资源描述
7.4圆的有关计算复习教案
教学目标：
1.复习与圆有关的计算公式.
2.体验公式的推导过程，会用公式计算弧长、扇形面积、圆锥侧面积和全面积等问题.
3.通过多种手段，提高学生复习兴趣和复习效率.
教学方法：
“圆”是历年中考的重点内容，“圆的有关计算”是其重要组成部分.由于世界上很多著名的建筑都与圆（的计算）有关，为了达到更好的复习效果，本课以“去世界各地旅游”的方式，设计了以下几个环节：一、旅游前的准备——知识网络、考试要求、考点统计、要点回顾；二、旅游中的乐趣——中考真题回顾；三、旅游后的感想——规律方法总结.
课前准备：
教师：查阅各地中考真题，下载相关图片，制作几何画板、PPT课件；
学生：备好《复习指导丛书》，九年级下册数学课本.
教学过程：
一、旅游前的准备——
师：世界上很多著名建筑都与圆有关，当然，在建设它们时，都离不开圆的有关计算.这节课，老师将带领大家去这些地方旅游，一来欣赏壮丽风景，二来领略人类智慧！
生1：太好了！我最喜欢旅游了！
师：大家知道旅游前要做好哪些准备吗？
生2：身份证、银行卡、换洗的衣服、急救的药品……
师：呵呵，你真是个行家！只有做好了充分的准备，才能享受到旅游的乐趣！那么要复习好圆的有关计算，需要做好哪些准备呢？
准备之一：知识网络
师：我们都知道，数学包括“数”和“形”两大部分，“数”中最重要的是“函数”，而“形”的压轴大戏是“圆”，“圆”的压轴部分就是“圆的有关计算”.下面的“知识树”可以反映这一关系：
生：（识图、体会圆的地位作用）
准备之二：考试要求
师：在中考时，圆的有关计算一定会考，请一位同学读一下考试要求（利用PPT出示）：
生3：(读考试要求)1.会计算弧长及扇形面积；
2.会计算圆锥侧面积和全面积.
师：这是我们《复习丛书》上的考试要求，其实，圆的有关计算还应该包括求圆的半径（直径）、弦长、圆心角、圆周角、点到圆心的距离、直线到圆心的距离、两圆的圆心距等等.
生：哦，我们记住了.
师：这些内容，我们前面已经复习过了，今天的重点还是放在前两点上.
准备之三：考点统计
师：关于圆的有关计算，老师针对2012年的中考数学试题，作了一个简单统计.请看下表：
考查的知识点
考题形式
考查频率
计算长度（距离）
半径（直径）、弦长
选择、填空
高频
距离
（判断位置关系）
点与圆
选择、填空
低频
直线与圆
选择、填空、解答
低频
圆与圆
选择、填空
高频
圆的周长、弧长
选择、填空、解答
高频
求面积
圆的面积、规则图形面积
选择、填空
低频
不规则图形面积
选择、填空、解答
高频
准备之四：要点回顾
师：本节考点以公式为主，你还记得下面这些公式吗？（利用PPT出示填空）
1. 弧长公式：l=______________（其中l为n°的圆心角所对的弧长）.
2. 扇形的面积公式：S=_________=__________.
3. 圆锥侧面积公式：S圆锥侧=__________；圆锥全面积公式：S圆锥全=__________.
生4：1. 2. 3. S圆锥侧= S圆锥全=
师：还记得它们是怎样推导出来的吗？
生5：弧长公式是借助圆的周长公式推导出来的：
扇形面积公式是借助圆的面积公式推导出来的：
生6：圆锥侧面展开图是扇形，因此
圆锥侧面积是借助 扇形面积公式推导出来的；
全面积就是侧面积+底面积得到的:
设计意图：本环节意在让学生了解“圆的有关计算”的 “知识网络”、“考试要求”、“考点统计”和“要点回顾”．为下面的做题做好充分的准备.
实际效果：由于设计了“旅游”内容，学生的兴趣浓厚,对“圆的有关计算”有了较全面的认识.引起了学生做题的欲望.
二、旅游中的乐趣——
师：旅游前的准备已经很充分，现在就让我们跟随导游一起出发吧！
【第一站】薛城奚仲广场——基础热身练习
导游：我们家乡是造车鼻祖奚仲的故里，我们就先去奚仲广场看看吧！
1. （2011聊城，14，3分）
在半径为6cm的圆中，60º圆心角所对的弧长为 cm.(结果保留π)
生7：根据弧长公式.
2．(2012重庆，14，4分)
一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为_____（结果保留π）
生8：根据扇形的面积公式：.
3．（2012贵州铜仁，6，4分）小红为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm,母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为（ ）
A．270πcm2 B．540πcm2 C．135πcm2 D．216πcm2
生9：根据圆锥侧面积公式：S侧=πrl=9×30π=270π. ∴选A.
