山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 7.3 圆和圆的位置关系复习教案 北师大版.doc

7.3圆和圆的位置关系复习教案
教学目标
1．了解圆的五种位置关系．
2．掌握两圆的圆心距d与两圆的半径R、r之间的关系．
教学重点与难点
重点：圆和圆的五种位置关系．
难点：两圆相切或相交时性质的运用．
教法与学法指导
本节课主要采用知识回顾---热点跟踪---例题讲解---归纳总结---课堂检测---布置作业的课堂教学模式,借助导学案中的问题题组帮助学生总结本考点的内容，在小组讨论的基础上，引导学生梳理本章的知识结构框架，然后通过小题组练习来巩固主要内容，达到巩固基础、提升能力的目的.同时，在师生互动的学习过程中，让学生体验成功的喜悦.
教师准备：多媒体课件；
教学过程：
一、课前热身，知识点击
（学生在提前下发的导学案上完成知识梳理，初步回顾圆和圆的位置关系相关知识点.）
1.两圆的位置关系概念
外离：两个圆 公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的 ．
A
B
A
B

内含：两个圆 公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的 ．
外切：两个圆有 公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的 ．

A1
B2
内切：两个圆有 公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的 ．
相交：两个圆有 公共点．
2.两圆位置关系判别：
两圆的圆心距为d ，两圆的半径为分别为R、r
两圆外离 ．
两圆外切 ．
两圆相交 ．
两圆内切 ．
两圆内含 ．
可以借助数轴的形式来记忆：
同心圆
内切
外切
0
R-r
R+r
内含
外离
相交
同心圆
内切
外切
0
R-r
R+r
内含
外离
相交

3.相切两圆的性质：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过 ．
相交两圆的性质：两圆相交时，两圆的连心线 公共弦．
备考兵法
1．两圆位置关系的判别这个结论是双向的，“ ”是由两圆位置的关系，得到两圆半径与圆心距之间特定的数量关系，这是两圆位置关系的性质，利用这些性质可以把形的问题转化为数的问题来解决；“ ”是根据两圆半径与圆心距之间的某种数量关系来判定两圆的位置关系，从而把判定形的问题，转向为数的问题来解决．
2. 两圆的五种位置关系中，重点讨论两圆相交、相切的性质，在解决两圆的相交问题时，常添连心线、公共弦等辅助线，两圆相切时常作连心线．
设计意图：课下完成导学案知识梳理部分，掌握初中所学的有关圆和圆位置关系的基本知识，节省课上时间，为知识拓展打下基础，学生通过这种方式对所学的知识进行及时的巩固，最终达到掌握并灵活应用的目的.
二、情感交流，激志导入
师：本节课我们继续来复习圆的相关知识，课前通过学案已经对圆和圆的位置关系相关知识做了梳理，我们这节课就深入复习这部分知识．
【板书课题，考点三 圆和圆的位置关系】
华罗庚说过：“解题是数学的心脏”，下面我们通过考试热点，来展现同学们的能力吧．
学生精神饱满，情绪高涨.
设计意图：通过情感交流入复习课，调动学生学习的积极性；更快的让学生进入角色，为本节复习课奠定基础.
三、热点跟踪，激活基础
师：我们共同来看一下中考中本节的知识点的呈现方式．
（多媒体依次出示热点）
（学生参考学案中的热点，针对自己的完成情况展示师生交流）
热点1：圆和圆的位置关系的性质
1．如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a，0），半径为5．如果两圆内含，那么a的取值范围是________.
【学生分析】
生1：可以看两个特殊位置，当小圆往左平移与大圆相内切时a=-2；当小圆往右平移与大圆相内切时a=2．所以当两圆内切时a的取值范围是：-2＜a＜2．
生2：两圆的圆心距为，当两圆内含时＜2，所以-2＜a＜2．
师：（点评）两位同学从两种不同的角度来完成这道题，第一位同学的做法借助了特殊位置内切的两种情况，画图可以很清晰的得到；第二位同学借助了圆心距和半径的关系两圆内含时d＜R-r．
1．已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3和5，且⊙O1与⊙O2相切，则O1O2等于 ．
2．如图，⊙A、⊙B的半径分别为4、2，且AB＝12。若作⊙C使得三圆的圆心在同一直在线，且⊙C与⊙A外切，⊙C与⊙B相交，则下列可能是⊙C的半径的是（ ）

A．3　　　 B． 4 C．5 　　 D ．6
【附答案】
1．2或8；2． B．
设计意图：五种位置关系中，两圆相切是常考的关系之一，所以在题目选择中以与相切有关的题目为主，相切题目的设置还能考察学生的分类讨论意识，热点第1题和巩固练习1都反映了分类讨论思想．
热点2：圆和圆的位置关系的判别
2.（2012﹒潍坊）已知两圆半径r1、r2分别是方程的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
A、相交 B、内切 C、外切 D、外离
【学生分析】
生3：解方程的两个根为2和5，所以r1+r2=7=d，所以两圆外切．
生4：这道题不用求方程的两个根，直接利用一元二次方程根与系数的关系可以知道：r1+r2==7，所以d =7= r1+r2，所以两圆外切．
师：（点评）第二位同学的解法很显然更快捷，不需要解方程就能完成，节约了时间也提高了正确率，比如把这个方程换为更能体现出第二种方法的优越性．

