山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 7.4 圆的有关计算复习教案 北师大版.doc

7.4圆的有关计算复习教案教学目标：1.复习与圆有关的计算公式.2.体验公式的推导过程，会用公式计算弧长、扇形面积、圆锥侧面积和全面积等问题.3.通过多种手段，提高学生复习兴趣和复习效率.教学方法：“圆”是历年中考的重点内容，“圆的有关计算”是其重要组成部分.由于世界上很多著名的建筑都与圆（的计算）有关，为了达到更好的复习效果，本课以“去世界各地旅游”的方式，设计了以下几个环节：一、旅游前的准备知识网络、考试要求、考点统计、要点回顾；二、旅游中的乐趣中考真题回顾；三、旅游后的感想规律方法总结. 课前准备：教师：查阅各地中考真题，下载相关图片，制作几何画板、PPT课件；学生：备好复习指导丛书，九年级下册数学课本.教学过程：一、旅游前的准备师：世界上很多著名建筑都与圆有关，当然，在建设它们时，都离不开圆的有关计算.这节课，老师将带领大家去这些地方旅游，一来欣赏壮丽风景，二来领略人类智慧！生1：太好了！我最喜欢旅游了！师：大家知道旅游前要做好哪些准备吗？生2：身份证、银行卡、换洗的衣服、急救的药品师：呵呵，你真是个行家！只有做好了充分的准备，才能享受到旅游的乐趣！那么要复习好圆的有关计算，需要做好哪些准备呢？准备之一：知识网络师：我们都知道，数学包括“数”和“形”两大部分，“数”中最重要的是“函数”，而“形”的压轴大戏是“圆”，“圆”的压轴部分就是“圆的有关计算”.下面的“知识树”可以反映这一关系：生：（识图、体会圆的地位作用）准备之二：考试要求师：在中考时，圆的有关计算一定会考，请一位同学读一下考试要求（利用PPT出示）：生3：(读考试要求)1.会计算弧长及扇形面积；2.会计算圆锥侧面积和全面积.师：这是我们复习丛书上的考试要求，其实，圆的有关计算还应该包括求圆的半径（直径）、弦长、圆心角、圆周角、点到圆心的距离、直线到圆心的距离、两圆的圆心距等等.生：哦，我们记住了.师：这些内容，我们前面已经复习过了，今天的重点还是放在前两点上.准备之三：考点统计师：关于圆的有关计算，老师针对2012年的中考数学试题，作了一个简单统计.请看下表：考查的知识点考题形式考查频率计算长度（距离）半径（直径）、弦长选择、填空高频距离（判断位置关系）点与圆选择、填空低频直线与圆选择、填空、解答低频圆与圆选择、填空高频圆的周长、弧长选择、填空、解答高频求面积圆的面积、规则图形面积选择、填空低频不规则图形面积选择、填空、解答高频准备之四：要点回顾师：本节考点以公式为主，你还记得下面这些公式吗？（利用PPT出示填空）1. 弧长公式：l=_（其中l为n的圆心角所对的弧长）.2. 扇形的面积公式：S=_=_.3. 圆锥侧面积公式：S圆锥侧=_；圆锥全面积公式：S圆锥全=_.生4：1. 2. 3. S圆锥侧= S圆锥全=师：还记得它们是怎样推导出来的吗？生5：弧长公式是借助圆的周长公式推导出来的：扇形面积公式是借助圆的面积公式推导出来的：生6：圆锥侧面展开图是扇形，因此圆锥侧面积是借助 扇形面积公式推导出来的；全面积就是侧面积+底面积得到的:设计意图：本环节意在让学生了解“圆的有关计算”的 “知识网络”、“考试要求”、“考点统计”和“要点回顾”为下面的做题做好充分的准备.实际效果：由于设计了“旅游”内容，学生的兴趣浓厚,对“圆的有关计算”有了较全面的认识.引起了学生做题的欲望.二、旅游中的乐趣师：旅游前的准备已经很充分，现在就让我们跟随导游一起出发吧！【第一站】薛城奚仲广场基础热身练习导游：我们家乡是造车鼻祖奚仲的故里，我们就先去奚仲广场看看吧！1. （2011聊城，14，3分）在半径为6cm的圆中，60圆心角所对的弧长为 cm.(结果保留)生7：根据弧长公式.2(2012重庆，14，4分)一个扇形的圆心角为120，半径为3，则这个扇形的面积为_（结果保留）生8：根据扇形的面积公式：.3（2012贵州铜仁，6，4分）小红为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm,母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为（ ）A270cm2 B540cm2 C135cm2 D216cm2生9：根据圆锥侧面积公式：S侧=rl=930=270. 选A.【点评】以上3题考查三个公式的直接应用，要注意看清有没有“单位”，属于基础类型.权当旅游出发前的热身.【第二站】巴黎埃菲尔铁塔弧长综合练习导游：埃菲尔铁塔是巴黎标志性建筑，它的底座是由四段圆弧组成.你会求比较复杂问题的圆弧的长度吗？4. （2012山东泰安，18，3分）如图，AB与O相切于点B，AO的延长线交O于点C，连接BC，若=120，OC=3，则的长为（ ）A. B.2 D.3 D.5生10：连接OB，因为AB是O的切线，所以OBAB，ABO=90， 因为=120，所以=30.因为OB=OC，所以C=B=30，BOC=120，所以的长l=.选B.【点评】圆的切线垂直于过切点的半径，连过切点的半径是圆中常作的辅助线之一；熟记弧长公式的求弧长的基础，设法求出弧所对圆心角的度数是关键（已知半径和条件下）。