【点评】以上3题考查三个公式的直接应用，要注意看清有没有“单位”，属于基础类型.权当旅游出发前的热身.
【第二站】巴黎埃菲尔铁塔——弧长综合练习
导游：埃菲尔铁塔是巴黎标志性建筑，它的底座是由四段圆弧组成.你会求比较复杂问题的圆弧的长度吗？
4. （2012山东泰安，18，3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若=120°，OC=3，则的长为（ ）
A. B.2 D.3 D.5
生10：连接OB，因为AB是⊙O的切线，所以OB⊥AB，∠ABO=90°， 因为=120°，所以=30°.因为OB=OC，所以∠C=∠B=30°，∠BOC=120°，所以的长l=.∴选B.
【点评】圆的切线垂直于过切点的半径，连过切点的半径是圆中常作的辅助线之一；熟记弧长公式的求弧长的基础，设法求出弧所对圆心角的度数是关键（已知半径和条件下）。
5．（2012江苏盐城，26，10分）如图所示，AC⊥AB，AB=，AC=2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=，（00＜＜900）．
（1）当=180时，求的长.
（2）当=300时，求线段BE的长.
（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则的取值范围是____ （直接写出答案）．
生：（思考、交流、讨论）
师：本题考查了圆的有关计算和证明．证明三角形相似是解题的关键.
（1）欲求的长，只要知道所在圆的圆心角和半径代入弧长公式（），
故连半径OD，∠BOD=2，半径OB=，弧长可求；
（2）当=300时，已知直径AB，可以计算出AD、BD，又AC已知，
故可以利用△BDE∽△ADC，列出比例式，求出BE.
（3）通过画图可以找出的取值范围.
生11：（1）连接OD，∵=180，∴∠BOD=360，又∵AB=，∴OB=，
∴的长==．
（2）∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=900，又∵=300，∴∠B=600，
又∵AC为半圆O的切线，∴∠CAD=600，∴∠CAD=∠B，
又∵DE⊥CD，∴∠ADC+∠ADE=900，又∵∠ADE+∠BDE=900，
∴∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴，即,∴BE=．
(3)600＜＜900．
【点评】这是一道与圆有关的计算、探索题，重点考查了圆的有关性质、切线的性质、弧长公式等知识，通过构建相似三角形来求解是解题的关键.属于中高难题.
【第三站】北京天坛——圆锥问题综合练习
导游：来过北京的同学，一定会来天坛.它始建于明朝永乐十八年(1420年),是中国古代明、清两朝历代皇帝祭天之地。它整体呈圆锥形，高38.2米，底面直径24.2米，里面分别寓意四季、十二月、十二时辰以及周天星宿，是古代明堂式建筑仅存的一列。1998年被联合国教科文组织确认为“世界文化遗产”。
6. （2012浙江省衢州，9，3分）用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )
A.cm B.cm C.cm D.4cm
生12：由扇形弧长=圆锥底面圆周长得出圆锥底面圆的半径为2cm，母线长为6cm，进而由勾股定理，即可得出答案．∴选C.
【点评】此题主要考查了圆锥展开图与原图对应情况，以及勾股定理等知识，根据已知得出圆锥底面圆的半径长是解决问题的关键．
7.(2012四川省南充市，9，3分) 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ） A．120° B．180° C．240° D．300°
生13：设母线长为R，底面半径为r，则底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
由题知侧面积是底面积的2倍。所以R=2r，
设圆心角为n，则，解得n=180°.答案：B
【点评】已知圆锥的侧面积和底面积的倍数关系，可得到圆锥底面半径和母线长的关系，从而利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
8.（类教材九下P147 T6）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？
生14：小猫所经过的路程最短，就是求圆锥侧面展开后两点B、P之间的线段长度。
设圆锥底面半径为r ，母线为l，展开后圆心角度数为n°，则
∵轴截面△ABC为等边三角形∴AB=BC 即
即其侧面积展开图为半圆.则△ABP为直角三角形，BP为最短路线.
在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP=
∴小猫所经过的最短路程为 .
【点评】此题考查了转化化归思想（把立体几何问题转化成平面几何问题）及弧长公式、勾股定理等知识.
【第四站】意大利古罗马圆形大剧场
——残缺问题（不规则图形面积）
导游：圆形大剧场是古罗马帝国所建造的最大建筑。建于公元72至82年间，是古罗马文明的象征。从外观上看，它成正圆形；俯瞰时，它是椭圆形的。它的占地面积约2万平方米，大直径为188米，小直径为156米，圆周长527米，围墙高57米，着座庞大的建筑可以容纳近九万人数的观众。经历近2000年的风风雨雨，它已经残缺了好多，残缺也是一种美！
9．（2012四川内江，8，3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为（ ）A．4π B．2π C．π D．
生15：取AB与CD的交点为E，由垂径定理知CE＝，而∠COB＝2∠CDB＝60°，
所以OC＝＝2，OE＝OC＝1，接下来发现OE＝BE，可A
B
D
C
O
E
证△OCE≌△BED，
所以S阴影＝S扇形COB＝π·22＝．∴选D.
