资源描述
课题：3.7切线长定理
教学目标：
1. 通过作图、观图理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系.
2.经历探索切线长定理的过程,发展学生合情推理和演绎推理的能力.
3．应用切线长定理进行相关的计算和证明.
教学重、难点：
重点：切线长定理的推导过程及运用.
难点：综合运用切线长定理进行有关的证明和计算.
课前准备：课件、实物投影仪、圆规、三角板、导学案.
教学过程：
一、创设情境，引入新课
活动内容：
上节课我们认识了圆的切线，知道过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条.那么过圆外一点可以画几条切线？它们之间又有什么关系呢？想知道答案就一起进入今天的课堂学习.
1.根据条件画出图形
已知⊙O外一点P，过点P作⊙O的切线,可以画圆的 条切线？你有几种方法?
处理方式：
学生小组合作，尝试作图.师巡视指导，参与到学生的活动中.待多数小组完成后，选个别小组展示交流作法.师再播放课件小结作图方法.
方法1：用三角尺.
方法2:连结OP，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，
作射线PA、PB，则PA、PB为⊙O的切线，切点为A、B.
最后，引导学生发现过圆外一点只能画2条切线.
设计意图：由学生作图，体验如何过圆外一点画圆的切线的方法和条数，为下面的学习做好经验和事实铺垫.
二、合作探究，感悟新知
活动2：认识切线长
如图1，是我们所画的图形，PA，PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，我们把线段PA，
PB叫做点P到⊙O的切线长．
问题1：切线长是如何定义的？
问题2：观察图形，切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别和联系？
处理方式：
问题1可以先让学生回答，如：圆外的点和切点的线段叫做切线长；过圆外一点做圆的切线，这个点和切点的线段叫做切线长等.此时，师生补充纠正共同得出的定义. (课件展示)
切线长定义
从圆外一点画圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长.
问题2先由学生争论，师生再总结：切线和切线长是两个不同的概念，切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. (课件展示)
设计意图：放手让学生给切线长下定义，可使学生更好地理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系.
活动3：探索切线长定理
问题1：如图1，（课件展示）是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
问题2：在这个图中你能找到相等的线段吗?说说你的理由？由此你得到什么猜想？
问题3：如何证明你的猜想？
处理方式：
问题1学生直接判断.
问题2当学生回答PA=PB时，师关注学生是怎么找到的？如：有的学生会利用图形的对称性解释；有的可能通过测量得到. 对学生的回答师给予鼓励.
学生猜想: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.(若学生提不出师及时引导.)
问题3学生分组探究，写出证明过程.(个别组展示交流.)
已知：如图2，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B 是切点.
求证：PA=PB.
证明：连接OA,OB.
∵PA、PB分别是⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°.
在Rt△AOP和Rt△BOP中，
∵OA=OB,OP=OP.
∴ Rt△AOP≌Rt△BOP
∴ PA=PB
至此，我们证明了猜想是正确的，得到切线长定理. （课件展示）
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
符号语言：∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴PA=PB.
师追加反思：切线长定理为说明线段相等提供了新的方法.
师追问： 由Rt△AOP≌Rt△BOP我们还能得到哪些结论？
处理方式：学生观察图形可直接回答，∠OPA=∠OPB，∠POA=∠P OB.
因此，切线长定理可拓展为过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
设计意图：让学生经历观察—猜想---验证的数学探索过程，有助于学生理解切线长定理，更深层次的挖掘其内涵,为解题提供方便.
三、例题解析，运用新知.
活动4：应用切线长定理
应用切线长定理可以解决那些问题呢？
例1. 如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，切点分别为E,F,G,H,
由切线长定理你能发现哪些线段相等?
处理方式：学生观察图形，直接回答.若学生有困难，师可以进行如下引导：
分析： 由点A的切线可知 = .
由点B的切线可知 = .
由点C的切线可知 = .
由点D的切线可知 = .
师追问：将上面四个等式左右两边分别相加，你能得到什么结论？
处理方式：由学生发现：AB+CD=A D+BC，进而得出
结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
例2. 已知如图，在Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径.
处理方式：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程的知识，是一道综合性较强的计算题．因此，教师可组织学生小组讨论，寻求解题思路，并写出解题过程；师巡视指导，深入到学生的讨论中，适时提示学生添加辅助线解答.
完成后， 学生代表展示交流解题方法，师同步播放课件.
解法1：连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF，设OD=r.
在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，
∵⊙O分别于AB，BC，AC相切于点D,E,F，
∴OD⊥AB, OE⊥BC , OF⊥AC , BD= BE , AD=AF ,CE=CF.
又∵∠C=90°，∴四边形OECF为正方形.
∴CE=CF=r. ∴BE=24-r, AF=10-r.
∴AB= BD+ AD= BE+ AF=24-r+10-r =34-2r
而AB=26，∴34-2r=26
∴r=4，⊙O的半径为4.
解法2：连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,
在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，
∵⊙O分别于AB，BC，AC相切于点D,E,F，
∴OD⊥AB, OE⊥BC , OF⊥AC ,
设⊙O的半径为r
∵S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
∴ 24X10= (26+24+10)• r
∴r=4，⊙O的半径为4.
师追问：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们添加辅助线构建基本图形.从上面的解题过程中你体会到那些添加辅助线的方法？
引导学生发现：（1）分别连接圆心和切点.
（2）连接圆心和圆外一点.
设计意图：借助例题解析，引导学生领悟运用切线长定理解决问题的方法，以及常用的解题思路.
四、达标测试，检验新知.
1.已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm,过点P两条画⊙O的两条切线，这两条切线的切线长为 cm.
2. 如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．
3.如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点,∠ A =50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（ ）
A．
65°
B．
115°
C．
115°或65°
D．
130°或65°
（1题） （2题） （3题）
4.已知：如图PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，C为⊙O上一点，过C点作⊙O的切线，交PA,PB于D,E点，已知PA=PB=5cm，求△PDE的周长.
(4题)
处理方式：学生独立完成1—3题，个别学生回答，简要说明思路.
第4题，要求学生写出解题过程.师巡回辅导.
设计意图：学生通过检测练习，加深对知识巩固，提高学生的解题能力.
五、回顾反思，共同进步
这节课你在知识方面有哪些收获？
在学习方法上，你学会了什么？
你还有什么疑惑？
你想进一步探究的问题是什么？
处理方式：给学生一定的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展示.
设计意图：以“回顾反思” 的方式让学生总结本节课的收获，使学生养成梳理学习内容、思想、方法、思路形成知识体系的习惯.
六、布置作业，课外巩固
课本习题P96习题3.9 1， 2, 3，
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3.7切线长定理
过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
如图，线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．
切线长定理：
过圆外一点所画的圆的两条切线
相等.
符号语言：
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴PA=PB
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