5（2012江苏盐城，26，10分）如图所示，ACAB，AB=，AC=2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DECD交直线AB于点E，设DAB=，（00900）（1）当=180时，求的长.（2）当=300时，求线段BE的长.（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则的取值范围是_ （直接写出答案）生：（思考、交流、讨论）师：本题考查了圆的有关计算和证明证明三角形相似是解题的关键.（1）欲求的长，只要知道所在圆的圆心角和半径代入弧长公式（），故连半径OD，BOD=2，半径OB=，弧长可求；（2）当=300时，已知直径AB，可以计算出AD、BD，又AC已知，故可以利用BDEADC，列出比例式，求出BE.（3）通过画图可以找出的取值范围.生11：（1）连接OD，=180，BOD=360，又AB=，OB=，的长=（2）AB是半圆O的直径，ADB=900，又=300，B=600，又AC为半圆O的切线，CAD=600，CAD=B，又DECD，ADC+ADE=900，又ADE+BDE=900，BDE=ADC，BDEADC，即,BE=(3)600900 【点评】这是一道与圆有关的计算、探索题，重点考查了圆的有关性质、切线的性质、弧长公式等知识，通过构建相似三角形来求解是解题的关键.属于中高难题.【第三站】北京天坛圆锥问题综合练习导游：来过北京的同学，一定会来天坛.它始建于明朝永乐十八年(1420年),是中国古代明、清两朝历代皇帝祭天之地。它整体呈圆锥形，高38.2米，底面直径24.2米，里面分别寓意四季、十二月、十二时辰以及周天星宿，是古代明堂式建筑仅存的一列。1998年被联合国教科文组织确认为“世界文化遗产”。6. （2012浙江省衢州，9，3分）用圆心角为120，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )A.cm B.cmC.cmD.4cm 生12：由扇形弧长=圆锥底面圆周长得出圆锥底面圆的半径为2cm，母线长为6cm，进而由勾股定理，即可得出答案选C.【点评】此题主要考查了圆锥展开图与原图对应情况，以及勾股定理等知识，根据已知得出圆锥底面圆的半径长是解决问题的关键7.(2012四川省南充市，9，3分) 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ） A120 B180 C240 D300生13：设母线长为R，底面半径为r，则底面周长=2r，底面面积=r2，侧面面积=rR，由题知侧面积是底面积的2倍。所以R=2r，设圆心角为n，则，解得n=180.答案：B【点评】已知圆锥的侧面积和底面积的倍数关系，可得到圆锥底面半径和母线长的关系，从而利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数8.（类教材九下P147 T6）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？ 生14：小猫所经过的路程最短，就是求圆锥侧面展开后两点B、P之间的线段长度。设圆锥底面半径为r ，母线为l，展开后圆心角度数为n，则轴截面ABC为等边三角形AB=BC 即即其侧面积展开图为半圆.则ABP为直角三角形，BP为最短路线.在RtABP中，由勾股定理得：BP=小猫所经过的最短路程为 .【点评】此题考查了转化化归思想（把立体几何问题转化成平面几何问题）及弧长公式、勾股定理等知识.【第四站】意大利古罗马圆形大剧场残缺问题（不规则图形面积）导游：圆形大剧场是古罗马帝国所建造的最大建筑。建于公元72至82年间，是古罗马文明的象征。从外观上看，它成正圆形；俯瞰时，它是椭圆形的。它的占地面积约2万平方米，大直径为188米，小直径为156米，圆周长527米，围墙高57米，着座庞大的建筑可以容纳近九万人数的观众。经历近2000年的风风雨雨，它已经残缺了好多，残缺也是一种美！9（2012四川内江，8，3分）如图，AB是O的直径，弦CDAB，CDB30，CD2，则阴影部分图形的面积为（ ）A4B2CD生15：取AB与CD的交点为E，由垂径定理知CE，而COB2CDB60，所以OC2，OEOC1，接下来发现OEBE，可ABDCOE证OCEBED，所以S阴影S扇形COB22选D.【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键AOBDC10.（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在O中，直径AB=2，CA切O于A，BC交O于D，若C=45，则（1）BD的长是 ； （2）求阴影部分的面积. 生16：（1）由CA切O于A，得A=90，再结合C=45，得B=45.连接AD，则由直径AB=2，得ADB=90.故BD=ABcos45=2cos45=；（2）运用代换得到阴影部分的面积等于ACD的面积：由（1）得，AD=BD.