【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合．解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键．
A
O
B
D
C
10.（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则（1）BD的长是 ； （2）求阴影部分的面积.
生16：（1）由CA切⊙O于A，得∠A=90°，再结合∠C=45°，得∠B=45°.连接AD，则由直径AB=2，得∠ADB=90°.故BD=AB×cos45°=2×cos45°=；（2）运用代换得到阴影部分的面积等于△ACD的面积：由（1）得，AD=BD.
∴弓形BD的面积=弓形AD的面积，故阴影部分的面积=△ACD的面积.
∵CD=AD=BD=，∴S△ACD=CD×AD=××=1，即阴影部分的面积是1.
【点评】本题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方法，中等偏下难度.
11．(2012广东汕头，13，4分)如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是______（结果保留π）．
生17：
解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD=2，AB=4，∠A=30°，∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2，
∴阴影部分的面积：4×1﹣﹣2×1÷2=4﹣π﹣1=3﹣π．
故答案为：3﹣π．
【点评】
考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解
阴影部分的面积=▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积．
【第五站】澳大利亚悉尼歌剧院——图形的变换
导游：悉尼歌剧院是20世纪最具特色的建筑之一，其特有的帆造型，与周围景物相映成趣.整个建筑占地1.84公顷，长183米，高67米，相当于20层楼高.它的每一片帆叶都是由圆弧经过不同的变换而来的.
[1]翻（旋）转
12．(2012广安中考试题第15题，3分)如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，
∠ACB=90o，∠A=30o，若△RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，点A所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．
…………
生18：易求得斜边长度是2，第一次经过路线长度是，
第二次经过路线长度是，
第三次经过路线长度与第二次经过路线长度相同，也是，
所以当点A三次落在直线l上时，经过的路线长度是
＋2×（）=＋＋2×=＋
【点评】解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算.
A
B
C
第11题图
13.（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，
△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，
则顶点A所经过的路径长为： （ ）
A．10π B． C．π D．π
生19：△ABC绕点C顺时针旋转60°，顶点A经过的路径是以C为圆心AC为半径，圆心角为60°的弧，根据弧长公式，可求路径长为. ∴选C
【点评】考查的知识点有网格中的勾股定理（求AC），图形的旋转，弧长公式。中等难度的题型。
[2] 滚 动
14.（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了： （ ）
A
B
C
O
D
A．2周 B．3周 C．4周 D．5周
生20：三角形的周长恰好是圆周长的三倍，但是圆在点A、B、C处分别旋转了一个角度，没有滚动，在三个顶点处旋转的角度之和是三角形的外角和360°。所以⊙O自转了4圈。∴选C
【点评】本题最容易出错的地方就是在顶点处的旋转，难度较大。如果学生能动手操作一下，正确答案就出来了。
[3] 翻 折
15.（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB中，
∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．
点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，
求整个阴影部分的周长和面积．
生21：连接OD．∵OB=OD,OB=BD∴△ODB是等边三角形，∠DBO=60°
∴∠OBC=∠CBD=30°在Rt△OCB中，OC=OBtan30°=．
∴
有图可知，CD=OC,DB=OB ，弧AB+AC+CD+DB=2×6+6=12+6.
【点评】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式、弧长公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
【第六站】英国市政厅——圆的计算的综合应用
导游：伦敦市政厅是英国首都最具有象征性的重要新建筑物之一，它的功能具有综合性：①设计意图表达了国家民主制度的实施过程的公开性；②整体上的可持续性；③保护环境不受污染的潜能；④建筑采用比较独特的体型，没有常规意义上的正面或背面；⑤通过计算和验证来尽量减小建筑暴露在阳光直射下的面积，以获得最优化的能源利用效率；……
[1]求弧长的综合题
16. （2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,
点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长.
