资源描述
3.1函数复习教案
复习目标:
1．理解平面直角坐标系的有关概念，掌握坐标平面内点的坐标特征，了解不同位置点的坐标特征.
2．了解函数概念，会求自变量取值范围和函数值，会用描点法画函数的图象.
3．结合图象对实际问题进行分析，对变量的变化规律进行预测；用适当的函数表示问题中变量之间关系.
复习重点和难点：
重点：掌握坐标平面内点的坐标特征，了解函数概念，会求自变量取值范围和函数值.
难点：结合图象对实际问题进行分析，对变量的变化规律进行预测.
教法与学法指导：
函数研究的是变量数学，它较之常量数学能更深刻地反映客观世界中量与形的关系，从而使函数成为近代数学中很多分支的基础；函数与代数中的代数式、方程、不等式等基础知识有密切的联系，用函数的观点能更透彻地理解和灵活地运用这些基础知识；函数的内容中蕴含着丰富的数学思想因素，有利于培养辩证唯物主义观点. 有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题.
由于九年级学生已经具有一定的知识储备，基本能够自主解决问题，且部分同学也具有不服输的心理.因此，根据九年级学生的知识特征和心理特点，本课将采取自主探究与合作探究相结合的方式，充分发挥小组合作意识，以生生和师生互助的方式完成本课目标.
教学准备：
教师准备：PPT课件．
学生准备：完成导学案“课前热身”和“知识梳理”两部分内容．
设计意图：由于学生对知识点的梳理基本没有兴趣，若放在课堂上单独进行复述，既不能引起学生的注意，也会浪费课堂时间，因此，将“知识梳理”及“课前热身”放在课前，（1）可以使学生积极进入解题状态；（2）在解题的过程中，学生自然会想到知识点的梳理.这样，以题揭示知识点的做法既节省了课堂时间，还能提高学生解决问题的效率.
教学过程：
【师】同学们，前几节课我们重点复习了数与式、方程与不等式，它们主要反映了生活中常量的关系，在我们生活的周围更多的存在变量关系，因此本节课开始我们重点复习生活中变量的关系——函数.
（教师板书课题：第三讲 考点1 函数）
一、课前热身(12分钟)
【师】（多媒体出示“课前热身”题组，并引导学生分组展示）请同学们先根据你课前的准备，派小组代表完成“课前热身”的展示.
1.（2012，荷泽）点（-2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
2.（2012，成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(-3，5)关于y轴的对称点
的坐标为（ ）
A、（-3，-5） B、（3，5） C、（3，-5） D、（5，-3）
3.（2012，东营）将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A、（2，3） B、（2，－１） C、（4，1） D、（0，1）
4.（2012，毕节）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）
A、（2，4） B、(-1，-2) C、（-2，-4） D、（-2，-1）5.（2011，成都）在函数自变量的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
6.(2012，日照)洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）.在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间函数关系的图象大致为（ ）
A、 B、 C、 D、
输入x值
y=x－1
(－1≤x＜0）
（2≤x≤4）
y=x2
（0≤x＜2）
输出y值
7.（2012，东营）根据下图所示程序计算函数值，若输入的的值为，则输出的函数值为（ ）
A、
B、
C、
D、
8.（2011,潍坊）在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某
考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD.下列说法正确的是（ ）
A、小莹的速度随时间的增大而增大
B、小梅的平均速度比小莹的平均速度大
C、在起跑后180秒时，两人相遇
D、在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面
【生1】1.因为横坐标为-2，这样的点在二、三象限，纵坐标为1，这样的点在一、二
象限，所以（-2，1）在第二象限，选B
【师】（点拨强化）要判定点在哪个象限，要掌握四个象限坐标的特点，它们分别有怎样的特点？
【生】第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）.
【生2】2. 因为点P(，5)在第二象限，所以其关于y轴的对称点在第一象限，在第一象限的只有B.
【师】（点拨强化）关于y轴的对称点的坐标有什么特点？
【生】横坐标相反，纵坐标不变.
