资源描述
角平分线
二、教学目标：
1.经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，进一步体会证明的必要性．
2.掌握三角形三个内角的平分线的性质，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
3.综合运用角平分线的性质定理和判定定理解决几何中的问题．
三、教学重点、难点：
重点：三角形三个内角的平分线的性质．
难点：.综合运用角平分线的判定和性质定理解决几何中的问题
四、教学方法及教具：
讲练结合法 多媒体演示法 探究法 尝试指导法
五、教学过程：
●温故知新：
1、角平分线的定义
2、尺规作图的工具
3、角平分线的性质定理和逆定理
4、角平分线性质定理和逆定理的几何语言表示
A
O
C
B
1
2
P
D
E
1.角平分线的性质定理.
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线,点P在OC上，
PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
2.角平分线的性质的逆定理.
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
几何语言：
∵PD⊥OA,PE⊥OB, 且PD=PE,
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
3、用尺规作角的平分线
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
●导学释疑（大胆猜想，动手实践）
同学们还记得三角形三边垂直平分线的内容吗？ 请结合该内容大胆猜想一下三角形三个内角的平分线有哪些性质？大胆说出你的猜想。
小组合作，动手实践：
1、 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个内角的角平分线，观察这三条角平分线，得到的结论是否与你的猜想一致？
2、动手画一画三角形的内角平分线得到的结论是不是跟猜想的一致？
3、得出你的结论
结论:三角形三条角平分线相交于一点. 这一点到三角形三边的距离相等．
怎样证明这个结论？
证明命题:三角形三个角的平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，过点P作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足。
求证： ∠A的角平分线经过点P，且PD=PE=PF．
证明：
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
PD⊥AB,PE⊥BC
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等.)
同理：PE=PF．
∴PD=PF=PE．
∵PD⊥AB,PF⊥AC,PD=PF
∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.)即 ∠A的角平分线经过点P
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
几何语言：
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AE分别是△ABC的
三条角平分线,且PD⊥AB,
PE⊥BC,PF⊥AC(已知),
∴BM,CN,AE相交于一点P,且PD=PE=PF
E
D
A
B
C
(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等). 提示:三角形三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心.
●巩固提升，学以致用。
例.如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB
∴DE=CD=4cm，
又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，
又∵∠C=90°，∴∠B=∠BAC=45°，
∵ DE⊥AB ∴∠BDE= 90°-∠B=45°
∴BE=DE=4cm
在等腰直角三角形BDE中由勾股定理得BD= cm
∴AC=BC=CD+BD=4+ (cm)
（2）由（1）的求解过程可知：
Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC=AE(全等三角形对应边相等）又∵BE=DE=CD
∴AB=AE+BE=AC+CD
●检测反馈，随堂练习
1、思考：
三角形三边垂直平分线和三个内角角角平分线的区别联系
2.已知:如图,∠C=90°, ∠B=30°,AD是Rt△ABC的角平分线.求证:BD=2CD.
3、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
●拓展延伸：作业：
选做题
已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.
求证:点F在∠DAE的平分线上.
●课堂总结：1、通过本节课的学习你的收获是什么？
2、你对你的小组学习如何评价？
●六、板书设计
1.4角平分线（2）
一、温故知新 三、学以致用
1 例题
2 四、课堂反馈，随堂练习
3 五、拓展延伸
4 选作题。
二、导学释疑，大胆猜想，动手实践 六、小结
●七、反思重建
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