3．两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（　 　）
A、两个外离的圆 B、两个外切的圆
C、两个相交的圆 D、两个内切的圆
生5：通过做出左视图可以得到答案选择：D．
1．已知⊙O1与⊙O2的半径、分别是方程 的两实根，若⊙O1与⊙O2的圆心距=5．则⊙O1与⊙O2的位置关系是____．
2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1cm，4cm，则⊙A，⊙B的位置关系是（ ）
A、外切 B、内切 C、相交 D、外离
3．已知线段AB＝5cm．现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A和⊙B的位置关系是(　　)
A、内含 B、相交 C、外切 D、外离
【附答案】1．外离；2．A；3． 外切．
设计意图：相对于热点一是通过位置关系判断数量关系，热点二题目的选择主要是通过数量关系来判断位置关系，适当的时候借助图形会简化解题过程，尤其变式训练中的后两个小题．
热点3：圆和圆的位置关系的计算
3．如图，图①中圆与正方形各边都相切，设这个圆的周长为C1；图②中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的周长为C2；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这九个圆的周长为C3；…，依次规律，当正方形边长为2时，则C1+ C2+ C3+…+C99+ C100=

【学生分析】
图1中，圆的直径是2，所以C1=2π．
图2中，四个圆依次外切且与正方形的边相切，所以相切两圆的直径之和是2，所以每个圆的直径是1，所以C2=4×1π=4π．
图3中，九个圆依次外切且与正方形的边相切，所以横着相切三圆圆的直径之和是2，所以每个圆的直径是，所以C3=9×π=6π．
所以可以猜测后面的每个图形周长比前一个多2π，C100=200π．
所以：C1+ C2+ C3+…+C99+ C100=2π+4π+6π+…+200π=10100π．
师：（点评）在这个题目中可以通过前三个图形发现规律，后面周长比前一个多2π，其实我们可以求出Cn，第n个图形共n2个圆，每个圆的直径是，所以Cn=2n﹒π=2nπ．
1．在上题中第一个圆的面积记为S1，第二个图形中四个圆的面积为S2，第三个图形中九个圆的面积为S3，以此类推，则S100= ．
2．如图，图2 是一个组合烟花（图1）的横截面，其中16个圆的半径相同，点O1、O2、O3、O4分布是四个角上的圆的圆心，且四边形O1O2O3O4
正方形。若圆的半径为r，组合烟花的高度为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（解缝面积不计）（ ）
A、26πrh B、24rh＋πrh C、 12rh－2πrh D、 24rh＋2πrh