【师】（继续追问）关于x轴的对称点的坐标有什么特点？关于原点的对称点呢？
【生】关于x轴的对称点之间的关系是：横坐标不变，纵坐标相反；关于原点的对称点之间的关系是：横坐标、纵坐标都相反.
【生3】3. 向左平移2个单位，则横坐标减2，纵坐标不变.即平移后点A′的坐标是（0，1），选D.
【师】（点拨强化）一个点沿坐标轴分别向上、下、左、右平移a个单位后，点的坐标如何变化？
【生】向上平移a个单位后，横坐标不变，纵坐标加a；向下平移a个单位后，横坐标不变，纵坐标减a；向左平移a个单位后，纵坐标不变，横坐标减a；向右平移a个单位后，纵坐标不变，横坐标加a.
【生4】4.根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应应乘以-2，故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（-2，-4），选C．
【师】（点拨强化）此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或-k是解题关键．
【生5】5.函数表达式是二次根式，被开方数必须大于或者等于0，所以，，即:,选A.
【师】（点拨强化）函数表达式为偶次根式时，自变量的取值有何要求？
【生】被开方数为非负数.
【师】若函数表达式为整式呢？为分式呢？
【生】若函数表达式为整式，则自变量可取全体实数；若函数表达式为分式，则自变量的取值使分母不为0.
【生6】6. 根据题意，注水时，水量逐渐上升；清洗时，水量不变；排水时，水量逐渐减少，选D．
【师】（点拨强化）根据实际问题的意义，准确弄清两个变量之间的变化规律是本题的关键.图象法表示函数是图形语言的最好体现，函数的学习一定要掌握数形结合的思想.
【生7】7.因为2≤≤4，把x=代入得，y=.选B
【师】（点拨强化）正确判断所给字母的值所在范围，代入相应的函数关系式是解决此类题的关键.
【生8】8.小莹所跑的路程 S （米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象为线段OA，说明小莹为匀速运动，A错误；根据图象，小莹跑完全程的时间比小梅跑完全程的时间少，所以，小莹的平均速度大，B错误；在起跑后 180 秒时，小莹的路程为800米，小梅的路程为600米，C错误；因此，选D.
【师】（点拨强化）本题主要考查函数的图象，解题关键是弄清坐标轴表示的实际意义，然后根据函数与自变量的关系，运用排除法排除错误答案.
设计意图：函数这部分内容仅从中考的常见题型来说是比较简单的，比如点的坐标特征、对称点的特征、点的平移、函数自变量取值范围这些知识点属于高频考点，多以填空、选择题出现，从近几年的答题情况看是得分点较高的题型，但其中也不乏难度较高的题型，如读图题、规律题.因此，课堂开始先让学生从“课前热身”寻找自己的缺点，再让学生自主展示，更好的实现“兵教兵”.
二、揭示目标（2分钟）
【师】同学们，结合以上习题的训练，你能确立本课的复习目标吗？
【生】（按照自己的理解口述）
【师】（补充并用多媒体展示）
1.理解平面直角坐标系的有关概念，掌握坐标平面内点的坐标特征，了解不同位置点的坐标特征.
2.了解函数概念，会求自变量取值范围和函数值，会用描点法画函数的图象.
3.结合图象对实际问题进行分析，对变量的变化规律进行预测；用适当的函数表示问题中变量之间关系.
设计意图：以往的课堂在复习目标的揭示上都是直接由多媒体展示，学生匆匆看一遍即过，这样做只能流于形式．本课由于学生已经对知识进行了梳理且对基础题做了训练，即使教师不展示，学生也能明确本课将要达到的目标，因此，让学生自主寻找目标比教师直接展示更有说服力．
三、知识结构（1分钟）
【师】（多媒体出示结构图）请同学们结合以上习题的训练及本课的目标，请同学们了解本课的知识结构及联系.