弓形BD的面积=弓形AD的面积，故阴影部分的面积=ACD的面积.CD=AD=BD=，SACD=CDAD=1，即阴影部分的面积是1.【点评】本题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方法，中等偏下难度.11(2012广东汕头，13，4分)如图，在ABCD中，AD=2，AB=4，A=30，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是_（结果保留）生17：解：过D点作DFAB于点FAD=2，AB=4，A=30，DF=ADsin30=1，EB=ABAE=2，阴影部分的面积：41212=41=3故答案为：3【点评】考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积=ABCD的面积扇形ADE的面积BCE的面积【第五站】澳大利亚悉尼歌剧院图形的变换导游：悉尼歌剧院是20世纪最具特色的建筑之一，其特有的帆造型，与周围景物相映成趣.整个建筑占地1.84公顷，长183米，高67米，相当于20层楼高.它的每一片帆叶都是由圆弧经过不同的变换而来的.1翻（旋）转12(2012广安中考试题第15题，3分)如图，RtABC的边BC位于直线l上，AC=，ACB=90o，A=30o，若RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，点A所经过的路线的长为_（结果用含的式子表示）生18：易求得斜边长度是2，第一次经过路线长度是，第二次经过路线长度是，第三次经过路线长度与第二次经过路线长度相同，也是，所以当点A三次落在直线l上时，经过的路线长度是2（）=2=【点评】解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算.ABC第11题图13.（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，ABC的顶点都在格点上，将ABC绕点C顺时针旋转60，则顶点A所经过的路径长为：（ ）A10BCD生19：ABC绕点C顺时针旋转60，顶点A经过的路径是以C为圆心AC为半径，圆心角为60的弧，根据弧长公式，可求路径长为. 选C【点评】考查的知识点有网格中的勾股定理（求AC），图形的旋转，弧长公式。中等难度的题型。2 滚 动14.（2012北海,12，3分）如图，等边ABC的周长为6，半径是1的O从与AB相切于点D的位置出发，在ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则O自转了：（ ）ABCODA2周B3周C4周D5周生20：三角形的周长恰好是圆周长的三倍，但是圆在点A、B、C处分别旋转了一个角度，没有滚动，在三个顶点处旋转的角度之和是三角形的外角和360。所以O自转了4圈。选C【点评】本题最容易出错的地方就是在顶点处的旋转，难度较大。如果学生能动手操作一下，正确答案就出来了。3 翻 折15.（2012年吉林省，第23题、7分）如图，在扇形OAB中，AOB=90，半径OA=6将扇形OAB沿过点B的直线折叠点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积生21：连接ODOB=OD,OB=BDODB是等边三角形，DBO=60OBC=CBD=30在RtOCB中，OC=OBtan30=有图可知，CD=OC,DB=OB ，弧AB+AC+CD+DB=26+6=12+6.【点评】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式、弧长公式以及直角三角形的性质此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法【第六站】英国市政厅圆的计算的综合应用导游：伦敦市政厅是英国首都最具有象征性的重要新建筑物之一，它的功能具有综合性：设计意图表达了国家民主制度的实施过程的公开性；整体上的可持续性；保护环境不受污染的潜能；建筑采用比较独特的体型，没有常规意义上的正面或背面；通过计算和验证来尽量减小建筑暴露在阳光直射下的面积，以获得最优化的能源利用效率；1求弧长的综合题16. （2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB是O的直径,点C、D在O上,点E在O外,EAC=D=60. （1）求ABC的度数；（2）求证：AE是O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长.师：谁能说一下思路？生22：（1）根据相等的弧长对应的圆周角相等，得ABC=D =60。（2）直径对应的圆周角为直角，则由三角形内角和为180，得出BAC的大小，继而得出BAE的大小为90，即AE是O的切线。（3）由题意易知，OBC是等边三角形，则由劣弧AC对应的圆心角可求出劣弧AC的长。师：很好！下面是此题的评分标准，请同学们参考学习！