【附答案】1．π；2．D．
设计意图：这几个题目的设置主要还是考察两圆外切时圆心距和半径之间的关心，并能探索出规律.
热点4：圆和圆的位置关系的综合
4．如图AB是⊙O的直径，以B为圆心，BO为半径画弧交⊙O于C、D两点，则∠BCD的度数是 ．
【学生分析】
由圆的对称性可知OB与CD互相垂直平分于点E，则BE=OB
∵ 两圆半径相等
∴ BC=OB，BE=BC
∴∠BCD=30°
师：（点评）本题的关键是熟练掌握和运用圆的对称性和等圆的性质．当然本题也可以借助相交两圆的公共弦被连心线垂直平分得到BE=OB．
5．如图，⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，⊙O与其他4个圆均相外切，图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，则四边形O1O4O2O3的面积为( )
A、12cm2 B、24cm2 C、36cm2 D、48cm2
【学生分析】
连接O1O2，O3O4，由于图形既关于O1O2所在直线对称，又因为关于O3O4所在直线对称，故O1O2⊥O3O4，O、O1、O2共线，O、O3、O4共线，所以四边形O1O4O2O3的面积为O1O2×O3O4．
∵⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm．
∴⊙O的直径为4 cm，⊙O3的直径为2 cm．∴O1O2=2×8=8 cm，O3O4=4+2=6 cm，
∴S四边形O1O4O2O3=O1O2×O3O4=×8×6=24cm2．故选B．
师：（点评）本题主要考察了相切两圆的性质，菱形的判定与性质．
设计意图：通过热点分析让学生充分了解圆和圆的位置关系在考试中的呈现方式，掌握解决这一类习题的基本技巧，全面系统的掌握本节内容.
四、典例探究，发散思维
例：如图⊙O1与⊙O2相交于A、B，点O1在⊙O2上，AC为⊙O1的直径，CB的延长线与⊙O2相交于D，连接AD．
求证：（1）AD是⊙O2的直径；
（2）AD=CD
【师生合作分析】
师：要证明AD是⊙O2的直径只要说明什么即可？
生：（齐声）AD所对的圆周角等于90°.
师：所以可以作哪条辅助线？
生：连接AB即可.
师：要证明AD=CD可以通过什么途径？
生：只要证明∠DAC＝∠C即可？
师：如何证明？
（学生陷入思考，相当多的同学感到很困惑）
师：相交两圆常作的辅助线有哪些？
生：公共弦或者连心线.
师：公共弦已经在第1问中作完了，你连接O1O2看看有什么发现？
（学生连线，交流）
生：由AO2 =O1O2可以得到∠DAC＝∠AO1O2．由中位线可以得到∠C＝∠AO1O2．
师：尝试写出解题步骤．
（学生到黑板板书）
【学生板书】
解：（1）连接AB，连接DO1，
∵AC是⊙O1的直径，
∴∠ABC=∠ABD=90°，
在⊙O2中，∵∠ABD=90°，
∴AD是⊙O2的直径．
﹙2﹚∵ AO1= CO1，AO2= DO2，
∴ O1 O2∥CD，
∴ ∠AO1 O2=∠C，
∵ AO2 =O1O2，
∴∠DAC＝∠AO1O2，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD=CD．
师：如果不利用等角对等边还有别的方法证明两条线段相等吗？
生：（齐声）全等也证明两条线段相等．
生1：可以连接DO1，证明△ADO1≌△CDO1．
生2：连接DO1之后不证明全等也可以，DO1⊥AC且AO1= CO1所以DO1是AC的垂直平分线，所以DA=DC．
【学生板书】
连接DO1．
∵AD是⊙O2的直径，
∴∠AO1D=90°，
∵AO1=O1C，DO1⊥AC，
∴DO1是AC的垂直平分线，
∴DA=DC．
两个同样大小的肥皂泡融在一起，其剖面如图所示(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

【附答案】
∵OP= P O′=OO′
∴△POO′是一个等边三角形
∴∠OPO′=60°
又∵TP与NP分别为两圆的切线
∴∠TPO=∠NPO′=90°
∴∠TPN=360-2×90°－60°=120°
设计意图：通过例题的分析、板书，一方面让学生体会圆和圆相交时常用的辅助线做法，另外也通过例题的板书规范学生的书写步骤.
五、课堂小结，反思提高
1.通过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？
（学生自由回答）
2.本节课的学习值得思考的还有是什么？
（学生自由回答）
设计意图:组织学生小结，并作适当的补充，从知识、方法和情感三方面归纳小结，进行反思．有困惑的学生，课后和老师交流．
六、课堂检测，达标反馈
1．如图1，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长）．⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，那么⊙A由图示位置需向右平移__ ___个单位长．
2．已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10 cm，其中⊙A的半径为4 cm，⊙B的半径为 .
3．已知两圆的圆心距d=8,两圆的半径长是方程x2-8x+1=0的两根,则这两圆的位置关系是______.
4．（2012﹒兰州）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是 ．
5．有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），共中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm．最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等。
⑴直接写出其余四个圆的直径长；
⑵求相邻两圆的间距。

设计意图：通过基础训练，考点达标，及时获知学生对所复习知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
七、布置作业，课后促学
必做题：复习指导丛书 P130 第5、6、9、11、13、14题．
选做题：复习指导丛书 P131 第15题．
板书设计：
7.3 圆和圆的相关知识
知识梳理

热点跟踪
典例分析

学生板演区

教学反思：
闪光之处：复习课如果上成串知识点或练习课那就失去了复习课的意义，复习课其实是旧知识新应用，因此必须精选好例题和习题.好的例题习题的设计是整堂复习课的灵魂，一个好的例题能激起学生学习数学的兴趣，合理的变式会激起学生探索的欲望.通过变式训练，能让学生掌握解决这一类问题的基本方法，起到举一反三、触类旁通的作用.
本节课大多数题目有学生来完成，我只是做了个别的点拨，大胆放手，让学生充分发挥他们的主动性，因为我放开了，学生真正成为学习的主人.作为教师，对学生在学习上要放手，培养他们学会学习、学会合作、学会探究，变被动为主动、变不会学为会学，逐步养成良好的学习.
不足之处：对圆和圆的位置关系中涉及证明的部分把握不准，在题目选择上还有待进一步斟酌，学生的反应也不是太理想.
再教建议：在上复习课过程中题目数量是不好控制的，尤其在45分钟内要完成所有教学任务就很难做到面面俱到，所以合理的借助学案可以提高课堂效率，针对学生出现的问题针对性的引导、分析、总结，真正起到复习的目的，让学生有一次质的提升。对于过于简单且学生掌握较好的部分教师可以在学案批阅中加以简单点评或者课堂多媒体展示中适当的点拨