及 函 数
平 面 直 角 坐 标 系
【生】（了解各知识点间的联系）
设计意图：结合本课的目标及课前知识梳理、习题训练出示知识结构图，能够让学生清晰地梳理本课知识，并为下步例题学习明确方向.
四、典型例题（15分钟）
（多媒体出示题组）
考点一：直角坐标系中点的坐标特征
例1 （2012，荆门）已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )
【生1】由于点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则M(1－2m，m－1)在第四象限，所以 ，解得，.在数轴上表示为答案A.
【生2】也可以先写出M(1－2m，m－1)关于轴的对称点是(1－2m，1－m)，根据第一象限点的特征，得，解得，. 选A.
【师】（点评指导）很好，两位同学从不同角度出发解决此问题.本题结合不等式组及数轴考查对称点及各象限点的特征，虽是一道小题，但综合的知识点较多，同学们要能发现每一个知识点，应用时多注意其易错点，减少失分.
设计意图：对称点是中考常见的考题类型，对于例1这种综合各象限上点的特征、解不等式组，数轴考查这一知识点的题目是近几年的新形式，它能提高学生分析问题的能力，培养学生良好的思考习惯.
考点二：函数自变量的取值范围
例2 （2011，安顺）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
【生】自变量x在被开方数和分母中，因此，，解得，选D.
【师】（点评指导）很好，对于此类题，我们应注意它属于分式形式与二次根式形式的组合，在确定自变量取值范围时，先求出各部分的取值范围，再取其公共部分.还要注意“且”的使用.
设计意图：函数自变量取值范围问题表面看起来较简单，但仍有部分学生只关注其中一部分的取值范围，而忽略其余部分的取值范围，本题意在强调综合型函数表达式自变量取值范围的确定方法，引导学生养成仔细审题的习惯.
考点三：直角坐标系与其他知识点结合
例3 （2011，潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏，如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形.则下列下子方法不正确的是（ ）.
【说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）】
A、黑（3，7）；白（5，3） B、黑（4，7）；白（6，2）
C、黑（2，7）；白（5，3） D、黑（3，7）；白（2，6）
【生】（实物投影展示）将四个答案的黑、白棋子的位置表示在图上，再进行观察是否能使黑、白棋子成轴对称图形.如图，选项C中黑色棋子不能组成轴对称图形.选C.
【师】（点评指导）本题考查了轴对称图形和有序数对的有关知识，解决问题的方法是根据题目的要求，把图形补充完整，看图形是否符合要求即可.这位同学对问题的研究非常严谨，不只要能判断是否为轴对称图形，还应能画出其对称轴.
设计意图：以棋子为背景考查点坐标的问题是中考中的常见题型，往往会结合某些特殊图形的性质进行考查，本题结合了轴对称图形定义.对于此类型题目教师应引导学生从答案往题上做，即“代入检验”法，是解决选择题常用的方法.
考点四：分析函数图象
例4 （1）（2011，威海）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD－DC－CB以每秒3 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止.设△AMN的面积为y（cm 2）.运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是( )
【师】本题根据题意，y与x之间函数关系分为几种情况？怎样进行分类？
【生1】因为动点N自A点出发沿折线AD－DC－CB运动，所以，y与x之间的关系分为三种情况：N点在AD上；N点在CD上；N点在CB上.
【师】你能列出y与x之间的函数关系式吗？
【生】（2分钟独立思考，1分钟交流后展示）
【生2】（1）N点在AD上，S△AMN==；
（2）N点在CD上，S△AMN==；（如图1）
(3) N点在CB上，S△AMN==.（如图2）
【师】根据每部分的函数关系式，它们对应的函数图象分别是什么形状？
【生3】时，是开口向上的抛物线；时，是直线；时，是开口向下的抛物线.选B.
【师】（点评指导）非常棒，同学们能进行合理的分类，并能顺利的将y与x之间函数关系的表达式表示出来，从而，利用各函数图象的特征判断每部分y与x之间函数图象.解决此类题，关键是把动点问题进行合理的分类讨论，求出相应的函数关系式，再用函数关系式确定其图象的形状.
