资源描述
3.2.1圆的对称性教案
教学目标
1．圆的轴对称性．
2．垂径定理及其逆定理．
3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．
教学重点与难点
重点：垂径定理及其逆定理．
难点：运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．
教法与学法指导：指导探索法．
在老师的启发引导下,学生经过观察、操作、猜测、推理论证、发现、归纳等方法探究出新知.通过对圆的图形的认识，使学生认识新的几何图形的对称美，体会所体现出的完美性，培养学生美的感受，激发学习兴趣．
教学准备：多媒体课件
教学过程
一、创设情境，引入新课
[师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？
[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．
[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形？
[生]折叠．
[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．
设计意图：说明：由学生熟悉的知识，以问题形式引出课题，回顾旧知的同时明确新知，激发学生的学习热情，引导学生充分体会新旧知识间的联系.
二、师生合作，探究新知
[师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．
[师]是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下．
[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．
[师]很好．
教师板书：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念．
1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．
2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．
3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．
如下图，以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．
注意：
1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作)，劣弧ABD(记作)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．
2．直径是弦，但弦不一定是直径．
下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1A)
按下面的步骤做一做：
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图．
[师]老师和大家一起动手．
(教师叙述步骤，师生共同操作)
[师]通过第一步，我们可以得到什么？
[生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．
[师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？
[生]我发现了，AM＝BM，，．
[师]为什么呢？
[生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合．
[师]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？
[师生共析]如下图示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．因此AM＝BM，=，=．
[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？
[生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．
下面，我们一起看一下定理的证明：
(教师边板书，边叙述)
如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA＝OB，OM＝OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM，
∴AM＝BM．
∴点A和点B关于CD对称．
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．
∴=，=．
[师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．
即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：
如图3－7，在⊙O中，
下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：
[例1]如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD＝600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径．
[师生共析]要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300cm，OF＝OE－EF，此时就得到了一个Rt△CFO，哪位同学能口述一下如何求解？
[生]连结OC，设弯路的半径为R m，则
OF＝(R－90)m，∵OE⊥CD，
∴CF＝CD＝×600＝300(m)．
据勾股定理，得
OC2＝CF2＋OF2，
即R2＝3002＋(R－90)2
解这个方程，得R＝545．
∴这段弯路的半径为545m．
[师]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．
随堂练习：P92．1．略
下面我们来想一想(出示投影片§3．2．1B)
如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．
[师]上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
[生]它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．
[师]很好．你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？
[生]通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O，作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点B重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD，=，=．
[师]大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下．
[生]如上图．连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．
[师]在上述的探讨中，你会得出什么结论？
[生]平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
[师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”？
[生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．
[师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理．
[师]同学们，你能写出它的证明过程吗？
[生]如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．
在等腰△OAB中，∵AM＝MB，
∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．
∵⊙O关于直径CD对称．
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．
∴=，=．
设计意图：通过这一过程培养学生思维的灵活，从而达到巩固双基，举一反三的目的。
三、随堂练习，巩固提高
做随堂练习：P92．
2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
答：相等．
理由：如下图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设=，=，用等量减等量差相等，得－=－，即=，故结论成立．
符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．
设计意图:通过这一训练，让学生多层次，多角度认识问题，多种策略考虑问题，发展其创新意识和实践。
四、课堂小结，反思提高
1．本节课我们探索了圆的对称性．
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
设计意图:组织学生小结，并作适当的补充，从知识、方法和情感三方面归纳小结，进行反思.有困惑的学生，课后和老师交流.
五、达标检测，反馈矫正
银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？
[过程]让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维．
[结果]
如下图示，连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，则AE＝AB＝30cm．令⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝OF－EF＝R－10．在Rt△AEO中，OA2＝AE2＋OE2，即R2＝302＋(R－10)2．解得R＝50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，课后促学
(一)课本P101，习题3.2，1、2
2．预习提纲：
(1)圆是中心对称图形．
(2)圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
板书设计
§3．2．1 圆的对称性
一、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直径
二、、垂径定理：
垂径定理逆定理：
练习：
教学反思：
在本节课中，我能根据新课程理念积极定位自己的角色，在“教”中充分体现了教师的引导着和组织者的作用，引导学生利用“转化”的思想，组织学生完成由特殊到一般的推理过程，同时，结合教材创设问题情境，激发学生的学习欲望，培养他们的创新意识，不断提高学生解决问题的能力；学生的“学”充分体现了学生在学习中的主体作用，他们在问题情境中，积极思考、探究发现、合作交流、互相学习、归纳总结，获得了一些学习数学学习的方法，从中体会到了探究知识的快乐.
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