师：谁能说一下思路？
生22：（1）根据相等的弧长对应的圆周角相等，得∠ABC=∠D =60°。
（2）直径对应的圆周角为直角，则由三角形内角和为180°，得出∠BAC的大小，继而得出∠BAE的大小为90°，即AE是⊙O的切线。
（3）由题意易知，△OBC是等边三角形，则由劣弧AC对应的圆心角可求出劣弧AC的长。
师：很好！下面是此题的评分标准，请同学们参考学习！
解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角
∴∠ABC=∠D =60° …………2分
（2）∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90° ……………………………………3分
∴∠BAC=30°
∴∠BAE =∠BAC＋∠EAC=30°＋60°=90° …………………4分
即BA⊥AE
∴AE是⊙O的切线 …………………………………………………………5分
（3） 如图，连结OC
∵OB=OC,∠ABC=60°∴△OBC是等边三角形O
A
B
C
D
E
∴OB=BC=4 , ∠BOC=60°
∴∠AOC=120°…………………7分
∴劣弧AC的长为 …………………………………………8分
【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系，及三角形的内角和为180°。相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等．
[2]求面积的综合题
17. ( 2012年浙江省宁波市,23,8)如图在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=900,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E交BC于点F.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知sinA=,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.
生23：（1）连接OE，∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB.∵BE是△ABC角平分线,∴∠OBE=∠EBC,
∴∠OEB=∠EBC, ∴OE∥BC,∵∠C=900,∴∠AEO=∠C=900,∴AC是⊙O切线.
（2）连接OF．∵sinA= ，∴∠A=30°
∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8，∴AE=4 ，∠AOE=60°，∴AB=12，
∴BC= AB=6 AC=6 ，∴CE=AC-AE=2 ．
∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB=60°，CF=6-4=2，∴∠EOF=60°．
∴S梯形OECF= （2+4）×2 =6 ． S扇形EOF=60π×42 ÷360 = π`
∴S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF=6-π`
【点评】本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．
[3]与函数有关的综合题
18. （2012南京市，24，8）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B，已知∠CO2D=600,E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF=24厘米，设⊙O1的半径为x厘米.
（1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；
（2）若⊙O1、扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/厘米2和0.06元/厘米2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？
生24：（1）连接AO1,
∵⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B，∴O1A⊥O2A,∠AO2E=∠DO2E
∵∠CO2D=600,∴∠AO2O1=300,
在Rt△AO1O2中，O1E=O1A=x∴O1O2=24-3x
(2)费用y总=y圆+y扇
y总=0.45πx2+0.06× =0.9πx2-7.2πx+28.8π
∴当x=-=4时，该玩具的制作成本最小,最小值y=14.4π.
【点评】本题涉及到了三角函数，切线的性质，扇形的面积公式，二次函数最值问题等，是一道综合性题目.
设计意图：通过“旅游”国内外六个著名“景点”，做去年全国各地中考真题，复习了“圆的有关计算”在中考中的六个“考点”.换一种方式，目的是调动学生们复习的积极性.把握中考重点和动向.
实际效果：学生对弧长、扇形面积等几个公式掌握较熟练，但在计算时遇到了困难.整体来说学生感觉较新鲜.此环节学生们体会到了本考点考查形式及类型．
三、旅游后的感想——
(福建土楼)
师：通过今天的旅游，你有什么感想啊？
[1]知识方面
生25:我记住了求弧长、扇形面积、圆锥侧面积、全面积等公式，并能灵活应用了！
[2]能力方面
生26：（1）本考点最常用的思想就是转化化归思想、函数方程思想等；最常用的方法就是割补法等；
（2）图形的变换（翻折、旋转、滚动等）在本考点中也经常遇到；
（3）公式的应用有灵活性：可直接套用，也可逆用或变形应用.
（4）辅助线的添加有技巧！
[3]情感方面
生27：（1）一节课跑了这么多“景点”，感觉就一个字：累！不过，这些“世界文化遗产”让我体会到了人类的文明与智慧.我骄傲，我是中国人！
(2)公式中的R、r、l等字母的含义容易弄混，我要加强练习，理解去记. ……
设计意图：通过总结，从理论上对本课的复习再上一个新台阶.对本大节课从知识方面、能力方面、情感方面做个简单的总结.
第七讲 圆 考点4 圆的有关计算 一、旅游前的准备—— 二、旅游中的乐趣
1、知识网络 第一站
2、考试要求 第二站
3、考点统计 第三站
4、要点回顾 第四站
第五站
第六站
三、旅游后的感想—— 规律方法总结.
板书设计：
教后反思：
“圆的有关计算”是“圆”的压轴戏，而“圆”是几何图形的压轴，因此，“圆的计算”问题几乎可以囊括前面复习过的所有知识，是历年中考的必考内容.
由于世界上很多著名的建筑都与圆（的计算）有关，为了达到更好的复习效果，本课以“去世界各地旅游”的方式，设计了三个大环节：一、旅游前的准备——知识网络、考试要求、考点统计、要点回顾；二、旅游中的乐趣——中考真题回顾；三、旅游后的感想——规律方法总结.达到了复习提高之目的.
还有好多建筑都与圆的计算有关，时间关系没有“旅游”，放在下面供大家欣赏吧：
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