【生】（1分钟时间反思理解）．
设计意图：能对实际问题进行分析，对变量的变化规律用适当的函数表示，是函数中的必考点，也是难点之一．本题综合几何图形考查函数表达式及函数图象形状的确定，难度较大.多数同学都能想到分为三种情况，但在确定其关系式及图象时，有一定的难度，其难点在于时，其关系式易错，因此，答案在B与C之间徘徊．处理此题时，教师不妨引导学生进行分析，再充分发挥小组的合作意识，在交流中探讨、提高.
例4 （2012，武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（ ）
A、①②③ B、仅有① C、仅有①③ D、仅有②③
【师】图中的横轴和纵轴分别表示什么？
【生1】横轴是乙出发的时间；纵轴是甲、乙两人的距离.
【师】结合图象及横、纵轴的意义，图象中四个点的实际意义是什么？你能从中获取怎样的信息？
【生2】（0，8）表示甲出发2秒，行驶8米，∴甲行驶的速度为8÷2=4米／秒.
【生3】（100，b）表示乙行驶100秒到达终点，∴乙行驶的速度为500÷100=5米／秒.
∴甲、乙相距b=500－4×（100+2）=92米. ②正确.
【生4】（a，0）表示乙行驶a秒后，甲、乙相遇，∵甲、乙两人同起点、同终点、同方向匀速跑步，∴5a=8+4a，解得a=8. ①正确.
【生5】（c，0）表示乙行驶c秒后，甲、乙再次相遇.即，甲到达终点.此时，c =500÷4-2=123秒. ③正确.
【师】（点评指导）很好，本题重点考查函数图象的理解以及行程问题相关数量关系的理解，图象中隐含信息比较多，需要需要我们细心寻找，解题的关键还在于充分理解横轴和纵轴表示的意义，进而将图象上的点与实际意义相结合，再转化为数学问题解决，难度较大.
【生】（1分钟时间反思理解）．
设计意图：从函数的图象中获取信息解决实际问题是数形结合思想的重要考题形式，它将图形语言与符号语言、文字语言的相互转化体现的最好，若学生对这种类型题目能够快速准确的解决，说明学生的数学素质较好，对数学语言掌握的很好.此类题难度较大，教师应适当引导学生分散难点，掌握此类题的技巧与方法.
五、分享收获（5分钟）
【师】祝贺同学们顺利的完成本课的复习，你愿意和大家分享你在本课的收获吗？
【生1】函数这节常见的考点有各象限内点的符号、对称点的坐标、自变量的取值范围、函数图象的分析，多以填空和选择题出现.
【生2】解决函数中的动点问题时，常需要进行分类.
【生3】对函数图象进行有关分析，从中获取信息是难点内容，关键要弄清横、纵坐标各具有的含义.
【生】……
【生】（回顾本课复习全程，3分钟时间反思）
设计意图：新课标更关注学生已有的生活经验，更强调学生的主动学习，使学生能够在探究能力、学习能力和解决问题的能力方面有更好的发展，能够在责任感、科学精神、创新意识等方面得到提高.因此，让学生养成课后总结的习惯，更利于学生今后各方面的发展.
六、达标检测（10分钟）
必做题
1.下列函数中,自变量的取值范围为x≥3的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2.（2011,兰州）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是( )
A、（，） B、（-，-）
C、（-，） D、（-，-）
3.（2012，青岛）如图，将四边形ABCD先向左平
移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应
点A′的坐标是（ ）.
A、（6，1） B、（0，1）
C、（0，-3） D、（6，-3）
4.（2012，兰州）在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度．下面能反映弹簧秤的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系大致图象是（ ）
5.（2012，泰安）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0）（2，1），（1，1）（1，2）（2，2），……，根据这个规律，第2012个点的横坐标为 ．
6.（2012，吉林）在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为B，点A关于原点O的对称点为点C．
（1）若点A的坐标为（1，2），请你在给出的坐标系中画出△ABC.设AB与y轴的交点为D，则=________；
(2)若点A的坐标为（a,b）(ab0),则△ABC的形状为_______.
