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？
结论：
（学生类比前面的学习先独立完成然后再小组交流）
生1：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等，这两个圆心角也相等.学生到讲台运用叠合法进行演示说明.
生2：在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，它们所对的弧相等.我也是运用叠合法验证说明的.
师：结合前面的定理你能用一句话概括在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的相等关系吗？
生：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
师：板书定理并作进一步强调.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
推理格式：
如图所示：
(1)∵⊙O 和⊙O′是等圆,且∠AOB=∠A′O′B′,
∴AB=A′B′，.
（2）∵⊙O 和⊙O′是等圆,且,
∴ AB=A′B′，∠AOB=∠A′O′B′.
（3）∵⊙O 和⊙O′是等圆,且AB= A′B′,
∴， ∠AOB=∠A′O′B′.
设计意图：进一步培养学生探索新知识的能力，利用圆的旋转不变性探索到圆心角、弧、弦之间相等关系定理，并能用叠合法说明其正确性.同时教师借助多媒体展示定理的推理格式对学生在今后学习中的应用起到规范作用.
三、典例导航，引领示范
例1 如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥AB重足分别为E，F．
⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关系？为什么？与的大小有什么关系？∠AOB与∠COD呢？
解：(1)如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF.
理由是：∵∠AOB=∠COD，
∴AB=CD.
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=AB,CF=CD.
∴AE=CF.
又∵OA=OC,
∴Rt△OAE≌Rt△OCF.
∴OE=OF.
(2) 如果OE=OF那么AB=CD, =, ∠AOB=∠COD.理由是：
∵OA=OC，OE=OF，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF.
∴AE=CF.
又∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB,CF=CD.
∴AB=2AE，CD=2CF.
∴AB=CD.
∴=,∠AOB=∠COD.
设计意图：通过例题的学习既能给学生一个示范，规范学生的解题过程，同时将定理扩充到在同圆或等圆中“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等”关系定理，引导学生结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系.
四、巩固升华，拓展思维
1.判断正误：（1）相等的圆心角所对弦相等. （ ）
（2）相等的弦所对的弧相等. （ ）
（3）相等的弧所对的圆心角相等. ( )
2.⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．
3.如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等
C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对
4.一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为 ．
5. 已知A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是的中点，试确定四边形OACB的形状，并说明理由．
设计意图：在练习设计中，充分体现学生的分层.分层次练习很好地尊重了学生的个体差异，满足了学生多样化的学习需求，充分体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念.通过练习使学生进一步巩固在同圆或等圆中“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等”关系定理，同时培养学生分析解决问题的能力，从而达到触类旁通的效果.
五、课堂小结，反思提升
议一议：本节课你有哪些收获？在学习的过程中你用到了哪些方法？
生：利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理．在学习的过程中通过观察、猜测后运用叠合法说明结论的正确性，进而得出本节课的定理．
设计意图：让学生有充分的时间进行交流，讨论.教师在当中要引导学生去归纳.如：折叠、轴对称、旋转、证明等方法.培养学生总结，归纳知识的能力，语言的表述能力.
六、达标检测，反馈矫正
1.在⊙O中，=，∠A=40°，则∠B= ．
2、如图，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD ∠BOF，
，AC AE．
3.如图，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．
4.如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E，F，且AE=BF.
求证： =.
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
七、布置作业，落实目标
必做题：课本 知识技能 第1、2题.
A
N
B
P
D
M
O
C
E
选做题：如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线与CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点E、F.你以为∠APE与∠CPE有什么大小关系？为什么？
设计意图：分层布置作业，使不同层次的学生都有事可做，心中都有成就感，同时也能调动学生的学习积极性和主动性，相信自己也能完成选做题，培养学生不甘落后的上进意识.
板书设计:
3.2 圆的对称性（2）
圆的旋转不变性：
做一做：
想一想：
例2
学生板演区
教学反思:
1．本节课师生及生生互动良好，课堂气氛活跃，学生学习激情较高.课堂上我先给学生留有充足的动手实验和思考的时间，在学生探究完成后利用多媒体进行动态演示，使探究的结论更加直观形象.同时，通过学生自己动手体验知识的形成过程，使学生获得成功的体验，学生的自信心很强，学生的观察、分析、归纳等能力都得到了进一步提升.通过解决相关的知识性的问题，让学生体会到数学的严谨美，从而达到教育他们要实事求是、思考问题要缜密的学习态度.在整个教学中我对学生只是一个在方法上的引导者，鼓励、帮助学生自己去发现问题、探究问题，学生在欢快的氛围中完成了本节课的学习目标.这是本节课的成功之处也是我以后的教学指向，相信长此以往一定会取得很好的效果的.
2．在授课过程中发现有个别学生在课堂中根本没能能全部顺利的完成，也许会挫伤他们的学习积极性，所以在课后要做好学生的辅导工作.对该定理的文字表达方面，还要引起教师的重视，还应让学生深入发掘创新探究的内容，这样会帮助学生更好地运用整节书的重要知识，提高学生应用新知识的能力.
3．学生知识的掌握并不代表能力的提高，很多学生眼高手低，在具体的几何逻辑推理中常常不能严谨的进行推理，或叙述不准确或定理不会运用，这都需要在今后的教学中要注意规范和引导的，同时在课堂教学设计上我会更加努力，力争打造愉快和谐的高效课堂.
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