解：（1）ABC与D都是弧AC所对的圆周角 ABC=D =60 2分（2）AB是O的直径 ACB=90 3分BAC=30BAE =BACEAC=3060=90 4分即BAAE AE是O的切线 5分（3） 如图，连结OCOB=OC,ABC=60OBC是等边三角形OABCDEOB=BC=4 , BOC=60AOC=1207分劣弧AC的长为 8分【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系，及三角形的内角和为180。相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等2求面积的综合题17. ( 2012年浙江省宁波市,23,8)如图在ABC中,BE是它的角平分线,C=900,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E交BC于点F.(1)求证:AC是O的切线;(2)已知sinA=,O的半径为4,求图中阴影部分的面积.生23：（1）连接OE，OB=OEOBE=OEB.BE是ABC角平分线,OBE=EBC,OEB=EBC, OEBC,C=900,AEO=C=900,AC是O切线. （2）连接OFsinA= ，A=30 O的半径为4，AO=2OE=8，AE=4 ，AOE=60，AB=12，BC= AB=6 AC=6 ，CE=AC-AE=2 OB=OF，ABC=60，OBF是正三角形FOB=60，CF=6-4=2，EOF=60S梯形OECF= （2+4）2 =6 S扇形EOF=6042 360 = S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF=6-【点评】本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线3与函数有关的综合题18. （2012南京市，24，8）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在O1和扇形O2CD中，O1与O2C、O2D分别相切于点A、B，已知CO2D=600,E、F是直线O1O2与O1、扇形O2CD的两个交点，且EF=24厘米，设O1的半径为x厘米.（1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；（2）若O1、扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/厘米2和0.06元/厘米2，当O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？ 生24：（1）连接AO1, O1与O2C、O2D分别相切于点A、B，O1AO2A,AO2E=DO2ECO2D=600,AO2O1=300,在RtAO1O2中，O1E=O1A=xO1O2=24-3x(2)费用y总=y圆+y扇y总=0.45x2+0.06 =0.9x2-7.2x+28.8当x=-=4时，该玩具的制作成本最小,最小值y=14.4.【点评】本题涉及到了三角函数，切线的性质，扇形的面积公式，二次函数最值问题等，是一道综合性题目.设计意图：通过“旅游”国内外六个著名“景点”，做去年全国各地中考真题，复习了“圆的有关计算”在中考中的六个“考点”.换一种方式，目的是调动学生们复习的积极性.把握中考重点和动向.实际效果：学生对弧长、扇形面积等几个公式掌握较熟练，但在计算时遇到了困难.整体来说学生感觉较新鲜.此环节学生们体会到了本考点考查形式及类型三、旅游后的感想(福建土楼)师：通过今天的旅游，你有什么感想啊？1知识方面生25:我记住了求弧长、扇形面积、圆锥侧面积、全面积等公式，并能灵活应用了！2能力方面生26：（1）本考点最常用的思想就是转化化归思想、函数方程思想等；最常用的方法就是割补法等；（2）图形的变换（翻折、旋转、滚动等）在本考点中也经常遇到；（3）公式的应用有灵活性：可直接套用，也可逆用或变形应用.（4）辅助线的添加有技巧！3情感方面生27：（1）一节课跑了这么多“景点”，感觉就一个字：累！不过，这些“世界文化遗产”让我体会到了人类的文明与智慧.我骄傲，我是中国人！(2)公式中的R、r、l等字母的含义容易弄混，我要加强练习，理解去记. 设计意图：通过总结，从理论上对本课的复习再上一个新台阶.对本大节课从知识方面、能力方面、情感方面做个简单的总结.第七讲 圆 考点4 圆的有关计算 一、旅游前的准备 二、旅游中的乐趣 1、知识网络 第一站2、考试要求 第二站3、考点统计 第三站 4、要点回顾 第四站第五站第六站三、旅游后的感想 规律方法总结. 板书设计：教后反思：“圆的有关计算”是“圆”的压轴戏，而“圆”是几何图形的压轴，因此，“圆的计算”问题几乎可以囊括前面复习过的所有知识，是历年中考的必考内容.由于世界上很多著名的建筑都与圆（的计算）有关，为了达到更好的复习效果，本课以“去世界各地旅游”的方式，设计了三个大环节：一、旅游前的准备知识网络、考试要求、考点统计、要点回顾；二、旅游中的乐趣中考真题回顾；三、旅游后的感想规律方法总结.达到了复习提高之目的. 还有好多建筑都与圆的计算有关，时间关系没有“旅游”，放在下面供大家欣赏吧：