选做题
7.（2012，北京）在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，点是轴正半轴上的整点，记内部（不包括边界）的整点个数为．当时，点的横坐标的所有可能值是 ；当点的横坐标为（为正整数）时， （用含的代数式表示．）
8.（2012，内江）已知点A（1，5），B（3，－1），点M在x轴上，当AM－BM最大
时，点M的坐标为 .
设计意图：必做题分别巩固平面直角坐标系中各类点的坐标的特征、函数自变量的取值范围、函数图象的分析等中考中常见知识点，选做题以能力考查为主，主要训练学生分析问题的能力，提高学生的综合应用能力.第7题培养学生对“特殊——一般”思想的应用；第8题引导学生使用类比思想，类比“线段之和最短”的做法，作对称点，转化为“三角形两边之差小于第三边”进行研究.
【答案】 必做题：1.B 2. B 3. B 4. C 5.45 6.(1),(2)直角三角形
选做题：7.（1）3或者4；（2）m=6n–3 8.（，0）.
七、布置作业：
必做题：新课程复习指导丛书 第31页 第1、2、3、5、12题.
选做题：新课程复习指导丛书 第32页 第6、7题；复习丛书 第33页 第10题.
板书设计：
第三讲 考点1 函数
考点一：
直角坐标系中点的坐标特征
考点二：
函数自变量的取值范围
考点三：
分析函数图象
学 生 展 示 区
教学反思：
函数是整个初中阶段的难点内容，其难点之处在于如何更好的利用数形结合思想解决问题，学好本课将对高中部分的函数内容起到指导性作用.本节课是函数复习的第一节课，第一节课虽是基本概念课，但其中蕴含的知识方法较多，如，特殊到一般思想、建模思想、数形结合思想、化归思想、分类讨论思想.本节课的复习效果将直接影响后面一次函数、反比例函数和二次函数的复习，因此本课的复习尤为重要.
本节课的设计主要以中考重点考题为主，选题时力求能使知识覆盖面大、针对性强，让学生通过本课的复习能够达到举一反三的效果.课堂充分发挥学生的自主学习和小组合作意识，让学生在交流互助中相互提高.
附：导学案“知识梳理部分”
考点一：平面直角坐标系及点的坐标
1.坐标平面内的每一个点与___________________一一对应.
2.平面直角坐标系中点的坐标特征
各象限点的坐标的符号特征
第一象限（+，+）；第二象限__________；
第三象限_______；第四象限__________.
坐标轴上点的坐标特征
x轴上的点的纵坐标为_______；
y轴上的点的横坐标为_______；
原点的坐标为_______.
各象限角平分线商店的坐标特征
第一、三象限角平分线上的点的横坐标、纵坐标__________；
第二、四象限角平分线上的点的横坐标、纵坐标__________.
对称点的坐标特征
点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为_________；
点P（a，b）关于y轴对称的点的坐标为_________；
点P（a，b）关于原点对称的点的坐标为_________.
考点二：函数的有关概念
1.函数：在某一变化的过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有_______的值与它对应，那么称y是_______________，x是____________.
2.函数的表示方法有三种：（1）___________,(2)____________,(3)____________.
3.函数自变量取值范围的确定：
表达式
自变量的取值范围
整式
_________________
分式
使分母____________的实数
根式
偶次根式
使被开方数_____________________实数
奇次根式
全体实数
零指数幂或负指数幂
使底数_____________的实数
若干种形式的式子组合
先求出各部分的取值范围，再取其___________
实际问题
使实际问题有意义
考点三：函数的图象
1.图象上任一点的坐标是关系式方程的一个解；反过来，以关系式方程的任意一个解
为坐标的点一定在函数图象上.
2.分析函数图象的方法
分析函数的图象，关键是要弄清图象的横、纵坐标具有的意义，以及函数所涉及的变量的变化规律，还要注意函数中自变量的取值范围.
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